110 臺灣菸酒招考從業職 土木建築 建築(土木)工程 (工程力學概要) 考古題詳解

核心觀念

本題考查懸臂梁截面彎曲應力：

其中：

• $M$：截面 $s-s$ 的彎矩
• $c$：中性軸至最外側纖維的距離
• $I$：截面對中性軸的慣性矩

圖一左的集中力以 $3-4-5$ 三角形分解：

水平分力 $F_x$ 僅造成軸力，不造成梁的彎矩；彎曲應力由垂直分力 $F_y$ 產生。

一、截面彎矩

截面 $s-s$ 距離固定端 $3\text{ m}$，距離集中力作用點也是 $3\text{ m}$，因此：

換算為 $\text{N}\cdot\text{mm}$：

二、求截面形心位置

由圖一右，截面為：

• 上方翼板：$200\text{ mm}\times50\text{ mm}$
• 下方腹板：$60\text{ mm}\times160\text{ mm}$

腹板寬度為：

以截面最上緣為基準，分成兩個矩形：

形心位置：

因此，中性軸距離截面上緣為：

截面總高度：

中性軸距離截面下緣為：

核心觀念

本題考查平面剛架的：

• 銷接支承反力
• 二力桿件判斷
• 自由體圖（FBD）
• 平面力系平衡方程式

圖中幾何尺寸為：

• $A$ 至 $C$ 高度 $1\text{ m}$
• $C$ 至 $A$ 高度共 $2\text{ m}$
• $A$ 至 $B$ 水平距離 $1\text{ m}$
• 桿件 $BC$ 為 $45^\circ$ 斜桿

桿件 $BC$ 兩端皆為銷接，且中間沒有其他外力，因此為二力桿件。其兩端作用力必須：

1. 大小相等
2. 方向相反
3. 沿桿件 $BC$ 軸線作用

（一）自由體圖

1. 整體框架自由體圖

將 $AP$、$BC$ 及各銷接視為整體，外力包括：

• $A$ 點支承反力：$A_x、A_y$
• $B$ 點支承反力：因 $BC$ 為二力桿件，反力沿 $BC$ 方向
• $P$ 點水平外力：$12\text{ N}$ 向右

可將 $B$ 點反力分解為 $B_x、B_y$。

整體平衡方程式為：

2. 桿件 $BC$ 的自由體圖

桿件 $BC$ 為二力桿件，因此在 $B$、$C$ 兩端分別有沿 $BC$ 軸線的作用力：

• $B$ 點：沿 $B\rightarrow C$ 方向
• $C$ 點：沿 $C\rightarrow B$ 方向

由於最後求得 $B$ 點對框架的作用力方向為左上方，表示桿件 $BC$ 受壓。

3. 桿件 $AP$ 的自由體圖

桿件 $AP$ 受到：

• $A$ 點銷接反力 $A_x、A_y$
• $C$ 點由桿件 $BC$ 傳來的斜向力
• $P$ 點水平力 $12\text{ N}$ 向右

各力應依實際作用方向標示，並使用：

進行分析。

（二）支撐點 $A$ 與 $B$ 的受力

取整體框架為自由體。

1. 對 $A$ 點取力矩

$B$ 點反力分解為 $B_x、B_y$。由於 $B$ 點至 $A$ 點的水平距離為 $1\text{ m}$，而 $P$ 點水平力作用線距離 $A$ 點垂直高度為 $2\text{ m}$。

取逆時針為正：

因此：

2. 水平方向平衡

由於 $BC$ 為 $45^\circ$ 斜桿，故：

核心觀念

本題考查：

• 牛頓第二運動定律：$\sum F=ma$
• 動摩擦力：$f_k=\mu_k N$
• 理想繩與理想滑輪：繩長不變，因此兩方塊加速度大小相同；繩張力處處相等
• 斜面重力分量：$mg\sin\theta$

由圖可知，方塊 $B$ 沿斜面向下運動，帶動方塊 $A$ 向右運動。

解題方法

1. 方塊 A 的摩擦力

方塊 $A$ 質量為 $30\text{ kg}$，桌面為水平面，因此

動摩擦力為

摩擦力方向與方塊 $A$ 運動方向相反，故向左。

2. 分別列兩方塊的運動方程式

對方塊 $A$，取向右為正：

對方塊 $B$，取沿斜面向下為正。其沿斜面向下的重力分量為

因此

因繩子不可伸長，兩方塊加速度大小相同，均為 $a$。

3. 求共同加速度

將式 $(1)$ 與式 $(2)$ 相加，消去張力 $T$：

核心觀念

本題考查：

1. 剛性桿件的靜力平衡

$\sum M_C=0,\qquad \sum F_y=0$

2. 金屬圓棒的軸向變形

$\delta=\frac{PL}{AE}$

3. 剛性桿件繞固定銷 C 轉動的變形相容條件

圖中各點距離為：

$CD=1\text{ m},\quad DE=1\text{ m},\quad EF=1\text{ m}$

因此：

$CE=2\text{ m},\quad CF=3\text{ m}$

設鋼棒 AD 受力為 $P_{\text{st}}$，鋁棒 BF 受力為 $P_{\text{al}}$。

解題方法

一、求兩根金屬棒承受的力

由於桿件為剛性桿，且 C 點為固定銷，桿件只會繞 C 點轉動，因此各點的垂直位移與距離 C 點的距離成正比：

$\frac{\delta_F}{\delta_D}=\frac{CF}{CD}=\frac{3}{1}=3$

兩根金屬棒長度及截面積均相同，因此由

$\delta=\frac{PL}{AE}$

可得：

$\delta_D=\frac{P_{\text{st}}L}{AE_{\text{st}}}$

$\delta_F=\frac{P_{\text{al}}L}{AE_{\text{al}}}$

代入相容條件：

因此：

$\frac{P_{\text{al}}E_{\text{st}}}{P_{\text{st}}E_{\text{al}}}=3$

$\frac{P_{\text{al}}(200)}{P_{\text{st}}(80)}=3$

整理得：

$P_{\text{al}}=\frac{6}{5}P_{\text{st}}$

以 C 點取力矩：

$P_{\text{st}}(1)+P_{\text{al}}(3)-20(2)=0$

$P_{\text{st}}+3P_{\text{al}}=40$

代入 $P_{\text{al}}=\frac{6}{5}P_{\text{st}}$：

$P_{\text{st}}+3\left(\frac{6}{5}P_{\text{st}}\right)=40$

$\frac{23}{5}P_{\text{st}}=40$

$P_{\text{st}}=\frac{200}{23}=8.70\text{ kN}$

$P_{\text{al}}=\frac{6}{5}(8.70)=10.43\text{ kN}$

所以：

$\boxed{P_{\text{st}}=8.70\text{ kN}}$

$\boxed{P_{\text{al}}=10.43\text{ kN}}$

二、求兩根金屬棒的伸長量

圓棒直徑：

$d=2\text{ cm}=0.02\text{ m}$

截面積：

金屬棒長度：

$L=5\text{ m}$

鋼棒 AD