111 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 電機(二) MOD- 國營事業聯招 -電路學、電子學 考古題詳解

核心觀念

本題考查電能消耗量與電費的計算。

電能公式為：

以電費計算而言：

其中，功率必須使用千瓦 $\text{kW}$，時間使用小時 $\text{h}$。

解題方法

電熱器額定功率為：

連續使用時間為：

因此消耗的電能為：

也就是消耗 $1.5$ 度電。

每度電收費 $2.5$ 元，因此電費為：

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 接地節點電壓判定
• 基爾霍夫電流定律（KCL）
• 歐姆定律
• 電阻上的電壓降與電流方向

圖中左右兩側的中點接地，因此該節點電壓為 $0\text{ V}$。

解題方法

1. 判定左側各節點電壓

上方 $110\text{ V}$ 電壓源上端為正端，因此上方節點：

下方 $110\text{ V}$ 電壓源上端接地、下端為負端，因此下方節點：

2. 求 $R_A$

上方 $1\Omega$ 電阻中有 $20\text{ A}$ 向右流動，電阻上的電壓降為：

因此 $R_A$ 上端電壓為：

在右上節點套用 KCL，流入節點的 $20\text{ A}$ 全部流經 $R_A$ 向下。

中間右側節點的電流分配為：

• $20\text{ A}$ 由 $R_A$ 流入
• $10\text{ A}$ 經 $R_B$ 向下流出

所以剩餘 $10\text{ A}$ 經中間的 $1\Omega$ 電阻向左流至接地節點。

中間右側節點電壓為：

故 $R_A$ 兩端電壓：

因此：

3. 求 $R_B$

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）：任一封閉電路中，所有節點的電流必須滿足

只要各支路電流方向與大小已由圖標示，即可直接對整個電路套用KCL；圖中的電阻值本題不必使用。

解題方法

依圖中箭頭方向：

• 流入電路的電流： $10+8+7+15+7=47\text{ A}$
• 流出電路的電流： $10+3+I$

依KCL：

因此

故電流 $I$ 的方向與圖示相同，向上流動。

選項分析

核心觀念

本題考查直流穩態下電容電路的「電荷守恆」。電容器充電完成後視為開路，但各內部節點仍須符合電荷守恆：

圖中 $B、C、D$ 為浮接節點，電容值與連接關係如下：

• 左端至 $B$：$18\,\mu\text{F}$
• $B$ 至 $C$：$15\,\mu\text{F}$
• $C$ 至 $D$：$10\,\mu\text{F}$，且 $V_C-V_D=300\text{ V}$
• $D$ 至右端：$6\,\mu\text{F}$
• $B$ 至 $D$：$3\,\mu\text{F}$

