111 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 機械 國營事業聯招 (應用力學、材料力學)A 考古題詳解

核心觀念 本題考查材料力學中「材料力學性質」（Mechanical Properties of Materials）的基本定義與加卸載行為，包含延性材料（Ductile material）、脆性材料（Brittle material）、等向性材料（Isotropic material）與線彈性材料（Linear Elastic material）。

1. 延性材料（Ductile Material）：受拉伸或壓縮時，在降伏後、破壞前能產生顯著的塑性變形（大應變），例如軟鋼（Mild Steel）、鋁、銅等。
2. 脆性材料（Brittle Material）：受力後幾乎無明顯降伏或塑性變形，當應力達到極限強度時即發生突然斷裂，例如混凝土、鑄鐵、玻璃等。
3. 等向性材料（Isotropic Material）：材料在空間中各個方向具有相同的力學與物理性質（例如彈性模數 $E$、剪切模數 $G$、波松比 $\nu$ 等皆不隨受力方向改變）。
4. 線彈性材料（Linear Elastic Material）：應力與應變呈線性正比關係，遵守虎克定律（Hooke's Law）： $\sigma = E \epsilon$ 且當外力卸除（Unloading）時，材料能夠完全回復至原始形狀與尺寸，不留任何永久殘留應變。

解題方法 本題為概念判斷題，解題切入點在於對各力學名詞的精確定義進行比對：

1. 檢視延性與脆性材料之應變定義（降伏後至破壞前之應變量大小）。
2. 檢視等向性材料方向獨立性之特徵。
3. 檢視彈性（Elasticity）與塑性（Plasticity）之加卸載行為差異：彈性材料的核心特徵即為「卸載後能完全回復原狀」，若無法回復原狀則代表已產生塑性變形或殘留應變。

核心觀念

在材料力學中，「剛度（Rigidity）」代表桿件橫斷面抵抗特定外力作用與變形形式的能力，通常由**材料彈性常數（如 $E$ 或 $G$）與斷面幾何性質（如 $A$、$I$ 或 $J$）**相乘構成：

1. 軸向剛度（Axial Rigidity）：$EA$，衡量桿件抵抗軸向伸長或縮短變形的能力。
2. 抗彎剛度／彎曲剛度（Flexural Rigidity）：$EI$，衡量梁構件抵抗彎曲變形（曲率變化）的能力。
3. 抗扭剛度／扭轉剛度（Torsional Rigidity）：$GJ$，衡量圓軸構件抵抗扭轉角變形的能力。

解題方法

由桿件受力的基本變形公式出發，分析各變形量與斷面剛度的對應關係：

1. 軸力作用：伸長量 $\delta = \dfrac{PL}{EA}$，分母之 $EA$ 即為軸向剛度。
2. 純彎矩作用：曲率 $\kappa = \dfrac{1}{\rho} = \dfrac{M}{EI}$，分母之 $EI$ 即為彎曲剛度。
3. 純扭矩作用：扭轉角 $\phi = \dfrac{TL}{GJ}$，分母之 $GJ$ 即為扭轉剛度。

將題目選項逐一與上述三種基本剛度進行比對，即可判斷何者非標準力學剛度。

選項分析

核心觀念

本題考查「複合材料軸向桿件」的變形相容條件與軸力分配。

鋼、鋁均固定於同一端，另一端共同接觸剛性板，因此受力後兩種材料的軸向變形相同，故具有相同應變：

依胡克定律：

軸力為：

因此複合材料中各材料的軸力比為：

解題方法

由圖示方形斷面，外部正方形邊長為 $10\ \text{mm}$，中央鋁材正方形邊長為 $5\ \text{mm}$。

鋁材面積：

鋼材為外正方形扣除中央鋁材：

故：

核心觀念

本題考查軸向桿件的變形計算。軸力桿段的軸向變形為

其中：

• $N$：桿段內力，拉力取正、壓力取負
• $L$：桿段長度
• $A$：剖面積
• $E$：彈性模數

$C$ 點相對於固定端 $A$ 的水平變位，等於 $AC$ 途中各桿段變形的代數和。

解題方法

取向右為正，並將力換算為 $\text{kgf}$：

圖中：

• $AB=20\ \text{cm}$
• $BC=50\ \text{cm}$
• $A_1=200\ \text{cm}^2$
• $E=1.6\times10^4\ \text{kgf}/\text{cm}^2$

