111 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 機械 國營事業聯招 (熱力學與熱機學、流體力學與流體機械) 考古題詳解

核心觀念

本題考查冷卻水塔的兩項基本平衡：

1. 能量平衡：熱水放出的熱量等於空氣吸收的焓差。
2. 質量平衡：水的蒸發量等於乾空氣所增加的水蒸氣量。

假設冷卻水塔與外界無熱損失，且忽略飛濺水滴、排污水等損失。

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解題方法

一、求乾空氣質量流率

熱水由 $40^\circ\text{C}$ 冷卻至 $26^\circ\text{C}$，其放熱量為

$$\dot Q_w = \dot m_w(h_3-h_4)$$

代入

$$\dot Q_w =60(167.57-109.07)$$ $$\dot Q_w =60(58.50) =3510\ \text{kJ/s}$$

空氣吸收的熱量為

$$\dot Q_a=\dot m_{da}(h_2-h_1)$$

依能量平衡：

$$\dot m_{da}(h_2-h_1) =3510$$

因此

$$\dot m_{da} =\frac{3510}{113.5-44.7} =\frac{3510}{68.8} =51.02\ \text{kg dry air/s}$$

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（一）空氣之體積流率

入口空氣的比容為

$$v_1=0.849\ \text{m}^3/\text{kg dry air}$$

所以入口空氣體積流率為

$$\dot V_a=\dot m_{da}v_1$$ $$\dot V_a =51.02(0.849) =43.31\ \text{m}^3/\text{s}$$

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（二）補充水之質量流率

核心觀念

本題考查「過熱、再熱朗肯循環」的能量分析，使用下列關係：

• 渦輪等熵膨脹：$s_{\text{in}}=s_{\text{out,s}}$
• 泵浦等熵壓縮：

$w_p=v_f(P_6-P_5)$

• 循環淨功：

$w_{\text{net}}=w_{T1}+w_{T2}-w_p$

• 循環熱效率：

$\eta_{\text{th}}=\frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}}$

• 渦輪等熵效率：

$$\eta_t=\frac{h_{\text{in}}-h_{\text{out,a}}} {h_{\text{in}}-h_{\text{out,s}}}$$

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解題方法

一、各狀態點性質

狀態 1：$P_1=8\text{ MPa},\ T_1=480^\circ\text{C}$

由 $440^\circ\text{C}$ 與 $500^\circ\text{C}$ 間線性內插：

$$h_1=3246.1+\frac{480-440}{500-440}(3398.3-3246.1)$$ $$h_1=3347.567\text{ kJ/kg}$$ $$s_1=6.5190+\frac{40}{60}(6.7240-6.5190) =6.656\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

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狀態 2：第一級渦輪等熵膨脹至 $P_2=0.7\text{ MPa}$

因為：

$$s_2=s_1=6.656$$

且在 $0.7\text{ MPa}$ 下：

$$s_f=1.9922,\qquad s_g=6.7080$$

所以狀態 2 位於濕蒸汽區，乾度為：

$$x_2=\frac{s_2-s_f}{s_g-s_f} =\frac{6.656-1.9922}{6.7080-1.9922} =0.989$$

因此：

$$h_2=h_f+x_2(h_g-h_f)$$ $$h_2=697.22+0.988903(2763.5-697.22)$$ $$h_2=2740.570\text{ kJ/kg}$$

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狀態 3：再熱器出口

題目直接給定 $P_3=0.7\text{ MPa}$、$T_3=440^\circ\text{C}$，由表得：

$$h_3=3353.300\text{ kJ/kg}$$ $$s_3=7.7571\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

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狀態 4：第二級渦輪等熵膨脹至 $P_4=0.008\text{ MPa}$

$$s_4=s_3=7.7571$$

在 $0.008\text{ MPa}$ 下：

$$s_f=0.5926,\qquad s_g=8.2287$$

乾度：

$$x_4=\frac{7.7571-0.5926}{8.2287-0.5926} =0.938$$

故：

$$h_4=h_f+x_4(h_g-h_f)$$ $$h_4=173.88+0.938241(2577.0-173.88)$$ $$h_4=2428.585\text{ kJ/kg}$$

