110 年經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員機械考古題與詳解

Question 1

一座以空氣為工作流體且操作基於封閉式布雷登循環（Brayton Cycle）之動力廠，其空氣壓縮機之壓縮比為 $11$ ，入口空氣溫度為 $300\text{ K}$ ，輸入於循環之總熱量為 $620\text{ kJ/kg}$ ；若該循環之壓縮機等熵效率（Isentropic Efficiency）為 $80\%$ ，渦輪機等熵效率（Isentropic Efficiency）為 $85\%$ ，假設循環過程中之空氣狀態皆為理想氣體（Ideal Gas）且比熱為常數（ $C_P = 1.005\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$ ， $k = 1.4$ ），壓縮機及渦輪機絕熱且忽略進出口之動、位能變化下，請計算下列各項（計算至小數點後第 $1$ 位，以下四捨五入）。（共 4 題，共 25 分）

(一) 此循環中，壓縮機出口空氣溫度為多少 $\text{K}$ ？（5 分） (二) 此循環中，渦輪機出口空氣溫度為多少 $\text{K}$ ？（5 分） (三) 此循環之輸出淨功為多少 $\text{kJ/kg}$ ？（5 分） (四) 此循環之熱效率為多少 $\%$ ？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查非理想封閉式布雷登循環（Brayton Cycle）之分析，需使用：

理想氣體等熵關係式 $\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}$
壓縮機等熵效率 $\eta_c=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}$
渦輪機等熵效率 $\eta_t=\frac{T_3-T_4}{T_3-T_{4s}}$
定比熱下的熱量與功 $q=C_P\Delta T$