解題方法

令右端電位為 $0$，電源左端電位為 $E$。設：

因為 $10\,\mu\text{F}$ 電容左端為正、右端為負：

對節點 $C$ 套用電荷守恆：

代入 $V_C=x+300$：

再對節點 $D$ 套用電荷守恆：

代入各電位：

核心觀念

本題考查交流電路的功率三角形、功率因數改善，以及並聯電容器的無效功率計算。

重要公式如下：

其中：

• $P$：實功率，單位為 W
• $Q$：無效功率，單位為 var
• $S$：視在功率，單位為 VA
• $\phi$：負載相角

感性負載的功率因數改善，是利用並聯電容器提供容性無效功率，使電源所需供應的無效功率降低。

電容器的無效功率大小為：

其中 $\omega$ 為角頻率，$V$ 為電源有效值電壓。

解題方法

1. 求改善後的無效功率

電動機消耗：

原本感性無效功率為：

改善後功率因數為：

因此：

由於：

所以：

改善後負載所需的無效功率為：

2. 求電容器應提供的無效功率

原本電動機需要 $8\ \mathrm{kvar}$ 的感性無效功率，改善後只允許電源供應 $3\ \mathrm{kvar}$，因此電容器須補償：

3. 求電源有效值電壓與角頻率

電源電壓為：

與標準形式：

比較可得：

因此有效值電壓為：

且：

4. 計算電容值

由電容器無效功率公式：

解出：

核心觀念

本題考查拉氏轉換的基本性質，重點包括：

1. 線性性質
2. 指數乘積造成的 $s$ 軸平移
3. 時間延遲性質
4. 微分的拉氏轉換，尤其是初始值項不可遺漏

設

則常用公式如下：

解題方法

逐一比對各選項與拉氏轉換公式。前三項分別對應線性、頻移與時間延遲性質；第四項則必須注意微分後會產生初始值項 $f(0^+)$。

因此，判斷關鍵在於選項 (D) 是否漏寫初始值。

選項分析

(A) 正確

拉氏轉換具有線性性質：

其中 $k_1,k_2$ 為常數，因此選項 (A) 正確。

(B) 正確

若

則乘上指數函數 $e^{at}$ 會使拉氏轉換中的變數由 $s$ 平移為 $s-a$：

整理指數項：

核心觀念

本題考查含相依電源電路的戴維寧等效電阻。含有相依電源時，不能只將獨立電源關閉後直接合併電阻，必須：

1. 將獨立電壓源 $20\text{ V}$ 短路。
2. 在端點 $A$、$B$ 加上測試電壓 $v$。
3. 求出流入電路的測試電流 $i_t$。
4. 使用

解題方法

將 $20\text{ V}$ 獨立電壓源短路，因此左側 $2\text{ k}\Omega$ 電阻的左端接地。

相依電壓源標示為 $3v$，上端為正，所以其上端電壓為

圖中電流 $i$ 的方向為由左向右，故

右側電路包含 $20\Omega$ 電阻及向下的相依電流源 $20i$，兩者皆承受端電壓 $v$。

流入電路的測試電流為

代入 $i=-3v/2000$：

核心觀念

本題考查單相三線式（$1\phi 3W$）供電系統的中性線斷線現象。

正常時：

• 負載 A 接在上方火線與中性線之間，額定電壓為 $110\text{ V}$。
• 負載 B 接在中性線與下方火線之間，額定電壓為 $110\text{ V}$。
• 上、下兩端火線之間的電壓為 $220\text{ V}$。

中性線斷線後，A、B 兩負載會串聯接在 $220\text{ V}$ 電源上，電壓將依負載電阻比例分配。

解題方法

先由額定資料求兩負載電阻：

中性線斷線後，A 與 B 串聯，因此總電阻為

串聯電流為

各負載所承受的電壓：

核心觀念

本題考查：

• 電壓源建立的節點電壓關係。
• 電阻電壓與電流的歐姆定律。
• 受控電壓源的電壓關係。
• 由電壓差求電阻電流。

設底部導線為參考地，並依圖中極性定義各電壓。

解題方法

左側 $42\text{ V}$ 電壓源使 $9\Omega$ 電阻左端電壓為 $42\text{ V}$，因此

其中 $V_1$ 為 $9\Omega$ 電阻右端節點電壓，所以

圖中的 $15\text{ V}$ 電壓源左正右負，故

受控電壓源上正下負，電壓為 $2v_1$，因此

代入電壓源關係：

因此

核心觀念

1. 電感器的時域伏安特性（$v-i$ 特性關係）： 電感器兩端的感應電壓與通過其電流的時間變化率成正比，符合微分關係： $v_L(t) = L \frac{di_L(t)}{dt}$
2. 三角函數的微分運算： $\frac{d}{dt}\sin(\omega t) = \omega \cos(\omega t)$
3. 單位與前綴詞（SI Prefixes）換算：

• 毫（$\mathrm{m}$）$= 10^{-3}$
• 電感量單位為亨利（$\mathrm{H}$）、電流為安培（$\mathrm{A}$）、電壓為伏特（$\mathrm{V}$）。

