113 年高普考高考三級地震測報考古題與詳解

Question 1

若時間序列 $h(t)$ 的傅立葉轉換（Fourier Transform）為

H(f)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-j2\pi ft}\,dt,

其中 $t$ 是時間， $f$ 是頻率， $j$ 是虛數（ $j=\sqrt{-1}$ ），請回答下列問題：

(一) 請寫出其逆傅立葉轉換（Inverse Fourier Transform）的型式。（3 分）

(二) 請寫出其離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform）的型式。假設時間取樣間隔為 $T$ ，共有 $N$ 個資料點， $n$ 表示第 $n$ 個頻率資料點， $k$ 表示第 $k$ 個時間資料點。（4 分）

(三) 若 $h(t)$ 是純虛數（pure imaginary）時間序列，請證明其傅立葉轉換後，在頻率域的實部（Real part）是奇函數（odd function），而虛部（Imaginary part）是偶函數（even function）。（8 分）

(四) 若在頻率域（frequency domain）將訊號移動一個線性相位（Linear phase；頻率與相位成正比），待其逆轉換回時間域（time domain）時，此時間序列會有何變化？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考傅立葉轉換的正逆轉換、有限長度資料的離散傅立葉轉換，以及訊號時移與頻譜對稱性。題目採用的轉換慣例是正向核為 $e^{-j2\pi ft}$ ，因此逆轉換核為 $e^{j2\pi ft}$ ，不另含比例常數。

解題方法

（一）逆傅立葉轉換

依照題目給定的正向轉換定義，逆轉換為：

h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}H(f)e^{j2\pi ft}\,df.

正向與逆向轉換的指數符號相反。

（二）離散傅立葉轉換

時間取樣間隔為 $T$ ，第 $k$ 個時間資料點可記為 $h[k]=h(kT)$ 。共有 $N$ 點時，第 $n$ 個頻率資料點的離散傅立葉轉換為：

H[n]=\sum_{k=0}^{N-1}h[k]e^{-j2\pi nk/N}, \qquad n=0,1,\ldots,N-1.

若以頻率表示，第 $n$ 個頻率點為 $f_n=n/(NT)$ ，因此指數項也可寫成 $e^{-j2\pi f_n kT}$ 。相應的反轉換為：

h[k]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}H[n]e^{j2\pi nk/N}, \qquad k=0,1,\ldots,N-1.

（三）純虛數時間序列的頻域實、虛部奇偶性

純虛數序列可寫成 $h(t)=j\,g(t)$ ，其中 $g(t)$ 為實函數。由傅立葉轉換定義，

H(f)=\int_{-\infty}^{\infty}j\,g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt.

利用 $e^{-j2\pi ft}=\cos(2\pi ft)-j\sin(2\pi ft)$ 展開：

H(f) =j\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\cos(2\pi ft)\,dt +\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(2\pi ft)\,dt.

因此，

Question 2

有三個時間序列 $x(t)$、$y(t)$ 和 $o(t)$，且 $$ x(t)\ast y(t)=o(t), $$ 其中符號 $\ast$ 表示摺積（convolution），以符號 $\otimes$ 表示相關運算（correlations）。請回答下列問題： (一) 請寫出 $x(t)$ 與 $y(t)$ 的摺積數學積分型式。（3 分） (二) 承上題，並說明此積分的意義。（可繪圖輔助說明）（7 分） (三) 從 $x(t)$ 和 $o(t)$ 求 $y(t)$，或從 $y(t)$ 和 $o(t)$ 求 $x(t)$，稱為反摺積（deconvolution）。地震學上經常利用反摺積來去除地震儀器響應（instrumental response）、反演震源時間函數（source time function）、推導接收函數（receiver function）等等。請從頻率域說明如何進行反摺積以求得 $y(t)$？請問這樣的做法會造成何種問題？該如何解決？（10 分） (四) 在離散情況下，若 $$ x(t)=(2,1,3,6,4,2,2) $$ 且 $$ o(t)=(2,5,7,23,24,31,40,26,12,10), $$ 假設等間隔時間取樣為 $1$，第一點為時間 $0$，時間序列向右表示時間增加，求 $y(t)=?$。（請寫出計算過程）（5 分） (五) 請證明 $$ a(t)\ast b(t)=a(-t)\otimes b(t). $$ （5 分）

