108 高普考高考三級 海洋資源 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題要判斷「性別」與「兩年內是否再犯」是否有關。兩者都是類別變項，因此可將資料整理成 $2\times2$ 列聯表，使用 Pearson 卡方獨立性檢定。

設定虛無假設與對立假設：

• $H_0$：性別與兩年內再犯與否相互獨立，男女再犯率相同。
• $H_1$：性別與兩年內再犯與否不獨立，男女再犯率不同。

顯著水準為 $\alpha=0.05$。卡方檢定統計量為：

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為虛無假設成立時的期望次數。自由度為：

解題方法與計算

先由各性別總人數扣除再犯人數，求出未再犯人數：

各格期望次數依「列合計 $\times$ 欄合計 $\div$ 總人數」計算：

因此期望次數表為：

核心觀念

本題評量簡單線性迴歸分析（Simple Linear Regression）中，迴歸直線性質、迴歸係數（斜率）、皮爾森積差相關係數（Pearson Correlation Coefficient）以及決定係數（Coefficient of Determination）之間的連結與推導能力，主要涉及以下三項核心概念：

1. 簡單線性迴歸模型之直線幾何意義： 在簡單線性迴歸中，條件期望值（預測值）方程式為： $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$ 所有給定 $X$ 所對應之迴歸預測值 $\hat{Y}$ 必完全落於此迴歸直線上，故斜率 $\hat{\beta}_1$ 即為兩點間的直線斜率： $\hat{\beta}_1 = \frac{\Delta \hat{Y}}{\Delta X}$

2. 迴歸斜率與相關係數之關係： 最小平方法（OLS）估計之斜率 $\hat{\beta}_1$ 與樣本相關係數 $r$、兩變數樣本標準差（$S_X, S_Y$）之間具備固定關係式： $\hat{\beta}_1 = r \frac{S_Y}{S_X}$ 亦即： $r = \hat{\beta}_1 \frac{S_X}{S_Y}$

3. 決定係數之定義： 在僅包含單一自變數的簡單線性迴歸模型中，決定係數 $R^2$ 恰等於樣本相關係數 $r$ 的平方： $R^2 = r^2$ 其統計意涵代表 $Y$ 之總變異量中，可被自變數 $X$ 透過線性迴歸模型所解釋的比例。

解題方法

步驟一：求迴歸直線之斜率（$\hat{\beta}_1$） 已知預測值方程式通過 $(X_1, \hat{Y}_1) = (1, 1.6)$ 與 $(X_2, \hat{Y}_2) = (5, 5.92)$ 兩點：

核心觀念

本題評量生物統計學中推論統計（Inferential Statistics）之四大核心支柱及其交互關係：

1. 點估計（Point Estimation）：以樣本統計量（兩組平均差 $\bar{d}$ 或 $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$）推估未知的母體參數（真實平均差 $\mu_d$ 或 $\mu_1 - \mu_2$），代表效應大小（Effect Size）的最佳猜測值。
2. 區間估計（Interval Estimation）與信賴水準（Confidence Level）：以頻率學派（Frequentist approach）觀點，衡量抽樣變異度與估計精準度。95% 信賴區間代表在長期重複抽樣下，建構出的區間涵蓋真實母體參數的比例。
3. 假設檢定與信賴區間的對等性（Duality of Hypothesis Testing and Confidence Intervals）：在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 雙尾檢定下，若 95% 信賴區間未包含虛無假說設定之無效值（Null value, 通常為 0），則該檢定必然拒絕虛無假說，達統計顯著（$p < 0.05$）。
4. 統計顯著性（Statistical Significance）與生物學／實質顯著性（Biological / Practical Significance）的區辨：檢定結果拒絕虛無假說僅代表差異非抽樣誤差所致，但差異大小（效應量）是否具備生物資源管理或生態上的實質價值，需由區間估計的數值大小共同判讀。

解題方法

本題為 25 分的申論題，須針對題幹陳述中的三個關鍵要素逐層剖析，並綜整其統計意涵與實務意義：

一、「兩組差異之平均值為 3.00」之意涵

1. 點估計值與效應方向： 此數值為樣本平均差 $\hat{\theta} = \bar{X}_1 - \bar{X}_2 = 3.00$（或配對差值 $\bar{d} = 3.00$）。表示在所抽取的樣本中，第一組的平均值高於第二組 3.00 個單位，為母體真實差異 $\mu_1 - \mu_2$ 的不偏點估計量（Unbiased point estimate）。
2. 資訊的不完整性： 單一點估計僅能說明樣本觀測到的效應大小與方向，無法反映抽樣誤差（Sampling error）或母體變異度，故必須搭配區間估計來呈現不確定性。

二、「95% 信賴區間在（1.25, 4.75）」之意涵

1. 頻率學派的嚴謹定義： 若由同一母體重複進行大量獨立隨機抽樣（每次樣本數相同），並依照相同的統計方法為每一次抽樣計算 95% 信賴區間，則長遠而言，在所有計算出的信賴區間中，約有 95% 的區間會涵蓋母體真實平均差異（$\mu_1 - \mu_2$），約有 5% 的區間不會涵蓋。
2. 估計的精度與誤差界限（Margin of Error）： 此信賴區間以點估計 3.00 為中心，對稱向兩側延伸： $\text{誤差界限 } E = 4.75 - 3.00 = 3.00 - 1.25 = 1.75$ 這反映了推論的不確定性範圍；區間寬度為 $4.75 - 1.25 = 3.50$，寬度越窄代表估計精度（Precision）越高。
3. 母體真實效應的保守估計： 在 95% 的信心水準下，母體兩組之真實平均差異有相當高的可能性落在 1.25 至 4.75 之間，且下限大於 0，顯示第一組的平均表現極大機率持續優於第二組至少 1.25 個單位。

三、「達統計顯著意義」之意涵

1. 虛無假設之拒絕： 在檢定虛無假說 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ 對立於 $H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq 0$ 的情況下，設定顯著水準 $\alpha = 0.05$。結果「達統計顯著」表示檢定統計量（如 $t$ 值或 $z$ 值）落入拒絕域，$p$ 值小於 0.05（$p < 0.05$）。
2. 機率意涵： 表示在「兩組母體真實平均數無差異（$H_0$ 為真）」的前提下，因抽樣變異而觀察到當前差異（$\ge 3.00$）或更極端結果的機率小於 5%。因此研究者有充分的統計證據拒絕虛無假說，支持兩組母體平均數確實存在差異。

四、整體陳述之綜合整合意涵

1. 區間估計與假設檢定的一致性： 雙尾檢定 $\alpha = 0.05$ 與 95% 信賴區間具有數學上的對等性。

核心觀念

本題比較四個互相獨立教導年級組別的 ADHD 知識平均分數，應使用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。自變項為教導年級，共四組；依變項為知識問卷分數。

檢定假設為：

單因子 ANOVA 的主要假設為觀察值彼此獨立、各組分布大致符合常態，以及各組變異數相等。

解題方法與計算

先依各組樣本數及平均數計算總樣本數與加權總平均：

組間平方和與組內平方和分別為：

自由度為組間 $k-1=3$、組內 $N-k=456$。因此：

ANOVA 表如下：