由整體平衡，$A$ 點反力為

因此

表示反力向左。

在 $AB$ 段取截面，內力為拉力：

在 $BC$ 段取截面，左側外力合力為

因此 $BC$ 段為壓力：

所以 $C$ 點變位為

核心觀念

本題考查平面幾何圖形之**截面二次矩（慣性矩，Moment of Inertia）與迴轉半徑（Radius of Gyration）**的定義及計算：

1. 面積慣性矩公式：

• 寬 $b$、高 $h$ 之矩形對其形心軸之慣性矩：$I_c = \frac{1}{12}bh^3$
• 矩形對其底邊軸之慣性矩：$I_{\text{base}} = \frac{1}{3}bh^3$（亦可利用平行軸定理 $I = I_c + Ad^2$ 求得）

2. 迴轉半徑定義：

• 截面對於某特定軸之迴轉半徑 $k$，定義為慣性矩與截面面積比值之平方根： $k = \sqrt{\frac{I}{A}}$

解題方法

步驟一：計算平面幾何特性

• 正方形每邊長為 $2a$，故寬度 $b = 2a$、高度 $h = 2a$。
• 截面面積 $A$ 為： $A = b \times h = (2a) \times (2a) = 4a^2$

步驟二：求對底邊軸之慣性矩 $I_{\text{base}}$

• 方法一（直接代公式）： $I_{\text{base}} = \frac{1}{3}bh^3 = \frac{1}{3}(2a)(2a)^3 = \frac{1}{3}(2a)(8a^3) = \frac{16}{3}a^4$

• 方法二（平行軸定理驗證）： 形心慣性矩 $I_c = \frac{1}{12}bh^3 = \frac{1}{12}(2a)(2a)^3 = \frac{4}{3}a^4$。 形心至底邊之距離 $d = \frac{2a}{2} = a$。 $I_{\text{base}} = I_c + Ad^2 = \frac{4}{3}a^4 + (4a^2)(a)^2 = \frac{4}{3}a^4 + 4a^4 = \frac{16}{3}a^4$

核心觀念

本題考查梁之垂直剪應力公式：

其中：

• $V$：梁所受垂直剪力
• $Q$：考慮位置以上部分面積對中性軸的一次矩
• $I$：整個斷面對中性軸之慣性矩
• $b$：該位置的斷面寬度

對 T 型梁而言，最大剪應力通常發生在中性軸處。必須先求出整個 T 型斷面的形心位置。

解題方法

由圖可知：

• 翼板寬度：$108\text{ cm}$
• 翼板厚度：$20\text{ cm}$
• 腹板寬度：$36\text{ cm}$
• 腹板高度：$40\text{ cm}$

