113 高普考高考三級 地震測報 地球物理學 考古題詳解

核心觀念

本題考的是 Gutenberg–Richter 地震規模－頻度關係。在特定區域與觀測期間內，規模愈大的地震愈少，其累積數量可用下式表示：

其中 $N(M'>M)$ 是規模大於 $M$ 的地震累積次數；$a$ 是頻度分布的截距，$b$ 是斜率絕對值。實務上常以「大於或等於」某規模計數；在連續的規模分布中，嚴格大於與大於或等於的差別通常不影響此關係的解讀。

解題方法

將 $M$ 放在橫軸、$\log_{10}N$ 放在縱軸，便得到一條向右下方傾斜的直線。由於斜率為 $-b$，$b$ 愈大，直線下降愈陡，表示規模增加時地震數量減少得愈快。

令 $M=0$，可得 $\log_{10}N=a$，所以 $a$ 決定直線的上下位置；令規模增加一單位，則 $\log_{10}N$ 減少 $b$，即累積地震數約縮小為原來的 $10^{-b}$。

(一) 關係圖

log₁₀N
 ↑
 │\
 │ \
 │ \
 │ \
 │ \
 └────────────→ M
 斜率 = −b

若標示資料完備度，$M_c$ 是觀測目錄能可靠記錄地震的最低規模；在 $M_c$ 以下，目錄常因小地震漏記而偏離直線。

(二) magnitude of completeness（$M_c$）

$M_c$ 是特定區域、特定時間範圍及特定地震目錄中，地震能被完整且可靠偵測、定位並納入目錄的最低規模。一般而言，規模大於或等於 $M_c$ 的地震才適合用來分析 Gutenberg–Richter 關係及估計 $b$ 值。

$M_c$ 反映的是地震網的偵測能力與目錄品質，不是地震本身存在的最小規模。

核心觀念

本題考查地球介質的彈性常數、密度與地震波速度之間的關係，並利用 PREM 模型解釋地函—地核邊界的 P 波速度變化。

地震波速度由介質的密度 $\rho$ 及彈性力學性質決定：

• 體積模數 $k$：物體抵抗均勻體積壓縮的能力。
• 剪切模數 $\mu$：物體抵抗剪切變形的能力。

（一）$k$、$\mu$ 的意義及其與 P、S 波速度的關係

1. 體積模數 $k$

體積模數表示物質抵抗體積改變的能力，定義為壓力變化與體積應變的比值：

負號表示壓力增加時，體積會減少。$k$ 越大，表示介質越不容易被壓縮。

2. 剪切模數 $\mu$

剪切模數表示物質抵抗剪切變形的能力，定義為剪應力與剪應變之比：

$\mu$ 越大，表示介質抵抗形狀改變及剪切變形的能力越強。

液體無法長期承受剪切應力，因此液體的剪切模數為：

3. 與 P 波速度的關係

P 波為縱波，介質產生壓縮與膨脹，因此其速度為：

可見 P 波速度受三項因素控制：

• $k$ 越大，$V_p$ 越大；
• $\mu$ 越大，$V_p$ 越大；
• $\rho$ 越大，在彈性模數不變時，$V_p$ 越小。

P 波可以通過固體、液體與氣體，因為體積模數 $k$ 在流體中仍然存在。

4. 與 S 波速度的關係

S 波為橫波，主要造成剪切變形，其速度為：

因此：

• $\mu$ 越大，$V_s$ 越大；
• $\rho$ 越大，$V_s$ 越小；
• 當介質為液體且 $\mu=0$ 時，

所以 S 波無法通過液態外核。

（二）地函進入地核時，密度增加但 P 波速度反而降低的原因

1. 地函—地核邊界的 PREM 特徵

由題圖可見：

• 深度增加時，體積模數 $k$ 整體呈增加趨勢；
• 約在地函與外核邊界，即深度約 $2,900\ \text{km}$ 處，剪切模數 $\mu$ 突然降為零；
• 這表示外核為液態；
• 進入內核後，$\mu$ 再度出現，代表內核為固態。

此外，從地函進入地核時，密度 $\rho$ 會產生明顯跳升。

2. 對 P 波速度的影響

P 波速度為：

題目資訊判讀

原卷掃描圖在第三題題幹「以下的量表，目的為何？其背後的物理意義又為何？」處即結束，題目所指的「量表」圖表或公式未出現在附圖中。因此無法逐一對應原題列出的各個量表。以下依地震測報常見命題內容，以「地震規模量表」與「地震震度量表」作答。

核心觀念

地震學中的量表主要分為兩大類：

1. 地震規模（magnitude）：描述一次地震本身釋放能量或震源大小。
2. 地震震度（intensity）：描述某一測站或地點實際受到的地震動強弱與災害程度。

