第一題　電力系統專有名詞詳解

核心觀念

本題考查輸配電系統、系統穩定度、保護電驛及斷路器規格等基本定義。答題時應掌握各名詞的「發生條件、物理原因、主要特性及工程意義」，並適度補充相關公式或比較概念。

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（一）佛倫第效應（Ferranti Effect）

核心觀念

佛倫第效應是指輸電線路在「空載或輕載」運轉時，受端電壓高於送端電壓的現象：

$$|V_R|>|V_S|$$

其中：

• $V_S$：送端電壓
• $V_R$：受端電壓

此現象主要發生於長距離、高電壓輸電線路。

解題方法與原理

輸電線路具有分布電感與分布電容。空載或輕載時，負載電流很小，但線路電容仍會產生充電電流。此充電電流流經線路電感後，所造成的電壓變化方向會使受端電壓升高。

對無損長線而言：

$$A=D=\cos \beta l$$

空載時 $I_R=0$，因此：

$$V_S=AV_R=\cos(\beta l)V_R$$

故：

$$V_R=\frac{V_S}{\cos(\beta l)}$$

因為 $\cos(\beta l)<1$，所以：

$$V_R>V_S$$

以集中參數之額定 $\pi$ 型等效電路表示，空載時約有：

$$V_S\approx \left(1-\frac{\omega^2LC}{2}\right)V_R$$

因此受端電壓會高於送端電壓。

解題技巧與常見陷阱

• 關鍵條件是「長線、空載或輕載」。
• 產生原因是「線路電容充電電流」，不是負載電抗所造成。
• 電壓比較方向必須記住：

$$V_R>V_S$$

• 佛倫第效應與電壓降不同。一般重載時常見送端電壓高於受端電壓；佛倫第效應則是在輕載時出現受端電壓反而升高。
• 實務上可使用並聯電抗器吸收充電無效功率，以抑制受端過電壓。

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（二）無限匯流排（Infinite Bus）

核心觀念

無限匯流排是指容量相對於所連接系統非常大的電力系統，其電壓大小、頻率及相角可視為固定，不會因單一發電機或負載的功率變化而改變。

無限匯流排通常具有下列理想特性：

1. 電壓大小固定。
2. 頻率固定。
3. 電壓相角作為固定參考。
4. 等效慣性為無限大。
5. 短路容量可視為無限大，等效內阻抗近似為零。

解題方法與應用

若發電機接於無限匯流排，發電機的功率輸出變化不會改變系統頻率。發電機必須與無限匯流排維持同步，並依照功角關係傳送電力。

忽略電阻時，圓筒型轉子同步發電機的功角特性為：

$$P_e=P_{\max}\sin\delta$$

其中：

• $P_e$：發電機電氣輸出功率
• $P_{\max}$：最大傳輸功率
• $\delta$：發電機內部電勢與無限匯流排電壓之間的功角

當機械輸入功率改變時，主要改變的是功角 $\delta$；無限匯流排的頻率與電壓仍視為不變。

解題技巧與常見陷阱

• 無限匯流排不是「無限電流」或「無限功率負載」，而是容量極大的電力系統。
• 連接至無限匯流排的發電機，其頻率由匯流排決定。
• 增加原動機機械輸入，主要造成有功輸出增加及功角增大。
• 增加勵磁，主要影響無效功率及功率因數。
• 無限匯流排是分析同步機穩態、暫態及功角穩定度的重要基準。

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（三）暫態穩定度（Transient Stability）