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狀態 5、6：泵浦

冷凝器出口為飽和液體：

$$h_5=h_f=173.88\text{ kJ/kg}$$

泵浦功：

$$w_p=v_f(P_6-P_5)$$ $$w_p=0.0010084(8000-8) =8.059\text{ kJ/kg}$$

因此：

$$h_6=h_5+w_p =181.939\text{ kJ/kg}$$

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（一）循環熱效率

第一級渦輪功：

$$w_{T1}=h_1-h_2 =3347.567-2740.570 =606.997\text{ kJ/kg}$$

第二級渦輪功：

$$w_{T2}=h_3-h_4 =3353.300-2428.585 =924.715\text{ kJ/kg}$$

總渦輪功：

$$w_T=606.997+924.715 =1531.712\text{ kJ/kg}$$

循環淨功：

$$w_{\text{net}}=1531.712-8.059 =1523.653\text{ kJ/kg}$$

鍋爐及再熱器總吸熱量：

$$q_{\text{in}}=(h_1-h_6)+(h_3-h_2)$$ $$q_{\text{in}} =(3347.567-181.939)+(3353.300-2740.570)$$

核心觀念

本題考查密閉、定容空間內空氣受熱的能量平衡。

房間為密閉空間，空氣質量固定；房間體積不變，因此空氣對外不作邊界功。空氣視為理想氣體，內能變化為

$$\Delta U=m C_v\Delta T$$

其中

$$C_v=C_p-R$$

加熱器與風扇皆將能量轉為房間內空氣的熱能；房間另有熱量散失。

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解題方法

房間體積為

$$V=5\times 6\times 8=240\ \text{m}^3$$

初始狀態：

$$P=120\ \text{kPa},\qquad T_1=10^\circ\text{C}=283.15\ \text{K}$$

由理想氣體方程式求空氣質量：

$$PV=mRT$$ $$m=\frac{PV}{RT} =\frac{(120)(240)}{(0.287)(283.15)} =354.221\ \text{kg}$$

定容比熱為

$$C_v=C_p-R=1.005-0.287=0.718\ \text{ kJ/(kg}\cdot^\circ\text{C)}$$

溫度變化：

$$\Delta T=20-10=10^\circ\text{C}$$

因此空氣所需增加的內能為

$$\Delta U=mC_v\Delta T$$ $$\Delta U=(354.221)(0.718)(10) =2543.709\ \text{kJ}$$

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能量輸入與散失

加熱器輸入熱量：

$$\dot Q_{\text{heater}}=12000\ \text{kJ/h}$$

風扇功率為

$$100\ \text{W}=100\ \text{J/s}$$

換算為 $\text{kJ/h}$：

核心觀念

本題考查圓管內「穩態、完全發展、軸對稱層流」的拋物線速度分布，需用到：

1. 圓管層流速度分布： $u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$

2. 拋物線速度分布之平均流速： $\bar{u}=\frac{u_{\max}}{2}$

3. 雷諾數： $Re=\frac{\bar{u}D}{\nu}$

4. 圓管層流之壓力降： $\Delta p=p_1-p_2=\frac{32\mu \bar{u}L}{D^2}$

其中 $D$ 為管徑、$R=D/2$、$L$ 為兩截面距離、$\nu$ 為運動黏滯係數、$\mu$ 為動力黏滯係數。

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（一）截面平均流速

圖中管徑為：

$D=0.2\ \text{m}$

因此半徑為：

$R=0.1\ \text{m}$

已知中心軸流速即最大流速：

$u_{\max}=u(0)=0.01\ \text{m/s}$

圓管內拋物線速度分布的平均流速為最大流速的一半：

$\bar{u}=\frac{u_{\max}}{2}$

代入得：

$\bar{u}=\frac{0.01}{2}=0.005\ \text{m/s}$

故：

$\boxed{\bar{u}=0.005\ \text{m/s}}$

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（二）證明流況屬於層流

雷諾數定義為：

$Re=\frac{\bar{u}D}{\nu}$

已知：

$\bar{u}=0.005\ \text{m/s}$

$D=0.2\ \text{m}$

$\nu=10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}$

因此：

$Re=\frac{(0.005)(0.2)}{10^{-6}}$

$Re=1000$

圓管流動通常以：

• $Re<2300$：層流
• $2300<Re<4000$：過渡流
• $Re>4000$：紊流

本題：

$Re=1000<2300$

因此流況確屬層流：

$\boxed{Re=1000，為層流}$

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（三）求截面①與②之壓力差

1. 由水的運動黏滯係數求動力黏滯係數

題目僅給運動黏滯係數：

核心觀念

本題應用：

1. 連續方程式 $Q=A V$

2. 伯努力方程式：求截面②水束速度。

3. 線性動量方程式：計算水束撞擊垂直壁後，水流在 $x$ 方向動量的變化。

截面②為自由噴流，且截面③水流速度與截面②相同。撞擊壁面後，除通過圓孔的水流外，其餘水流沿壁面上下對稱流出，因此上下流動的 $x$ 方向動量互相抵消。

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解題方法

一、以伯努力方程式求 $V_2$

設水的密度為 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$，截面①、②的平均速度分別為 $V_1$、$V_2$。