取梁上翼緣頂端為基準，計算各部分面積及形心位置。

1. 計算翼板與腹板面積

翼板面積：

翼板形心距頂端：

腹板面積：

腹板形心距頂端：

2. 計算中性軸位置

核心觀念

本題考查兩種材料緊密結合之複合梁彎曲。彎曲時：

1. 梁截面各點的應變呈線性分布。
2. 相同位置的應變相同，但因材料彈性模數不同，應力不同。
3. 需先求複合截面的中性軸，再利用轉換截面法求彎曲應力。

材料彈性模數比為

將材料 B 轉換成材料 A。

解題方法

梁長為 $2\ \text{m}$，中央承受 $15\ \text{kN}$ 集中力，因此最大彎矩在跨中央：

截面寬度為 $36\ \text{mm}$，材料 A 厚度 $40\ \text{mm}$，材料 B 厚度 $20\ \text{mm}$。

以材料 A 為基準，材料 B 的轉換面積為

以截面底部為基準，中性軸位置為

因此中性軸距離：

• 截面底部：$38\ \text{mm}$
• 材料 B 頂部：$60-38=22\ \text{mm}$

轉換截面的慣性矩：

核心觀念

本題考查 Euler 臨界挫屈荷重公式：

其中：

• $E I$：柱的彎曲剛度
• $L$：柱長
• $K$：有效長度係數，取決於柱端支承條件

由圖判讀：

• 柱 1：一端固定、一端鉸支，$K_1 \approx 0.7$
• 柱 2：一端固定、一端自由，$K_2=2$

解題方法

柱 1 的臨界挫屈荷重為

柱 2 的彎曲剛度為 $2EI$，且為固定—自由柱，因此

題目說兩柱具有極為相近的臨界挫屈荷重，令兩者相等：

約去 $\pi^2EI$：

核心觀念

本題考查材料力學中圓軸受純扭轉（Pure Torsion）作用時之剪應力分布特性。

1. 圓軸扭轉公式（Torsion Formula）： 當中空圓軸承受扭矩 $T$ 作用時，橫剖面上距圓心距離為 $r$ 處之剪應力 $\tau$ 為： $\tau(r) = \frac{T \cdot r}{J}$ 其中 $T$ 為扭矩，$r$ 為距軸心之徑向距離，$J$ 為剖面之極慣性矩（Polar Moment of Inertia）。

2. 剪應力與徑向距離之正比關係： 在同一個受扭圓軸剖面上，扭矩 $T$ 與極慣性矩 $J$ 均為定值，故剪應力 $\tau$ 與距圓心之距離 $r$（或直徑 $D$）成正比： $\tau \propto r \quad \implies \quad \frac{\tau_i}{\tau_o} = \frac{r_i}{r_o} = \frac{D_i}{D_o}$ 其中 $\tau_i$ 與 $\tau_o$ 分別為內壁及外壁之剪應力，$D_i$ 與 $D_o$ 分別為內徑與外徑。

解題方法

1. 標記已知條件：

• 外徑 $D_o = 20\ \text{cm}$
• 外壁剪應力 $\tau_o = 500\ \text{kg}/\text{cm}^2$
• 內壁剪應力 $\tau_i = 200\ \text{kg}/\text{cm}^2$
• 設中空圓軸內徑為 $D_i$

2. 建立正比關係式與推導： 由圓軸扭轉應力分布可知，剪應力由圓心向外隨半徑呈線性遞增，內壁與外壁剪應力之比等於內徑與外徑之比： $\frac{\tau_i}{\tau_o} = \frac{D_i}{D_o}$

3. 代入數據計算內徑： $\frac{200}{500} = \frac{D_i}{20}$ $\frac{2}{5} = \frac{D_i}{20}$ $D_i = 20 \times \frac{2}{5} = 8\ \text{cm}$

核心觀念

本題考查「兩端固定桿件之熱應力」。桿件溫度均勻上升時，原本會因熱膨脹而伸長；但兩端固定，總長度不得改變，因此產生壓縮應力。

熱應變為

兩端固定時，總軸向應變為零。

解題方法

桿件的總應變由機械應變與熱應變組成：

因兩端固定，桿件長度變化為零，因此

所以

由胡克定律，

負號表示桿件承受壓縮應力。軸力為

因此端點反力的大小為

核心觀念

本題考查各向同性材料在三軸向正應力作用下的廣義虎克定律。$y$ 方向應變為

其中：

• $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ 為三軸向正應力
• $E$ 為楊氏模數
• $\nu$ 為蒲松比
• $y$ 軸方向長度為圖示的 $b=300\ \text{mm}$

解題方法

將楊氏模數換算為 $\text{MPa}$：

代入三軸應力：

因此，$y$ 軸邊長變化量為

核心觀念

本題為材料力學中「軸力桿件變形」與「等向性材料彈性常數關係」的經典綜合題。主要涵蓋以下兩大核心公式與定義：

1. 胡克定律與軸力伸長量公式（Hooke's Law & Axial Deformation）： 當一勻質等截面彈性桿件承受軸向拉力 $P$ 時，其伸長量 $\delta$ 關係式為： $\delta = \frac{P L}{E A}$ 其中 $P$ 為軸向拉力、$L$ 為桿件原長、$E$ 為楊氏模數（Young's modulus）、$A$ 為橫斷面積。