核心觀念

暫態穩定度是指同步發電機或電力系統遭受大型擾動後，仍能維持同步運轉的能力。

大型擾動包括：

• 三相短路故障。
• 輸電線路切除或投入。
• 發電機突然跳脫。
• 大型負載突然投入或切除。
• 斷路器動作造成的系統結構改變。

暫態穩定度主要研究擾動後轉子功角是否持續增加，導致失步。

解題方法與基本公式

同步發電機轉子的運動由擺動方程式描述：

$$\frac{2H}{\omega_s}\frac{d^2\delta}{dt^2}=P_m-P_e$$

其中：

• $H$：慣性常數
• $\omega_s$：同步角速度
• $\delta$：功角
• $P_m$：機械輸入功率
• $P_e$：電氣輸出功率

故障發生時，系統傳輸能力通常下降，使：

$$P_m>P_e$$

轉子加速，功角增加。故障清除後，若系統仍具有足夠的傳輸能力，則電氣輸出功率增加，轉子開始減速：

$$P_e>P_m$$

若減速能力足夠，發電機可恢復同步；若不足，功角持續擴大，最後造成失步。

對單機無限匯流排系統，可使用等面積法判斷：

• 加速面積：故障期間轉子增加的動能。
• 減速面積：故障清除後轉子所消耗的動能。

穩定條件為：

$$A_{\text{decelerating}}\geq A_{\text{accelerating}}$$

並可求得臨界清除角與臨界清除時間。

解題技巧與常見陷阱

• 暫態穩定度針對「大型、突然發生的擾動」。
• 判斷重點是故障清除速度與故障後網路結構。
• 斷路器動作越快，故障持續時間越短，暫態穩定度通常越好。

核心觀念

本題考查：

1. 三相平衡系統的標么值換算。
2. 變壓器標么電抗換算：

$$X_{\text{pu,new}} =X_{\text{pu,old}} \left(\frac{S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}\right) \left(\frac{V_{\text{base,old}}}{V_{\text{base,new}}}\right)^2$$

3. 三相基準阻抗與基準電流： $Z_{\text{base}}=\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}}$ $I_{\text{base}}=\frac{S_{\text{base}}}{\sqrt{3}V_{\text{base}}}$
4. 串聯電抗與負載阻抗所形成之三相平衡電路。

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(一) 標么系統圖

1. 選定全系統基準

以 Tr.2 額定值為基準：

$S_{\text{base}}=50\text{ MVA}$

Tr.2 高壓側與低壓側電壓基準分別為：

$V_{\text{base,2}}=138\text{ kV}$

$V_{\text{base,3}}=69\text{ kV}$

依 Tr.1 的變比，發電機側電壓基準為：

$$V_{\text{base,1}} =138\times\frac{13.2}{132} =13.8\text{ kV}$$

因此三個電壓等級的基準為：

$\boxed{13.8\text{ kV}\quad-\quad138\text{ kV}\quad-\quad69\text{ kV}}$

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2. Tr.1 標么電抗

Tr.1 原標么電抗以 $100\text{ MVA}$、$13.2/132\text{ kV}$ 為基準：

$$X_{\text{Tr1,new}} =0.08\left(\frac{50}{100}\right) \left(\frac{132}{138}\right)^2$$

$X_{\text{Tr1,new}}=0.0366\text{ pu}$

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3. 輸電線標么電抗

輸電線位於 $138\text{ kV}$ 側，其基準阻抗為：

$$Z_{\text{base,line}} =\frac{138^2}{50} =380.88\ \Omega$$

因此：

$$X_{\text{line,pu}} =\frac{30}{380.88} =0.0788\text{ pu}$$

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4. Tr.2 標么電抗

Tr.2 額定值正好就是所選基準，因此：

$X_{\text{Tr2}}=0.1000\text{ pu}$

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5. 負載標么阻抗

負載為 Y 接，每相 $100\ \Omega$。在 $69\text{ kV}$、$50\text{ MVA}$ 基準下：

$$Z_{\text{base,load}} =\frac{69^2}{50} =95.22\ \Omega$$

因此負載每相標么阻抗為：

$$Z_{\text{load,pu}} =\frac{100}{95.22} =1.0502\text{ pu}$$

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6. 標么系統圖

標么等值電路為：

$$E_G=1.0000\text{ pu} \longrightarrow j0.0366 \longrightarrow j0.0788 \longrightarrow j0.1000 \longrightarrow Z_L=1.0502$$