由連續方程式：

$$A_1V_1=A_2V_2$$

因此：

$$V_1=\frac{A_2}{A_1}V_2 =\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2V_2 =\left(\frac{0.15}{0.25}\right)^2V_2 =0.36V_2$$

截面②暴露於大氣，採錶壓計算時 $p_2=0$。忽略摩擦，且管路水平，伯努力方程式為：

$$\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2} = \frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}$$

代入 $p_1=5000\ \mathrm{N/m^2}$、$p_2=0$ 及 $V_1=0.36V_2$：

$$\frac{5000}{1000}+\frac{(0.36V_2)^2}{2} =\frac{V_2^2}{2}$$

整理得：

$$V_2^2=\frac{2(5000)}{1000(1-0.36^2)} =11.4889706$$

故：

$$V_2=3.389538\ \mathrm{m/s}$$

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二、以動量方程式求垂直壁受力

取截面②至垂直壁下游的水流為控制體。

截面②流入的 $x$ 方向動量流率為：

$$\rho A_2V_2^2$$

核心觀念

本題屬於明渠流（Open Channel Flow）之等速均勻流（Uniform Flow）與水流狀態判別考題，為國營事業聯招流體力學與流體機械類科之高頻核心考點。主要涵蓋以下三大關鍵觀念與公式：

1. 曼寧公式（Manning's Formula）： 在公制單位（SI unit）下，等速均勻流之平均流速 $V$ 與正常流量 $Q$ 表示式為： $V = \frac{1}{n} R_h^{2/3} S^{1/2}$ $Q = A \cdot V = \frac{A}{n} R_h^{2/3} S^{1/2}$ 其中 $A$ 為水流截面積，$P$ 為濕周（Wetted perimeter），$R_h = \frac{A}{P}$ 為水力半徑（Hydraulic radius），$n$ 為渠床糙度係數，$S$ 為渠床縱坡。

2. 單位能量液頭（比能，Specific Energy）： 以渠底為基準面時，單位重量液體所具備之總能量稱為比能 $E$，其定義公式為： $E = y + \frac{V^2}{2g}$ 其中 $y$ 為水深，$\frac{V^2}{2g}$ 為動能液頭（$g$ 取 $9.81\text{ m/s}^2$）。

3. 明渠流流態判別（弗勞德數 Froude Number）： 明渠流之水力狀態由弗勞德數 $Fr$ 或臨界水深 $y_c$ 決定： $Fr = \frac{V}{\sqrt{g y_h}}$ 矩形渠槽之水力深度 $y_h = y$。

• 若 $Fr < 1$（或 $y > y_c$）：屬於緩流（Subcritical flow）。
• 若 $Fr > 1$（或 $y < y_c$）：屬於急流（Supercritical flow，部分教材稱為湍流/射流）。
• 若 $Fr = 1$（或 $y = y_c$）：屬於臨界流（Critical flow）。

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解題方法

(一) 計算正常流量 $Q$

1. 求解幾何特性： 矩形渠槽底寬 $w = 2.5\text{ m}$，水深 $y = 1.8\text{ m}$。

• 截面積： $A = w \times y = 2.5 \times 1.8 = 4.5000\text{ m}^2$
• 濕周（底寬加上兩側壁）： $P = w + 2y = 2.5 + 2(1.8) = 6.1000\text{ m}$
• 水力半徑： $R_h = \frac{A}{P} = \frac{4.5}{6.1} \approx 0.73770492\text{ m}$

2. 帶入曼寧公式計算平均流速 $V$： 已知 $n = 0.012$，$S = 0.0036$。 $R_h^{2/3} = (0.73770492)^{2/3} \approx 0.81646270$ $S^{1/2} = \sqrt{0.0036} = 0.06$ $V = \frac{1}{0.012} \times 0.81646270 \times 0.06 \approx 4.08231350\text{ m/s}$

3. 求解正常流量 $Q$： $Q = A \times V = 4.5 \times 4.08231350 = 18.37041075\text{ m}^3/\text{s}$ 四捨五入取至小數點後第 4 位，得正常流量 $Q = 18.3704\text{ m}^3/\text{s}$。

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(二) 計算單位能量液頭（比能）$E$

帶入比能定義式，取重力加速度 $g = 9.81\text{ m/s}^2$：

1. 計算動能液頭： $\frac{V^2}{2g} = \frac{(4.08231350)^2}{2 \times 9.81} = \frac{16.66528352}{19.62} \approx 0.84940283\text{ m}$

2. 計算比能 $E$： $E = y + \frac{V^2}{2g} = 1.8 + 0.84940283 = 2.64940283\text{ m}$