解題方法

步驟一：整理已知條件

• 電感量：$L = 10\ \mathrm{mH} = 10 \times 10^{-3}\ \mathrm{H}$
• 電流：$i_L(t) = 5\sin(200t)\ \mathrm{mA} = 5 \times 10^{-3}\sin(200t)\ \mathrm{A}$
• 角頻率：$\omega = 200\ \mathrm{rad/s}$

步驟二：求電流對時間的一階導數 $\frac{di_L(t)}{dt}$ $\frac{di_L(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left[ 5 \times 10^{-3} \sin(200t) \right] = 5 \times 10^{-3} \times 200 \cos(200t) = 1.0 \cos(200t)\ \mathrm{A/s}$

步驟三：代入電感器端電壓公式 $v_L(t) = L \frac{di_L(t)}{dt} = (10 \times 10^{-3}\ \mathrm{H}) \times [1.0 \cos(200t)\ \mathrm{A/s}] = 10 \times 10^{-3}\cos(200t)\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題考查切換瞬間儲能元件的連續性：

• 電容電壓不能瞬間跳變： $v_1(0^+)=v_1(0^-)=6\text{ V}$
• 電感電流不能瞬間跳變： $i_1(0^+)=i_1(0^-)=1\text{ A}$
• 開關打開後，左側 $24\text{ V}$ 電源與電路右側分離，但電感與電容的初始狀態仍須遵守上述連續條件。

解題方法

開關於 $t=0$ 打開後，中央節點只連接兩條支路，因此依照 KCL：

$i_1+i_2=0$

已知電感電流方向 $i_1$ 向下，且

$i_1(0^+)=1\text{ A}$

所以

$i_2(0^+)=-1\text{ A}$

接著求 $v_2(0^+)$。

電感下方串聯 $12\Omega$ 電阻中的電流為 $1\text{ A}$，因此電阻上端對地電壓為

$V_R=i_1(0^+)\times 12\Omega=12\text{ V}$

右側 $12\Omega$ 電阻的電流為 $i_2(0^+)=-1\text{ A}$，其左端中央節點電壓為

$V_{\text{中央}}-v_1(0^+)=i_2(0^+)\times12\Omega$

代入數值：

$V_{\text{中央}}-6=(-1)(12)$

$V_{\text{中央}}=-6\text{ V}$

核心觀念

本題考查「無窮梯形電阻網路」的自我相似性，以及串聯、並聯等效電阻：

• 串聯：$R_{\text{eq}}=R_1+R_2$
• 並聯：$\displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
• 無窮網路可利用「去掉最前端後，剩餘部分與原網路等效」建立方程式。

解題方法

設從第一組上下節點看進去的無窮梯形網路等效電阻為 $R$。

第一組 $6\Omega$ 電阻，與右側路徑的兩個 $4\Omega$ 電阻及剩餘無窮網路串聯，因此：

所以：

整理得：

因式分解：

電阻等效值取合理的正值：

核心觀念

本題考查一階 RC 電路的自然響應，以及：

1. 電容電流—電壓關係 $i_C(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$

2. 受控電壓源的電壓關係 $v_d=2i$

3. 由節點電壓法建立電路微分方程。

電容值為 $C=\frac{1}{8}\,\mathrm{F}$，且電容兩端電壓為 $v(t)$。

解題方法

以下端節點作為參考地，電容上端節點電壓即為 $v$。

受控電壓源上端電壓為 $2i$，因此流經左側 $6\Omega$ 電阻、由電容上端流出的電流為

右側 $3\Omega$ 電阻電流為

依題圖，$i$ 為流過電容向下的電流。對上方節點套用 KCL：

乘以 $6$ 化簡：

因此

又因為

所以

已知 $v(0)=12\,\mathrm{V}$，故

因此

核心觀念

本題考查電阻網路的對稱性與串、並聯等效電阻。

電路以 $A$、$B$ 為對稱端點：

• $A$ 到 $C$、$C$ 到 $B$ 皆為 $2\Omega$
• $A$ 到 $D$、$D$ 到 $B$ 皆為 $3\Omega$
• $C$ 到 $D$ 為 $2\Omega$
• $A$ 到 $B$ 另有 $12\Omega$