Accepted Answer

核心觀念 摺積描述一個訊號通過線性時不變系統後的輸出。連續時間摺積定義為 $$ o(t)=x(t)y(t)=\int{-\infty}^{\infty}x(	au)y(t-	au)\,d	au. $$ 其中 $	au$ 是積分變數，$t$ 是觀察輸出的時間。相關運算與摺積的差異，在於其中一個訊號是否先做時間反轉。 （一）摺積的數學積分型式 $$ x(t)y(t)=\int{-\infty}^{\infty}x(	au)y(t-	au)\,d	au=o(t). $$ 等價地，也可寫成 $$ x(t)y(t)=\int{-\infty}^{\infty}x(t-	au)y(	au)\,d	au. $$ （二）積分的意義 固定一個觀察時間 $t$，把 $x(	au)$ 與經過時間反轉、平移後的 $y(t-	au)$ 相乘，再對所有 $	au$ 加總（連續時間下即積分），所得數值就是該時刻的輸出 $o(t)$。 具體而言： 1. 固定 $t$，將 $y(	au)$ 先時間反轉成 $y(-	au)$。 2. 將反轉後的訊號平移，使其成為 $y(t-	au)$。 3. 計算它與 $x(	au)$ 在各 $	au$ 上的乘積。 4. 將乘積對 $	au$ 積分，得到 $o(t)$。 因此，摺積可理解為兩個訊號在不同相對位移下的重疊乘積總和。當兩訊號的有效區間沒有重疊時，摺積值為零；重疊區域改變時，積分值也隨之改變。 （三）頻率域反摺積與問題處理 令傅立葉轉換以大寫字母表示。由摺積定理， $$ O(\omega)=X(\omega)Y(\omega). $$ 因此，形式上可由 $$ Y(\omega)=\frac{O(\omega)}{X(\omega)} $$ 求得 $Y(\omega)$，再取反傅立葉轉換： $$ y(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{O(\omega)}{X(\omega)}ight\}. $$ 問題： 若 $X(\omega)$ 在某些頻率為零或非常小，直接相除會造成無法求值，或把資料中的微小雜訊大幅放大。即使 $X(\omega)$ 不為零，觀測訊號 $O(\omega)$ 的雜訊在除以小振幅後也可能主導結果，使反摺積不穩定。 處理方法： 使用穩定化反摺積，避免直接除以接近零的頻譜。例如，Tikhonov 正則化可寫為 $$ \widehat{Y}(\omega) = \frac{X^(\omega)O(\omega)} {|X(\omega)|^2+\lambda}, \qquad \lambda0, $$ 其中 $X^(\omega)$ 為複共軛，$\lambda$ 控制對小振幅頻率的抑制程度。再計算 $$ \widehat{y}(t)=\mathcal{F}^{-1}\{…

Question 3

請回答下列有關波形取樣（waveform sampling）及資料處理的問題：

(一) 一時間域的取樣函數（sampling function）為一連續脈衝函數的組合，表示為

x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT),

其中 $T$ 為取樣時間， $n$ 為整數。請證明其傅立葉轉換後為

X(f)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T}\right).