其中：

核心觀念

本題考查同步發電機不對稱故障分析，須使用對稱分量法，將故障分解為：

• 正序網路：$X_1=0.15$ pu
• 負序網路：$X_2=0.10$ pu
• 零序網路：$X_0=0.05$ pu

故障阻抗皆為零，且發電機中性點直接接地，因此零序電流可以流通。

採用發電機內電勢 $E=1$ pu，並以發電機額定容量及額定電壓建立基準值。

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基準值

三相基準阻抗為

$$Z_{\text{base}} =\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}} =\frac{(25\text{ kV})^2}{50\text{ MVA}} =12.5\ \Omega$$

基準電流為

$$I_{\text{base}} =\frac{S_{\text{base}}}{\sqrt{3}V_{\text{base}}} =\frac{50\times 10^6}{\sqrt{3}\times25\times10^3} =1.1547\text{ kA}$$

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解題方法與公式

（一）單線對地故障

單線對地故障時，正序、負序、零序網路串聯：

$$I_1=I_2=I_0 =\frac{E}{X_1+X_2+X_0}$$

故障相電流為

$$I_f=3I_0 =\frac{3E}{X_1+X_2+X_0}$$

代入數值：

$$I_f =\frac{3}{0.15+0.10+0.05} =\frac{3}{0.30} =10\text{ pu}$$

換算為實際電流：

$$I_f=10(1.1547)=11.547\text{ kA}$$

因此

$$\boxed{I_f=11.55\text{ kA}}$$

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（二）兩線對地故障

兩線對地故障時，正序網路先串聯，負序與零序網路並聯。

正序電流為

$$I_1= \frac{E} {X_1+\dfrac{X_2X_0}{X_2+X_0}}$$

但題目所問為「流入接地點之故障電流」，即零序電流的三倍：

$$I_g=3I_0$$

兩線對地故障的零序電流大小可直接表示為

$$I_0= \frac{EX_2} {X_1(X_2+X_0)+X_2X_0}$$

所以

$$I_g= \frac{3EX_2} {X_1(X_2+X_0)+X_2X_0}$$

代入數值：

$$I_g= \frac{3(1)(0.10)} {(0.15)(0.10+0.05)+(0.10)(0.05)}$$ $$I_g= \frac{0.30}{0.0225+0.005} =\frac{0.30}{0.0275} =10.9091\text{ pu}$$

換算為實際電流：

$$I_g=10.9091(1.1547) =12.598\text{ kA}$$

因此

核心觀念

三相負載資料為：

• 負載線電壓：$V_{L2}=240\text{ V}$
• 有功功率：$P=120\text{ kW}$
• 功率因數：$0.8$ 落後
• 一次側三相供電線電壓：$V_{L1}=4160\text{ V}$

變壓器容量應以視在功率計算：

$$S=\frac{P}{\text{pf}} =\frac{120}{0.8} =150\text{ kVA}$$

三相線電流公式為：

$$I_L=\frac{S}{\sqrt{3}V_L}$$

因此二次側負載線電流為：

$$I_{L2}=\frac{150000}{\sqrt{3}(240)} =360.84\text{ A}$$

一次側供電線電流為：

$$I_{L1}=\frac{150000}{\sqrt{3}(4160)} =20.82\text{ A}$$

三相變壓器組中，必須依照接線方式判斷：

• 每台單相變壓器所承受的電壓
• 每台單相變壓器的容量
• 線電流與單相變壓器繞組電流的關係

常用關係如下：

接線方式	線電壓與相電壓	線電流與相電流
Y 接	$V_L=\sqrt{3}V_{\phi}$	$I_L=I_{\phi}$
$\Delta$ 接	$V_L=V_{\phi}$	$I_L=\sqrt{3}I_{\phi}$