兩者的物理意義不同：

• 規模是地震的「本質大小」，同一地震原則上只有一個規模值。
• 震度是地震在「特定地點的表現」，會隨距離、地質條件、震源機制及場址效應而改變。

一、地震規模量表

1. 目的

地震規模量表的目的，是將地震儀所記錄到的地震波振幅、週期或震源參數，轉換成可比較的單一數值，用以表示地震大小。

早期常用的黎克特規模，即地方規模 $M_L$，定義為：

其中：

• $A$ 為地震儀記錄的最大振幅；
• $A_0(\Delta)$ 為距離修正函數；
• $\Delta$ 為震源距離；
• $\log_{10}$ 表示以 $10$ 為底的對數。

由於地震波振幅可跨越極大的範圍，採用對數量表可以將數值壓縮成易於比較的尺度。

2. 背後的物理意義

規模增加 $1$，代表標準化後的地震波振幅增加約 $10$ 倍。地震能量與規模的關係約為：

因此規模增加 $1$，地震釋放能量約增加：

也就是說，規模 $7$ 地震的能量約為規模 $6$ 地震的 $32$ 倍，而不是只有大 $1$ 倍。

現代大型地震多採用地震矩規模 $M_w$：

其中地震矩為：

• $\mu$：斷層介質的剪切模數；
• $A$：破裂面積；
• $D$：平均錯動量。

因此 $M_w$ 直接反映震源破裂的物理尺度，對大型地震不易產生傳統規模的飽和問題。

二、地震震度量表

1. 目的

震度量表的目的，是描述某一地點受到地震動的強弱，以及地面、人員、建築物和自然環境所產生的反應。

震度可依下列資料判定：

• 人員感受；
• 家具與物品的搖動；
• 建築物受損程度；
• 地表及山崩、液化等現象；
• 地震動峰值加速度（PGA）；
• 地震動峰值速度（PGV）；
• 反應譜等工程地震動參數。

核心觀念

1. 大地水準面（Geoid）

大地水準面是以平均海水面為基準，並向陸地底下延伸的全球等位面。其物理意義為：

• 重力位能相同的等位面。
• 任一點的鉛直線，即重力方向，皆與大地水準面正交。
• 海水在靜力平衡下會趨向沿著大地水準面分布。
• 大地水準面會受到地球內部質量分布、地殼厚度、地幔密度及地形等影響，因此不是規則的幾何曲面。

2. 參考橢球面（Reference Ellipsoid）

參考橢球面是以地球平均形狀、赤道隆起及兩極扁平為基礎建立的數學曲面，具有規則、平滑、可計算的幾何形狀，主要用於經緯度定位及大地測量。

大地水準面是物理面，參考橢球面是數學面，兩者並不重合。

大地測量常用的高程關係為

其中：

• $h$：橢球高，點到參考橢球面的法線距離。
• $H$：正高或近似海拔高，點到大地水準面的鉛直高程。
• $N$：大地水準面高，又稱大地水準面起伏量（geoid undulation），為大地水準面相對參考橢球面的高差。

因此，

$N>0$ 表示大地水準面高於參考橢球面；$N<0$ 表示大地水準面低於參考橢球面。

大地水準面與參考橢球面的差異示意

可用剖面圖表示如下：

 地表
 /\ /\
 / \ ● / \
------/----\-----鉛直線--/----\------ 大地水準面
 / \ /
 / \ /
--- - - - - - - - - - - - - - - - --- 參考橢球面
 ↑
 N

較完整的物理關係為：

• 參考橢球面平滑且規則。
• 大地水準面因地球質量分布不均而上下起伏。
• $N>0$ 時，大地水準面位於橢球面之上。
• $N<0$ 時，大地水準面位於橢球面之下。
• 鉛直線與大地水準面垂直，但通常不會完全通過參考橢球面的法線方向，因此會產生垂線偏差。

解題方法

本題應分成兩部分作答：

1. 先定義大地水準面，說明其與參考橢球面的物理及幾何差異。
2. 再依全球水準面高分布圖，觀察等值線的正負、大小、形狀與分布尺度，提出與地球內部質量及重力場有關的推論。

判讀等高線時，應以參考橢球面為零基準：

• 正值區：大地水準面隆起。
• 負值區：大地水準面下凹。
• 等值線越密集：大地水準面高變化越快，代表水平重力場變化較大。
• 等值線越疏：表示區域變化較平緩。
• 大範圍、平滑的異常：主要反映深部及大尺度的質量分布。
• 小範圍、急劇變化的異常：可能與地形、海溝、山脈、地殼厚度變化或較淺部構造有關。

全球水準面高分布圖的特徵與合理推論

1. 全球分布並非同心圓，也不呈現單純南北對稱

圖中正、負水準面高區域分布不規則，等高線不以地理極點、赤道或某一經線為對稱軸，顯示地球重力場並非只由地球自轉造成的旋轉橢球所決定。

合理推論是地球內部密度分布不均，且地殼、地幔及海洋、陸地分布具有明顯非均勻性。

2. 印度洋附近出現顯著正異常