2. 等向性材料彈性常數間的理論關係式（Elastic Constants Relationship）： 對於均質且等向性（Isotropic）材料，楊氏模數 $E$、剪力模數 $G$ 與蒲松比 $\nu$（Poisson's ratio）滿足以下結構力學基本關係： $E = 2G(1 + \nu) \quad \implies \quad G = \frac{E}{2(1 + \nu)}$

解題方法

步驟一：單位統一與已知條件整理

• 桿件長度 $L = 1\ \text{m} = 1000\ \text{mm}$
• 斷面積 $A = 10\ \text{cm}^2 = 10 \times 100\ \text{mm}^2 = 1000\ \text{mm}^2 = 10^{-3}\ \text{m}^2$
• 軸向拉力 $P = 150\ \text{kN} = 150 \times 10^3\ \text{N}$
• 伸長量 $\delta = 0.8\ \text{mm} = 0.8 \times 10^{-3}\ \text{m}$
• 蒲松比 $\nu = 0.25$

步驟二：求解楊氏模數 $E$

由軸向伸長量公式 $\delta = \frac{P L}{E A}$，移項推導出楊氏模數 $E$： $E = \frac{P L}{A \delta}$

代入數值計算： $E = \frac{150 \times 10^3\ \text{N} \times 1\ \text{m}}{10^{-3}\ \text{m}^2 \times 0.8 \times 10^{-3}\ \text{m}} = \frac{150 \times 10^3}{0.8 \times 10^{-6}}\ \text{Pa} = 187.5 \times 10^9\ \text{Pa} = 187.5\ \text{GPa}$