其中下標 $s$ 表示等熵理想狀態；未加 $s$ 表示實際狀態。

已知：

$r_p=\frac{P_2}{P_1}=11$

$T_1=300\text{ K},\quad q_{in}=620\text{ kJ/kg}$

$C_P=1.005\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)},\quad k=1.4$

$\eta_c=0.80,\quad \eta_t=0.85$

解題方法

布雷登循環各狀態為：

$1\to2$ ：壓縮機壓縮
$2\to3$ ：定壓加熱
$3\to4$ ：渦輪膨脹
$4\to1$ ：定壓放熱

先由壓力比求出等熵壓縮出口溫度，再利用壓縮機效率求實際出口溫度。接著由輸入熱量求渦輪入口溫度，最後利用渦輪效率求實際渦輪出口溫度。

（一）壓縮機出口空氣溫度

1. 求等熵壓縮出口溫度

$T_{2s}=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}$

因為：

$\frac{k-1}{k}=\frac{1.4-1}{1.4}=0.2857$

所以：

$T_{2s}=300(11)^{0.2857}$

$T_{2s}\approx300(1.9840)=595.2\text{ K}$

2. 利用壓縮機等熵效率求實際溫度

$\eta_c=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}$

代入數值：

$0.80=\frac{595.2-300}{T_2-300}$

因此：

$T_2-300=\frac{295.2}{0.80}=369.0$

$T_2=669.0\text{ K}$

【答案】壓縮機出口空氣溫度為

$\boxed{T_2=669.0\text{ K}}$

（二）渦輪機出口空氣溫度

1. 求渦輪入口溫度 $T_3$

加熱過程輸入熱量為：

$q_{in}=C_P(T_3-T_2)$

因此：

$T_3=T_2+\frac{q_{in}}{C_P}$

$T_3=669.0+\frac{620}{1.005}$

$T_3=669.0+616.9=1285.9\text{ K}$

2. 求等熵膨脹出口溫度

布雷登循環中渦輪壓力比為：

$\frac{P_3}{P_4}=11$

故：

$T_{4s}=T_3\left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{(k-1)/k}$

$T_{4s}=\frac{1285.9}{11^{0.2857}}$

Question 2

壓力為 $500	ext{ kPa}$，溫度為 $133.6^\circ	ext{C}$ 的水，在管路中流經一等焓節流閥後，出口壓力降至 $20	ext{ kPa}$，已知該節流閥出口截面積為 $0.04	ext{ m}^2$，流速為 $120	ext{ m/s}$，請利用下表求節流閥出口之質量流率為多少 $	ext{kg/s}$（計算至小數點後第 $1$ 位，以下四捨五入）？（15 分） 【飽和水－水蒸汽 溫度表】 | 溫度 ($^\circ	ext{C}$) | 飽和壓力 ($	ext{MPa}$) | 比容 $vf$ ($	ext{m}^3/	ext{kg}$) | 比容 $vg$ ($	ext{m}^3/	ext{kg}$) | 比內能 $uf$ ($	ext{kJ/kg}$) | 比內能 $ug$ ($	ext{kJ/kg}$) | 比焓 $hf$ ($	ext{kJ/kg}$) | 比焓 $hg$ ($	ext{kJ/kg}$) | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 130 | 0.2701 | 0.001070 | 0.6685 | 546.02 | 2539.9 | 546.31 | 2720.5 | | 135 | 0.3130 | 0.001075 | 0.5822 | 567.35 | 2545.0 | 567.69 | 2727.3 | 【飽和水－水蒸汽 壓力表】 | 壓力 ($	ext{MPa}$) | 飽和溫度 ($^\circ	ext{C}$) | 比容 $vf$ ($	ext{m}^3/	ext{kg}$) | 比容 $vg$ ($	ext{m}^3/	ext{kg}$) | 比內能 $uf$ ($…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查節流閥的穩定流動能量方程式，以及由出口乾度求比容與質量流率。 節流閥通常視為： - 無軸功：$ws=0$ - 絕熱：$q=0$ - 位能差可忽略 - 入口、出口動能差對焓平衡的影響忽略 因此節流過程為等焓過程： $$ h1=h2 $$ 質量流率由連續方程式求得： $$ \dot{m}=\frac{AV}{v} $$ 其中： - $A$：出口截面積 - $V$：出口流速 - $v$：出口混合物比容 --- 解題方法 一、求入口比焓 入口條件為： $$ P1=500\ 	ext{kPa}=0.50\ 	ext{MPa} $$ 由壓力表可知，$0.50\ 	ext{MPa}$ 的飽和溫度為： $$ T{	ext{sat}}=151.86^\circ	ext{C} $$ 因為： $$ 133.6^\circ	ext{C}<151.86^\circ	ext{C} $$ 所以入口狀態為壓縮液。由表中資料，採用同溫度下飽和液體比焓近似壓縮液比焓，並在 $130^\circ	ext{C}$ 與 $135^\circ	ext{C}$ 間線性內插。 內插比例為： $$ \frac{133.6-130}{135-130} =\frac{3.6}{5} =0.72 $$ 因此入口比焓： $$ h1=hf(130)+0.72[hf(135)-hf(130)] $$ $$ h1=546.31+0.72(567.69-546.31) $$ $$ h1=561.70\ 	ext{kJ/kg} $$ --- 二、利用節流過程求出口乾度 節流閥為等焓過程，因此： $$ h2=h1=561.70\ 	ext{kJ/kg} $$ 出口壓力為： $$ P2=20\ 	ext{kPa}=0.02\ 	ext{MPa} $$ 由壓力表，在 $0.02\ 	ext{MPa}$ 下： $$ hf=251.40\ 	ext{kJ/kg} $$ $$ hg=2609.7\ 	ext{kJ/kg} $$ 出口為飽和液汽混合物，其比焓關係為： $$ h2=hf+x(hg-hf) $$ 故乾度： $$ x=\frac{h2-hf}{hg-hf} $$