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（一）三台相同規格單相變壓器 Y-$\Delta$ 接

1. 單相變壓器額定容量

三台相同變壓器平均分擔三相總容量：

$$S_{\text{unit}}=\frac{150}{3}=50\text{ kVA}$$

2. 一、二次側額定電壓

一次側採 Y 接，因此每台變壓器一次繞組承受一次側相電壓：

$$V_{1\phi}=\frac{4160}{\sqrt{3}} =2401.78\text{ V}$$

二次側採 $\Delta$ 接，因此每台變壓器二次繞組承受二次側線電壓：

$$V_{2\phi}=V_{L2}=240\text{ V}$$

所以每台單相變壓器額定電壓為：

$$\boxed{2401.78/240\text{ V}}$$

3. 一、二次側額定電流

一次側為 Y 接，繞組電流等於一次側線電流：

$$I_{1\phi}=I_{L1} =\frac{150000}{\sqrt{3}(4160)} =20.82\text{ A}$$

二次側為 $\Delta$ 接，單相變壓器繞組電流為二次側線電流除以 $\sqrt{3}$：

$$I_{2\phi}=\frac{I_{L2}}{\sqrt{3}} =\frac{360.84}{\sqrt{3}} =208.33\text{ A}$$

因此：

$$\boxed{ \begin{aligned} \text{額定容量}&=50.00\text{ kVA}\\ \text{一次側額定電壓}&=2401.78\text{ V}\\ \text{二次側額定電壓}&=240.00\text{ V}\\ \text{一次側額定電流}&=20.82\text{ A}\\ \text{二次側額定電流}&=208.33\text{ A} \end{aligned}}$$

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（二）三台相同規格單相變壓器 $\Delta$-$\Delta$ 接

1. 單相變壓器額定容量

三台變壓器平均分擔三相總容量：

$$S_{\text{unit}}=\frac{150}{3}=50\text{ kVA}$$

2. 一、二次側額定電壓

一次側採 $\Delta$ 接，因此每台變壓器一次繞組承受一次側線電壓：

$$V_{1\phi}=V_{L1}=4160\text{ V}$$

二次側同樣採 $\Delta$ 接，因此每台變壓器二次繞組承受二次側線電壓：

$$V_{2\phi}=V_{L2}=240\text{ V}$$

所以每台單相變壓器額定電壓為：

$$\boxed{4160/240\text{ V}}$$

3. 一、二次側額定電流

一次側為 $\Delta$ 接，單相變壓器一次繞組電流為一次側線電流除以 $\sqrt{3}$：

$$I_{1\phi} =\frac{I_{L1}}{\sqrt{3}} =\frac{20.82}{\sqrt{3}} =12.02\text{ A}$$

二次側為 $\Delta$ 接：

核心觀念

本題考查三相感應電動機的：

1. 輸出功率、效率與輸入功率的關係。
2. 三相交流功率與滿載線電流的計算。
3. 感應電動機轉速與轉差率的關係。
4. 機械輸出功率與轉矩的關係。
5. 啟動補償器降壓時，啟動轉矩與電壓平方成正比，以及自耦變壓器電流比例關係。

採用一般考試計算假設：啟動時忽略電動機及補償器損失，且啟動轉矩近似與端電壓平方成正比。

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已知條件

$P=4,\qquad P_{\text{out}}=30\text{ HP}$

$V_L=380\text{ V},\qquad f=60\text{ Hz}$

$s=2.5\%=0.025,\qquad \cos\phi=0.85$

$\eta=92\%=0.92$

$I_{\text{st, direct}}=6I_{\text{FL}}$

$T_{\text{st, direct}}=3T_{\text{FL}}$

馬力換算為：

$30\text{ HP}=30(746)=22380\text{ W}$

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（一）啟動電流

1. 計算滿載輸入功率

效率定義為：

$\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$

因此：

$$P_{\text{in}} =\frac{P_{\text{out}}}{\eta} =\frac{22380}{0.92} =24326.09\text{ W}$$

2. 計算滿載線電流

三相輸入功率為：

$P_{\text{in}}=\sqrt{3}V_LI_{\text{FL}}\cos\phi$

所以：

$$I_{\text{FL}} =\frac{P_{\text{in}}}{\sqrt{3}V_L\cos\phi}$$ $$I_{\text{FL}} =\frac{24326.09} {\sqrt{3}(380)(0.85)} =43.48\text{ A}$$