（10 分）

(二) 當一帶寬限制（band-limited）的連續時間函數 $h(t)$ 經過波形取樣，其離散傅立葉轉換後會產生哪些現象？請說明。（可繪圖輔助說明）（10 分）

(三) 在地震研究中，有時為了分析的需求，經常對原始地震波形降採樣（down-sampling）。若採用內插方式（interpolation）來降採樣，此時有一時間取樣間隔為 $0.01$ 秒的資料需降採樣至 $0.1$ 秒時，請問會產生何種問題？該如何處理？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 題目採用頻率 $f$（單位為 Hz）的傅立葉轉換定義： $$ X(f)=\int{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i2\pi ft}\,dt. $$ 時間域的週期脈衝列，其傅立葉轉換仍為脈衝列；兩者的週期互為倒數，且頻域脈衝的權重為 $1/T$。 解題方法 將 $x(t)$ 代入傅立葉轉換，利用狄拉克脈衝的取樣性質 $\int \delta(t-a)g(t)\,dt=g(a)$： $$ \begin{aligned} X(f) &=\int{-\infty}^{\infty} \left(\sum{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)ight)e^{-i2\pi ft}\,dt\ &=\sum{n=-\infty}^{\infty} \int{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)e^{-i2\pi ft}\,dt\ &=\sum{n=-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi fnT}. \end{aligned} $$ 這個無限複指數和需以廣義函數（分布）的意義解讀。由狄拉克梳狀函數的傅立葉轉換關係，週期為 $T$ 的時間域脈衝列轉換為週期為 $1/T$ 的頻域脈衝列，故 $$ \boxed{ X(f)=\frac{1}{T}\sum{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(f-\frac{k}{T}ight) }. $$ 其中 $k$ 為整數，與原式使用的整數索引 $n$ 等價。 解題技巧 看到等間隔脈衝列，可直接運用「時間週期 $T$ 對應頻率間隔 $1/T$」；若傅立葉轉換採用 $e^{-i2\pi ft}$ 的定義，頻域脈衝列前的係數為 $1/T$。 （二）波形取樣與離散傅立葉轉換的現象 核心觀念 連續時間訊號 $h(t)$ 以取樣間隔 $Ts$ 取樣，相當於將它乘上取樣脈衝列。令取樣頻率 $fs=1/Ts$，則頻域結果會是原訊號頻譜以 $fs$ 為間距重複排列。有限長資料再作離散傅立葉轉換（DFT）時，還會受到有限觀測窗影響，造成頻譜洩漏。 解題方法 取樣後的訊號為 $$ hs(t)=h(t)\sum{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nTs). $$ 時域相乘對應頻域摺積，因此

Question 4

表面波（surface wave）是地震研究的重要震波之一。要計算表面波的群速（group velocity），經常利用高斯濾波器（Gaussian filter）來進行時頻分析（Time-Frequency analysis）。請回答下列問題：

(一) 何謂時頻分析？（3 分）

(二) 請寫出高斯濾波器在時間域和頻率域的一般表示式。（4 分）

(三) 如何利用高斯濾波器進行時頻分析以求得表面波的群速？（8 分）

(四) 下圖是以某一中心頻率濾波後所得到頻率域的實部及虛部，請問該如何安排此實部及虛部，使其能正確逆轉換回到時間域？（可繪圖輔助說明）（5 分）

【圖示】頻率域包含實部（Real part）與虛部（Imaginary part），並標示 Nyquist frequency $f_N$ ；圖中資料點以「⦁」表示。

(五) 承上題，若此頻譜為位移譜，請問在頻率域該如何處理，使其逆轉換回到時間域後變為速度紀錄？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查高斯濾波器、時頻分析（Time-Frequency Analysis）、表面波群速，以及離散傅立葉轉換中「共軛對稱」與「微分在頻率域中的運算」。

（一）何謂時頻分析？

時頻分析是同時描述訊號「頻率成分」與其「隨時間變化情形」的方法。

一般傅立葉分析只能得到整段資料的頻率分布，無法判斷某一頻率在何時出現；時頻分析則利用短時間窗或局部濾波器，求得不同時間與頻率下的訊號能量或振幅，因此可分析非平穩訊號，例如表面波不同頻率成分的到時差異。