Question 3

一活塞氣缸裝置，最初裝有壓力為 $500	ext{ kPa}$，溫度為 $300	ext{ K}$ 而容積為 $0.1	ext{ m}^3$ 之氦氣，其經過一多變指數（Polytropic Exponent）$n = 1.5$ 之多變過程（Polytropic Process）膨脹至 $150	ext{ kPa}$ 之壓力，假設過程中之氦氣狀態皆為理想氣體（Ideal Gas）且比熱為常數（$CP = 5.1926	ext{ kJ/(kg}\cdot	ext{K)}$，$CV = 3.1156	ext{ kJ/(kg}\cdot	ext{K)}$），請計算下列各項（計算至小數點後第 $1$ 位，以下四捨五入）。（2 題，每題 5 分，共 10 分） (一) 此膨脹過程所輸出之功（$W$）為多少 $	ext{kJ}$？（5 分） (二) 此膨脹過程之熱交換量（$Q$）為多少 $	ext{kJ}$？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 理想氣體狀態方程式 $$PV=mRT$$ 2. 多變過程關係式 $$PV^n=	ext{常數}$$ 3. 封閉系統第一定律 $$Q-W=\Delta U$$ 4. 理想氣體內能變化 $$\Delta U=mCV(T2-T1)$$ 採用「系統吸熱為正、氣體對外作功為正」的符號 convention。 由題目給定比熱可得氦氣氣體常數： $$R=CP-CV=5.1926-3.1156=2.0770\ 	ext{kJ/(kg}\cdot	ext{K)}$$ --- 解題方法 一、求末狀態體積與溫度 已知： $$P1=500\ 	ext{kPa},\qquad T1=300\ 	ext{K},\qquad V1=0.1\ 	ext{m}^3$$ $$P2=150\ 	ext{kPa},\qquad n=1.5$$ 多變過程滿足： $$P1V1^n=P2V2^n$$ 因此： $$V2=V1\left(\frac{P1}{P2}ight)^{1/n}$$ 代入數值： $$V2=0.1\left(\frac{500}{150}ight)^{1/1.5}$$ $$V2=0.2231\ 	ext{m}^3$$ 再由理想氣體方程式，因質量與氣體常數不變： $$\frac{P1V1}{T1}=\frac{P2V2}{T2}$$ 故： $$T2=T1\frac{P2V2}{P1V1}$$ $$T2=300\left(\frac{150	imes0.2231}{500	imes0.1}ight)$$ $$T2=200.8\ 	ext{K}$$ --- 二、求氦氣質量 由初始狀態的理想氣體方程式： $$m=\frac{P1V1}{RT1}$$ 注意 $1\ 	ext{kPa}\cdot	ext{m}^3=1\ 	ext{kJ}$，因此： $$m=\frac{500	imes0.1}{2.0770	imes300}$$ $$m=0.0802\ 	ext{kg}$$ --- （一）膨脹過程輸出之功 多變過程的邊界功為：

Question 4

如【圖 1】所示，一邊長為 $2	ext{ m}$ 之正方形平面水閘門安裝於水庫下方，可繞鉸接點 $	ext{H}$ 旋轉開啟，如忽略閘門自身重量及鉸接點之摩擦效應，而水的比重量（Specific Weight）$\gamma = 9810	ext{ N/m}^3$，試求作用於 $	ext{A}$ 點之施力 $F$，最少須為多少牛頓（$	ext{N}$）才得以維持閘門關閉（計算至小數點後第 $1$ 位，以下四捨五入）？（15 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「平面水閘門所受靜水壓力」及「對鉸接點取力矩」。 平面閘門上的靜水壓力為 $$ p=\gamma h $$ 其中 $h$ 為該處距離自由液面的垂直深度。由於閘門各處深度不同，壓力呈三角形分布，因此合力作用於「壓力中心」，不能直接作用於幾何中心。 圖中： - 閘門長度：$L=2	ext{ m}$ - 閘門寬度：$b=2	ext{ m}$ - 鉸接點 $H$ 位於自由液面下 $1	ext{ m}$ - 閘門與水平線夾角：$30^\circ$ - 水的比重量：$\gamma=9810	ext{ N/m}^3$ --- 解題方法 令 $s$ 表示沿閘門由 $H$ 量至任意位置的距離，則該位置的垂直深度為 $$ h=1+s\sin30^\circ $$ 因為 $\sin30^\circ=0.5$，所以 $$ h=1+0.5s $$ 閘門面積為 $$ A=Lb=(2)(2)=4	ext{ m}^2 $$ 一、求靜水壓合力 閘門形心位於 $H$ 沿閘門方向的 $1	ext{ m}$ 處，其垂直深度為 $$ hc=1+1\sin30^\circ=1.5	ext{ m} $$ 因此靜水壓合力為 $$ R=\gamma hc A $$ $$ R=(9810)(1.5)(4) =58860	ext{ N} $$ --- 二、求壓力中心至鉸接點 $H$ 的距離 對鉸接點 $H$ 取力矩： $$ MH=\int0^L p(s)b s\,ds $$ 其中 $$ p(s)=\gamma(1+0.5s) $$ 故 $$ MH =\gamma b\int0^2(1+0.5s)s\,ds $$