步驟三：求解剪力模數 $G$

利用等向性材料之彈性常數關係式 $G = \frac{E}{2(1 + \nu)}$，代入 $E = 187.5\ \text{GPa}$ 與

核心觀念

本題考查懸臂梁的彎曲變形，以及「剛性連接構件的轉角會造成端點位移」的觀念。

採用 Euler–Bernoulli 梁理論，忽略剪力變形與軸向變形。由圖可知：

• $AC=L$
• $AB=BC=L/2$
• $CD=L/2$
• 外力 $P$ 作用於 $B$ 點
• $AC$ 與 $CD$ 之彎曲剛度皆為 $EI$

由於 $D$ 端為自由端，且 $CD$ 上沒有外力作用，$CD$ 不產生彎曲變形；$D$ 點的水平位移主要來自 $C$ 點轉角所造成的位移。

解題方法

在 $AB$ 段，距離固定端 $A$ 為 $x$ 處的彎矩為

在 $BC$ 段沒有彎矩，因此 $C$ 點的轉角等於 $B$ 點的轉角。

懸臂梁受集中力 $P$ 作用於距固定端

其作用點轉角為

代入 $a=L/2$：

由於 $CD$ 為垂直構件，長度為 $L/2$，$C$ 點轉動所造成的 $D$ 點水平位移為

核心觀念

本題考查「撐桿梁（propped cantilever）」的相容條件與單位荷重法。

梁左端 $A$ 固定，右端 $B$ 為支承，因此 $B$ 點的垂直位移必須為零：

圖中均布載重作用於左半段，載重強度為 $W$，長度為 $L/2$。利用單位荷重法，分別計算均布載重與 $B$ 點支承反力所造成的位移。

解題方法

設 $B$ 點支承反力為 $R_B$，方向向上。

在 $B$ 點施加單位向下力，梁的單位荷重彎矩為

均布載重作用區間為 $0\le x\le L/2$。對於距離固定端 $A$ 為 $x$ 的截面，均布載重所造成的彎矩為

因此，均布載重造成的 $B$ 點位移為

代入可得

令

則 $L-x=\frac{L}{2}+u$，所以

核心觀念

本題考查平面應力元素的最大剪應力。對於平面應力狀態：

其中，$\tau_{\max}$ 即為莫耳圓半徑，也等於兩主應力差的一半。

解題方法

依圖中箭頭方向，取拉應力為正、壓應力為負：

• $x$ 方向正應力為壓應力：

• $y$ 方向正應力為壓應力：

• 剪應力大小為：

剪應力正負只影響應力元素的轉角方向，不影響最大剪應力值。因此：

核心觀念

本題考查歐拉柱挫屈公式：

其中：

• $EI$：構件彎曲剛度
• $L$：構件長度
• $K$：有效長度係數
• $KL$：有效挫屈長度

圖示構件的 $A$ 端為固定端，$B$ 端為定向支承。定向支承可讓構件沿軸向移動，但限制橫向位移與轉動，因此挫屈時兩端均相當於固定端。

解題方法

固定—固定柱的兩端邊界條件為：

其第一挫屈模態的有效長度為：

因此有效長度係數為：

代入歐拉挫屈公式：

所以臨界挫屈荷重為：

核心觀念

本題考查「內鉸梁的分段平衡」。內鉸 $D$ 處彎矩為零，因此可將梁分成左、右兩段分別分析。集中力與均布載重均須換算為合力及作用位置。

解題方法

梁長度與位置如下：

• $AB=8\ \text{m}$
• $BC=16\ \text{m}$
• $CD=8\ \text{m}$
• $DE=8\ \text{m}$
• $B$ 點有向下集中力 $20\ \text{kN}$
• $C$ 至 $E$ 受均布載重 $w=2\ \text{kN/m}$

1. 分析右側 $D-E$

$D-E$ 長度為 $8\ \text{m}$，均布載重合力為

作用於跨距中央，距離 $D$ 為 $4\ \text{m}$。

以 $D$ 點取矩：

由垂直力平衡：

因此右段對左段在 $D$ 點施加向下的鉸接力 $8\ \text{kN}$。

2. 分析左側 $A-B-C-D$

$C-D$ 段均布載重合力為

作用位置在 $C-D$ 中點，即距離 $A$ 點

以 $A$ 點取矩：

由垂直力平衡：

核心觀念

本題考查桁架的零力桿件判定。常用判斷法如下：

1. 若桁架節點無外力或支承反力作用，且僅連接兩支不共線桿件，則兩桿皆為零力桿件。
2. 若無外力作用的節點有三支桿件，其中兩支共線，第三支不共線，則第三支為零力桿件。

判定時以「節點」為對象，利用該節點的力平衡條件即可。

解題方法

先觀察節點 $G$。節點 $G$ 未受外力，且只連接 $EG$、$FG$ 兩支不共線桿件。

因此由節點 $G$ 的平衡條件：

兩支桿件的方向不同，若要合力為零，兩桿軸力必須同時為零，故：

再觀察節點 $B$。節點 $B$ 未受外力，$AB$ 與 $BC$ 位於同一直線上，而 $BE$ 為不共線桿件。

核心觀念

本題考查材料力學中**梁之彎矩應變能（Bending Strain Energy）**的計算與應用，主要涉及以下關鍵觀念與公式：

1. 彎矩應變能積分定義式： 長度為 $L$ 的梁在彎矩 $M(x)$ 作用下，其所儲存之彎矩應變能 $U$ 為： $U = \int_0^L \frac{M^2(x)}{2EI} dx$ 其中 $EI$ 為梁之彎曲剛度（Bending Stiffness）。

2. 功能相等原理（Work-Energy Principle）： 在線彈性範圍內，單一漸增集中荷重 $P$ 作用於結構上所做之外力功 $W$ 等於結構內部所儲存之總應變能 $U$： $U = W = \frac{1}{2} P \Delta_{mid}$ 其中 $\Delta_{mid}$ 為荷重作用點（梁中點）之垂直撓度。

3. 簡支梁中點集中荷重之撓度公式： 長度 $L$、剛度 $EI$ 之簡支梁，中點承受向下集中荷重 $P$ 時，中點最大撓度為： $\Delta_{mid} = \frac{PL^3}{48EI}$