啟動時線電流為滿載電流的 6 倍：

$$I_{\text{st}} =6I_{\text{FL}} =6(43.48)$$

$\boxed{I_{\text{st}}=260.89\text{ A}}$

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（二）啟動轉矩

1. 計算滿載轉速

同步轉速為：

$N_s=\frac{120f}{P}$

$N_s=\frac{120(60)}{4}=1800\text{ rpm}$

感應電動機轉子轉速為：

$N=(1-s)N_s$

$$N=(1-0.025)(1800) =1755\text{ rpm}$$

2. 計算滿載轉矩

機械角速度：

$\omega_m=\frac{2\pi N}{60}$

$$\omega_m =\frac{2\pi(1755)}{60} =183.78\text{ rad/s}$$

機械輸出功率與轉矩關係為：

$P_{\text{out}}=T_{\text{FL}}\omega_m$

因此：

$$T_{\text{FL}} =\frac{P_{\text{out}}}{\omega_m} =\frac{22380}{183.78} =121.77\text{ N}\cdot\text{m}$$

3. 計算啟動轉矩

核心觀念

本題考查隱極式同步發電機的相量分析，重點包括：

• 三相額定電流與每相額定電壓的換算。
• 忽略電樞電阻時，同步發電機的相量方程式： $\underline{E}=\underline{V}+jX_s\underline{I}$
• 功率因數角： $\cos\phi=0.8,\qquad \phi=36.87^\circ$
• 電壓調整率： $\text{VR}=\frac{E_0-V}{V}\times100\%$
• 同步發電機功角特性： $P=\frac{3VE}{X_s}\sin\delta$ 因此穩態最大實功率發生於 $\delta=90^\circ$： $P_{\max}=\frac{3VE}{X_s}$

題目已知發電機為 Y 接，因此每相電壓為線電壓除以 $\sqrt{3}$。

基本額定值

每相端電壓為

$$V_\phi=\frac{22,000}{\sqrt{3}} =12,701.71\ \text{V}$$

額定電樞電流為

$$I_\phi=I_L =\frac{25\times10^6}{\sqrt{3}\times22,000} =656.08\ \text{A}$$

因負載功率因數為 $0.8$ 落後，

$$\cos\phi=0.8,\qquad \sin\phi=0.6$$

取端電壓為參考相量：

$$\underline{V}=V_\phi\angle0^\circ$$ $$\underline{I}=656.08\angle-36.87^\circ =656.08(0.8-j0.6)$$

解題方法與相量計算

同步電抗壓降為

$$jX_s\underline{I} =j(5)(656.08)(0.8-j0.6)$$

整理得

$$jX_s\underline{I} =5(656.08)(0.6+j0.8)$$ $$jX_s\underline{I} =1,968.24+j2,624.32\ \text{V}$$

因此內部感應電勢為

$$\underline{E} =\underline{V}+jX_s\underline{I}$$ $$\underline{E} =(12,701.71+1,968.24)+j2,624.32$$ $$\underline{E} =14,669.95+j2,624.32\ \text{V}$$

（一）每相電樞感應電勢大小

$$E_\phi =\sqrt{14,669.95^2+2,624.32^2}$$ $$\boxed{E_\phi=14,902.78\ \text{V}}$$

（二）電壓調整率

在激磁電流維持不變時，無負載端電壓等於內部感應電勢大小，因此

$$\text{VR} =\frac{E_\phi-V_\phi}{V_\phi}\times100\%$$ $$\text{VR} =\frac{14,902.78-12,701.71}{12,701.71}\times100\%$$ $$\boxed{\text{VR}=17.33\%}$$

（三）輸出實功率降為 $15\ \text{MW}$ 時的電樞電流

激磁電流不變，所以 $E$ 不變。同步發電機的功角方程式為

$$P=\frac{3VE}{X_s}\sin\delta$$

先求最大穩態實功率：

$$P_{\max}=\frac{3VE}{X_s}$$

也可先利用標么值計算。取容量基準 $S_B=25\ \text{MVA}$，則