Question 5

如【圖 2】所示，管路泵浦系統中，一水泵於定轉速下將水由水槽 $	ext{A}$ 以流量 $Q$ 泵送至水槽 $	ext{B}$，兩水槽液面皆暴露於大氣，已知該水泵揚程 $hA$ 與泵送流量 $Q$ 之關係可表示為 $hA = 50 - 2Q^2$，系統之損失水頭曲線為 $h{L,1-2} = 1.5Q^2$，其中 $hA$、$h{L,1-2}$ 之單位皆為 $	ext{m}$，$Q$ 之單位則為 $	ext{m}^3/	ext{s}$，假設泵送過程中兩水槽之液面高度變化極微小可忽略不計，請計算此系統中水泵之泵送流量為多少 $	ext{m}^3/	ext{s}$（計算至小數點後第 $1$ 位，以下四捨五入）？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查泵浦系統的「工作點」：泵浦揚程曲線與管路系統所需揚程曲線的交點，即為實際泵送流量。 兩水槽液面皆為大氣壓，且液面流速可忽略，因此能量方程為 $$ hA=(z2-z1)+h{L,1-2} $$ 由圖可知水槽 B 與水槽 A 的液面高差為 $$ z2-z1=10\ 	ext{m} $$ 解題方法 泵浦揚程為 $$ hA=50-2Q^2 $$ 管路損失水頭為 $$ h{L,1-2}=1.5Q^2 $$ 代入系統能量方程： $$ 50-2Q^2=10+1.5Q^2 $$ 整理得 $$ 40=3.5Q^2 $$ 因此 $$ Q^2=\frac{40}{3.5}=11.4286 $$

Question 6

一灑水器如【圖 3】所示，由一固定之空心立柱與兩支等長、位於同一直線上、通過立柱軸心且垂直於立柱之轉臂組成，當水由立柱下方進入灑水器後，會平均地由兩支轉臂末端的噴嘴沿轉臂旋轉之切線方向噴出，並帶動轉臂繞立柱軸心旋轉；兩噴嘴之噴口面積皆為 $50\text{ mm}^2$ ，噴嘴中心距離立柱中心為 $300\text{ mm}$ ；假設立柱下方穩定地以 $2\text{ L/s}$ 的水量流進灑水器，水的密度為 $1000\text{ kg/m}^3$ ，在忽略噴嘴長度、轉臂旋轉過程中之空氣阻力及轉軸處之摩擦阻力下，請計算下列各項（計算至小數點後第 $1$ 位，以下四捨五入）。（共 3 題，共 25 分）

(一) 需施加多少 $\text{N}\cdot\text{m}$ 的反向扭矩於轉臂上，才能使其靜止？（10 分） (二) 當轉臂穩定地以 $\omega = 100\text{ RPM}$ 旋轉時，施加於其上之反向扭矩為多少 $\text{N}\cdot\text{m}$ ？（10 分） (三) 當無任何反向扭矩施加於轉臂上時，轉臂的轉速 $\omega$ 為多少 $\text{RPM}$ ？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「控制體角動量方程式」與「噴嘴相對速度、絕對速度的關係」。

水由固定立柱軸向流入，入口處相對立柱軸心的切向速度為零，因此入口角動量通量為零。水由兩個噴嘴平均流出，每個噴嘴的流量為

Q_1=Q_2=\frac{Q}{2} =\frac{0.002}{2} =0.001\ \text{m}^3/\text{s}

每個噴嘴的相對切向速度為

V_r=\frac{Q_1}{A} =\frac{0.001}{50\times10^{-6}} =20\ \text{m/s}

其中

r=300\ \text{mm}=0.3\ \text{m}

水流方向與轉臂旋轉方向相反，故噴嘴出口水流的絕對切向速度為

V_\theta=V_r-r\omega

控制體角動量方程式為

T=\dot m\,rV_\theta

其中總質量流率為

\dot m=\rho Q =1000(0.002) =2\ \text{kg/s}

因此轉臂所需施加的反向扭矩大小為

T_{\text{反}}=\dot m\,r(V_r-r\omega)