解題方法

本題提供兩種極具代表性的切入方式：法一（積分法，標準推導） 與 法二（功能相等法，快速解法）。

法一：彎矩應變能積分法（標準推導）

1. 求支承反力： 由結構對稱性，左右兩端支承反力 $R_A$ 與 $R_B$ 相等： $R_A = R_B = \frac{P}{2}$

2. 建立彎矩方程式 $M(x)$： 以梁左端點為原點 $x=0$，取左半梁段 $0 \le x \le \frac{L}{2}$ 之任意截面： $M(x) = R_A \cdot x = \frac{P}{2} x$

3. 計算彎矩應變能 $U$： 利用對稱性，全梁之應變能為左半梁應變能的 2 倍： $U = 2 \times \int_0^{L/2} \frac{M^2(x)}{2EI} dx$ 代入 $M(x) = \frac{P}{2} x$： $U = 2 \times \int_0^{L/2} \frac{\left(\frac{P}{2} x\right)^2}{2EI} dx = \frac{1}{EI} \int_0^{L/2} \frac{P^2}{4} x^2 dx = \frac{P^2}{4EI} \int_0^{L/2} x^2 dx$ 進行定積分計算： $U = \frac{P^2}{4EI} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{L/2} = \frac{P^2}{4EI} \left( \frac{L^3}{24} \right) = \frac{P^2 L^3}{96EI}$

法二：功能相等法（速算法）

核心觀念

簡支梁最大彎矩的位置，位於剪力 $V=0$ 的截面。

本題三角形分布荷重由 A 點的 $0$ 線性增加至 B 點的 $q_0=6\ \text{kN/m}$，梁長：

荷重函數為：

其中 $x$ 自 A 點起算。

解題方法

三角形分布荷重的合力為三角形面積：

因荷重由 A 點的零值增加至 B 點最大值，合力作用於距離 A 點 $2L/3$ 處：

由整體梁的力矩平衡：

再由垂直力平衡：

距離 A 點 $x$ 處，左側所承受的分布荷重為：

因此剪力為：

核心觀念

本題考查面積慣性矩 $I_y$ 與平行軸定理：

將斜線斷面分成：

1. 下方水平矩形：$300\text{ mm}\times25\text{ mm}$
2. 左、右兩個豎直矩形：各為 $25\text{ mm}\times100\text{ mm}$

斷面左右對稱，因此圖示的 $y$ 軸即為對稱軸。兩個豎直矩形須使用平行軸定理。

解題方法

下方水平矩形的慣性矩：

每一個豎直矩形的面積為：

其自身形心軸的慣性矩為：

由圖示尺寸，豎直矩形形心至 $y$ 軸的距離為：

依平行軸定理，每一個豎直矩形對 $y$ 軸的慣性矩：

左右兩個豎直矩形合計：

核心觀念

本題考查材料力學中**剪力中心（Shear Center）**的物理意義與幾何特性。

1. 剪力中心定義：若橫向剪力作用於梁斷面上該點，斷面僅發生彎曲而不產生扭轉（Pure Bending without Torsion）。
2. 開口薄壁斷面剪流特性：對於由薄板件組成的開口薄壁斷面，各板件內剪流（Shear Flow）合力的交點即為剪力中心。
3. 對稱性與剪力中心位置：

• 雙對稱斷面（如矩形、圓形、雙對稱工字鋼）：剪力中心與形心（Centroid）重合。
• 單對稱斷面（如 C 型槽鋼、T 型鋼）：剪力中心必定位於對稱軸上，但不一定與形心重合。
• 板件中心線交於一點之斷面（如 T 型、L 型角鋼、十字型）：剪力中心位於各板件中心線之相交點。

解題方法

依據剪力中心之定義與斷面幾何特性進行判斷：

1. 外力偏心效應：當剪力作用點偏離剪力中心，偏心距 $e$ 會形成附加扭矩 $T = P \cdot e$，使桿件同時承受彎曲與扭轉。
2. 剪力中心幾何屬性：剪力中心與形心、慣性矩相同，均為純幾何特性，與材料性質（如 $E$、$G$）及外力大小無關。
3. T 型斷面剪流分析：