（二）高斯濾波器在時間域與頻率域的表示式

1. 頻率域表示式

以中心頻率 $f_0$ 的高斯濾波器為例：

G(f,f_0) = \exp\left[ -\alpha \left( \frac{f-f_0}{f_0} \right)^2 \right],

其中：

$f_0$ 為中心頻率；
$\alpha$ 控制濾波器頻寬；
$f$ 越接近 $f_0$ ，濾波器增益越大。

更一般的高斯形式可寫為：

G(f) = \exp\left[ -\frac{(f-f_0)^2}{2\sigma_f^2} \right],

其中 $\sigma_f$ 為頻率域的標準差。

2. 時間域表示式

高斯函數的傅立葉轉換仍為高斯函數。以角頻率 $\omega$ 表示時，可寫成：

g(t) = C\exp\left(-\frac{t^2}{2\sigma_t^2}\right) e^{i\omega_0t},

其中：

$\omega_0=2\pi f_0$ ；
$\sigma_t$ 為時間域寬度；
$C$ 為正規化常數；
$e^{i\omega_0t}$ 將低通高斯濾波器移至中心頻率 $f_0$ 。

時間域與頻率域的寬度互為倒數，因此時間窗越窄，頻率解析度越差；頻率帶寬越窄，時間解析度越差。

（三）利用高斯濾波器求表面波群速

解題方法

對原始地震紀錄 $u(t)$ 採用不同中心頻率的高斯濾波器，觀察各頻率成分的包絡線到時，即可建立群速度頻散曲線。

具體步驟

對原始訊號作傅立葉轉換：

U(f)=\mathcal{F}\{u(t)\}.

選定一系列中心頻率 $f_0$ ，例如 $f_1,f_2,\ldots$ ，並建立對應的高斯濾波器 $G(f,f_0)$ 。
在頻率域進行濾波：

U_{f_0}(f) = U(f)G(f,f_0).

將濾波後的頻譜逆傅立葉轉換，得到中心頻率 $f_0$ 對應的窄頻時間訊號：

u_{f_0}(t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ U(f)G(f,f_0) \right\}.

求其包絡線。可利用解析訊號：

z_{f_0}(t) = u_{f_0}(t) +i\mathcal{H}\{u_{f_0}(t)\},

其中 $\mathcal{H}\{\cdot\}$ 為 Hilbert transform。包絡線為：

A(t,f_0) = |z_{f_0}(t)|.

對每一個中心頻率，找出包絡線最大值所對應的時間 $t_g(f_0)$ ，此時間即為該頻率表面波的群到時。
若震源至測站的傳播距離為 $\Delta$ ，則群速度為：

U(f_0) = \frac{\Delta}{t_g(f_0)-t_0},

其中 $t_0$ 為震源起始時間或適當的時間基準。

113 高普考高考三級地震測報時序分析考古題詳解

第一題

核心觀念

解題方法

（一）逆傅立葉轉換

（二）離散傅立葉轉換

（三）純虛數時間序列的頻域實、虛部奇偶性

第二題

核心觀念

（一）摺積的數學積分型式

（二）積分的意義

（三）頻率域反摺積與問題處理

（四）離散反摺積

第三題

（二）波形取樣與離散傅立葉轉換的現象

第四題

核心觀念

（一）何謂時頻分析？

（二）高斯濾波器在時間域與頻率域的表示式

1. 頻率域表示式

2. 時間域表示式

（三）利用高斯濾波器求表面波群速

解題方法

具體步驟

其他考古題

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113 高普考高考三級 地震測報 時序分析 考古題詳解

第 一 題

核心觀念

解題方法

（一）逆傅立葉轉換

（二）離散傅立葉轉換

（三）純虛數時間序列的頻域實、虛部奇偶性

第 二 題

核心觀念

（一）摺積的數學積分型式

（二）積分的意義

（三）頻率域反摺積與問題處理

（四）離散反摺積

第 三 題

（二）波形取樣與離散傅立葉轉換的現象

第 四 題

核心觀念

（一）何謂時頻分析？

（二）高斯濾波器在時間域與頻率域的表示式

1. 頻率域表示式

2. 時間域表示式

（三）利用高斯濾波器求表面波群速

解題方法

具體步驟

其他考古題

113 年地震測報的其他科目

113 高普考高考三級地震測報時序分析考古題詳解

第一題

第二題

第三題

第四題