（一）轉臂靜止時的反向扭矩

靜止時 $\omega=0$ ，因此

T_{\text{反}} =\dot m\,rV_r

代入數值：

T_{\text{反}} =2(0.3)(20) =12.0\ \text{N}\cdot\text{m}

反向扭矩方向須與水流反作用力造成的轉動方向相反。

（二）轉臂以 $100\ \text{RPM}$ 旋轉時的反向扭矩

先將轉速換算為角速度：

\omega =100\frac{2\pi}{60} =10.472\ \text{rad/s}

轉臂末端的切向速度為

r\omega =0.3(10.472) =3.142\ \text{m/s}

水流相對噴嘴的切向速度為 $20\ \text{m/s}$ ，故水流相對固定座標的切向速度為

V_\theta=20-3.142 =16.858\ \text{m/s}

反向扭矩：

壓力 ( $\text{MPa}$ )	飽和溫度 ( $^\circ\text{C}$ )	比容 $v_f$ ( $\text{m}^3/\text{kg}$ )	比容 $v_g$ ( $\text{m}^3/\text{kg}$ )	比內能 $u_f$ ( $\text{kJ/kg}$ )	比內能 $u_g$ ( $\text{kJ/kg}$ )	比焓 $h_f$ ( $\text{kJ/kg}$ )	比焓 $h_g$ ( $\text{kJ/kg}$ )
0.02	60.06	0.001017	7.649	251.38	2456.7	251.40	2609.7
0.50	151.86	0.001093	0.3749	639.68	2561.2	640.23	2748.7

110 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員機械國營事業聯招 (熱力學與熱機學...) 考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

（一）壓縮機出口空氣溫度

1. 求等熵壓縮出口溫度

2. 利用壓縮機等熵效率求實際溫度

（二）渦輪機出口空氣溫度

1. 求渦輪入口溫度 $T_3$

2. 求等熵膨脹出口溫度

第二題15 分

一、求入口比焓

二、利用節流過程求出口乾度

第三題10 分

核心觀念

解題方法

一、求末狀態體積與溫度

二、求氦氣質量

（一）膨脹過程輸出之功

第四題15 分

一、求靜水壓合力

二、求壓力中心至鉸接點 $H$ 的距離

第五題10 分

第六題25 分

核心觀念

（一）轉臂靜止時的反向扭矩

（二）轉臂以 $100\ \text{RPM}$ 旋轉時的反向扭矩

其他考古題

110 年機械的其他科目

機械《國營事業聯招 (熱力學與熱機學...)》其他年度

110 年經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員・其他類科的《國營事業聯招 (熱力學與熱機學...)》

110 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 機械 國營事業聯招 (熱力學與熱機學...) 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）壓縮機出口空氣溫度

1. 求等熵壓縮出口溫度

2. 利用壓縮機等熵效率求實際溫度

（二）渦輪機出口空氣溫度

1. 求渦輪入口溫度 T3T_3T3​

2. 求等熵膨脹出口溫度

第 二 題15 分

一、求入口比焓

二、利用節流過程求出口乾度

第 三 題10 分

核心觀念

解題方法

一、求末狀態體積與溫度

二、求氦氣質量

（一）膨脹過程輸出之功

第 四 題15 分

一、求靜水壓合力

二、求壓力中心至鉸接點 HHH 的距離

第 五 題10 分

第 六 題25 分

核心觀念

（一）轉臂靜止時的反向扭矩

（二）轉臂以 100 RPM100\ \text{RPM}100 RPM 旋轉時的反向扭矩

其他考古題

110 年機械的其他科目

機械《國營事業聯招 (熱力學與熱機學...)》其他年度

110 年經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員・其他類科的《國營事業聯招 (熱力學與熱機學...)》

110 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員機械國營事業聯招 (熱力學與熱機學...) 考古題詳解

第一題25 分

1. 求渦輪入口溫度 $T_3$

第二題15 分

第三題10 分

第四題15 分

二、求壓力中心至鉸接點 $H$ 的距離

第五題10 分

第六題25 分

（二）轉臂以 $100\ \text{RPM}$ 旋轉時的反向扭矩