由於 $A$、$B$ 兩端結構完全對稱，接上測試電壓後，對稱位置的節點 $C$、$D$ 電位相同，因此 $C$、$D$ 之間的 $2\Omega$ 電阻沒有電流通過，可視為不影響等效電阻。

解題方法

$A$ 到 $B$ 共有三條並聯路徑：

第一條經由 $C$：

第二條經由 $D$：

第三條為直接連接的 $12\Omega$ 電阻：

因此

核心觀念

本題考查 RLC 串聯電路之交流穩態分析 與 功率因數（Power Factor, PF） 的計算與性質判斷。

1. 角頻率與電抗定義：

• 角頻率 $\omega$：由電源電壓 $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta_v)$ 可直接導出角頻率 $\omega$。
• 感抗：$X_L = \omega L$
• 容抗：$X_C = \frac{1}{\omega C}$

2. 等效阻抗（Impedance）： 在 RLC 串聯電路中，總阻抗相量為： $Z = R + j(X_L - X_C) = |Z| \angle \theta$ 阻抗大小為 $|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$，阻抗角為 $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)$。
3. 功率因數（PF）及其超前／落後：

• 功率因數大小定義為阻抗角的餘弦值：$\text{PF} = \cos\theta = \frac{R}{|Z|}$。
• 超前與落後之判定標準：一律以電流相位相對於電壓相位為基準。
• 若 $X_L > X_C$（電路呈感性），電流相位落後電壓相位，稱為落後功率因數（Lagging PF）。
• 若 $X_C > X_L$（電路呈容性），電流相位超前電壓相位，稱為超前功率因數（Leading PF）。

解題方法

步驟一：求電源角頻率 $\omega$ 與感抗、容抗

由輸入電源 $v(t) = 10\sin(2t)\ \mathrm{V}$ 可知角頻率： $\omega = 2\ \mathrm{rad/s}$

代入電路元件參數計算感抗 $X_L$ 與容抗 $X_C$： $X_L = \omega L = 2 \times 3 = 6\ \Omega$ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \times 0.25} = 2\ \Omega$

步驟二：計算總等效阻抗 $Z$ 與大小 $|Z|$

RLC 串聯電路的總阻抗為： $Z = R + j(X_L - X_C) = 3 + j(6 - 2) = 3 + j4\ \Omega$

計算阻抗大小 $|Z|$： $|Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\ \Omega$

步驟三：計算功率因數並判斷超前／落後

核心觀念

本題考查：

• 節點電壓法
• 歐姆定律
• 受控電壓源與受控電流源
• 受控源控制量 $i$ 的代入

以下以下端節點 $B$ 為接地，令其電位為 $0\ \text{V}$。

左側 $30\ \text{V}$ 電壓源上端電位為 $30\ \text{V}$；右側 $9\ \text{V}$ 電壓源上端電位為 $9\ \text{V}$。

設 $4\Omega$ 與 $2\Omega$ 之間的節點電壓為 $V_1$，節點 $A$ 電壓為 $V_A$。

解題方法

由 $4\Omega$ 電阻上的電流 $i$：

因此：

中間支路的受控電壓源標示為 $2i$，且上正下負，因此其上端電位為：

對節點 $V_1$ 寫 KCL

流出節點 $V_1$ 的電流總和為零：

代入 $V_1=30-4i$：

整理得：

對節點 $A$ 寫 KCL

流出節點 $A$ 的電流為：

• 經 $2\Omega$ 電阻：$\dfrac{V_A-V_1}{2}$
• 經右側 $1\Omega$ 電阻：$V_A-9$
• 受控電流源方向向上，電流流入節點 $A$，所以流出方向為 $-2i$

因此：

核心觀念

1. RLC 並聯電路之諧振條件： 在理想 RLC 並聯電路中，當電路的總導納（Admittance）虛部為零（即電感導納與電容導納相互抵消，輸入阻抗呈現純電阻性，功率因數 $PF = 1$）時，電路發生諧振。
2. 諧振頻率公式：

• 角諧振頻率： $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\quad (\mathrm{rad/s})$
• 諧振頻率（單位：$\mathrm{Hz}$）： $f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\quad (\mathrm{Hz})$

3. 單位前綴換算：

• 毫（$\mathrm{m}$）$= 10^{-3}$
• 奈（$\mathrm{n}$）$= 10^{-9}$
• 仟（$\mathrm{k}$）$= 10^{3}$

解題方法

步驟一：整理已知數值並轉換為標準單位（SI 制）

• 電感值 $L = 10\ \mathrm{mH} = 10 \times 10^{-3}\ \mathrm{H} = 10^{-2}\ \mathrm{H}$
• 電容值 $C = 10\ \mathrm{nF} = 10 \times 10^{-9}\ \mathrm{F} = 10^{-8}\ \mathrm{F}$
• 電阻值 $R = 100\ \mathrm{k}\Omega$（理想 RLC 並聯電路的諧振頻率由 $L$ 與 $C$ 決定，與並聯電阻 $R$ 無關，此為干擾條件）

步驟二：計算角諧振頻率 $\omega_0$ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-2} \times 10^{-8}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-10}}} = \frac{1}{10^{-5}} = 10^5\ \mathrm{rad/s}$

核心觀念

本題旨在考查基本儲能元件（電容器與電感器）之瞬時功率積分與儲存能量（Stored Energy）數學表示式。

1. 電容器（Capacitor）的儲能推導：

• 電流與端電壓之關係為 $i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$。
• 瞬時輸入功率為 $p_C(t) = v(t) \cdot i(t) = C v(t) \frac{dv(t)}{dt}$。
• 自初始無能量狀態（電壓為 $0$）至時刻 $t$（電壓為 $v(t)$），電容器所儲存之電場能量為： $W_C(t) = \int_0^t p_C(\tau) \, d\tau = \int_0^{v(t)} C v \, dv = \frac{1}{2} C v^2(t)$
• 配合電荷關係式 $q(t) = C v(t)$，電容儲能亦可表示為： $W_C(t) = \frac{1}{2} C v^2(t) = \frac{1}{2} q(t) v(t) = \frac{q^2(t)}{2C}$

2. 電感器（Inductor）的儲能推導：

• 端電壓與電流之關係為 $v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$。
• 瞬時輸入功率為 $p_L(t) = v(t) \cdot i(t) = L i(t) \frac{di(t)}{dt}$。
• 自初始無能量狀態（電流為 $0$）至時刻 $t$（電流為 $i(t)$），電感器所儲存之磁場能量為： $W_L(t) = \int_0^t p_L(\tau) \, d\tau = \int_0^{i(t)} L i \, di = \frac{1}{2} L i^2(t)$
• 配合磁通鏈關係式 $\lambda(t) = L i(t)$，電感儲能亦可表示為： $W_L(t) = \frac{1}{2} L i^2(t) = \frac{1}{2} \lambda(t) i(t) = \frac{\lambda^2(t)}{2L}$

核心觀念

本題考查交流電路的最大功率傳輸定理：

負載阻抗 $Z_L$ 要獲得最大功率，須滿足

已知

因此其共軛阻抗為

將電壓源短路後，從負載端看入的戴維寧阻抗為：

• $jX_L$ 與
• $300\ \Omega$ 和 $-jX_C$ 的並聯阻抗

即

解題方法

先計算並聯阻抗：

分母有理化得

因為要使

比較實部：