110 臺灣菸酒招考從業職 電子電機 自動控制 考古題詳解

110 年・臺灣菸酒招考・從業職・電子電機
試題代碼 110年台菸酒從業職員 電子電機 (自動控制)

第 一 題25 分

如【圖一】所示，一個單位回授之控制系統如下：

（一）請求出此控制系統之轉移函數 Y(s)R(s)=?\frac{Y(s)}{R(s)} = ?【15分】 （二）請求出此控制系統之特徵方程式為何？【10分】

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核心觀念

本題考查單位負回授控制系統的閉迴路轉移函數與特徵方程式。

圖一為單位負回授系統，因此：

  • 前向路徑轉移函數 G(s)=1s(s+13)G(s)=\frac{1}{s(s+13)}
  • 回授轉移函數 H(s)=1H(s)=1

單位負回授系統的閉迴路轉移函數為：

Y(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

解題方法

（一）求轉移函數 Y(s)R(s)\frac{Y(s)}{R(s)}

由負回授系統的基本關係式：

E(s)=R(s)−H(s)Y(s)E(s)=R(s)-H(s)Y(s)

且：

Y(s)=G(s)E(s)Y(s)=G(s)E(s)

因此：

Y(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

代入 G(s)=1s(s+13)G(s)=\frac{1}{s(s+13)}、H(s)=1H(s)=1：

Y(s)R(s)=1s(s+13)1+1s(s+13)\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{s(s+13)}} {1+\frac{1}{s(s+13)}}

分子、分母同乘以 s(s+13)s(s+13)：

Y(s)R(s)=1s(s+13)+1\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{1}{s(s+13)+1}

展開分母：

s(s+13)+1=s2+13s+1s(s+13)+1=s^2+13s+1

所以：

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第 二 題25 分

如【圖二】所示，一個單位回授之控制系統如下：

（一）請求出單位步階輸入 R(s)=1sR(s) = \frac{1}{s} 之系統的穩態誤差 == ？【15分】 （二）求單位斜坡輸入 R(s)=1s2R(s) = \frac{1}{s^2} 之系統的穩態誤差 == ？【10分】

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核心觀念

圖二為單位負回授系統，前向傳遞函數為

G(s)=9(s+3)(s+2)(s+5)G(s)=\frac{9(s+3)}{(s+2)(s+5)}

單位負回授系統的誤差傳遞函數為

E(s)=R(s)1+G(s)E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}

利用終值定理：

ess=lim⁡t→∞e(t)=lim⁡s→0sE(s)e_{\mathrm{ss}}=\lim_{t\to\infty}e(t) =\lim_{s\to 0}sE(s)

此系統沒有原點極點，屬於第 0 型系統。

另外，閉迴路特徵方程式為

(s+2)(s+5)+9(s+3)=s2+16s+37(s+2)(s+5)+9(s+3)=s^2+16s+37

其係數皆為正，且二階系統穩定，因此可使用終值定理。

（一）單位步階輸入

單位步階輸入為

R(s)=1sR(s)=\frac{1}{s}

因此

ess=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)=lim⁡s→011+G(s)e_{\mathrm{ss}} =\lim_{s\to 0}s\frac{R(s)}{1+G(s)} =\lim_{s\to 0}\frac{1}{1+G(s)}

先求位置誤差常數：

Kp=lim⁡s→0G(s)=lim⁡s→09(s+3)(s+2)(s+5)K_p=\lim_{s\to 0}G(s) =\lim_{s\to 0}\frac{9(s+3)}{(s+2)(s+5)} Kp=9(3)(2)(5)=2710K_p=\frac{9(3)}{(2)(5)} =\frac{27}{10}

所以

ess=11+Kp=11+2710=1037e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{1+K_p} =\frac{1}{1+\frac{27}{10}} =\frac{10}{37}

（二）單位斜坡輸入

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第 三 題25 分

一個電路系統如【圖三】所示，請求出系統之轉移函數 Vo(s)Vi(s)=?\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = ?【25分】

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核心觀念

本題考察理想運算放大器的「虛短」與「虛斷」特性：

  • 虛斷：運算放大器兩輸入端電流為零。
  • 虛短：在線性負回授且未飽和時，VA=VBV_A=V_B。
  • BB 點由 R2R_2 與電容 CC 構成低通電路。
  • AA 點為反相端，透過兩個相等的 R1R_1 分別連接輸入與輸出。

令輸入電壓為 Vi(s)V_i(s)，輸出電壓為 Vo(s)V_o(s)。

解題方法

1. 求非反相端 BB 點電壓

電容阻抗為

ZC=1sCZ_C=\frac{1}{sC}

由 R2R_2 與 CC 所形成的分壓電路：

VB(s)=Vi(s)ZCR2+ZCV_B(s)=V_i(s)\frac{Z_C}{R_2+Z_C}

代入 ZC=1/(sC)Z_C=1/(sC)：

VB(s)=Vi(s)1sCR2+1sC=Vi(s)1+sR2CV_B(s) =V_i(s)\frac{\frac{1}{sC}}{R_2+\frac{1}{sC}} =\frac{V_i(s)}{1+sR_2C}

2. 使用虛短關係

理想運算放大器在線性工作區具有

VA(s)=VB(s)V_A(s)=V_B(s)

因此

VA(s)=Vi(s)1+sR2CV_A(s)=\frac{V_i(s)}{1+sR_2C}

3. 在反相端 AA 點套用 KCL

由於運算放大器輸入端電流為零，在 AA 點有

VA−ViR1+VA−VoR1=0\frac{V_A-V_i}{R_1}+\frac{V_A-V_o}{R_1}=0

因兩個電阻皆為 R1R_1，乘以 R1R_1 得

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第 四 題25 分

如【圖四】所示為一線性回授控制系統的方塊圖，若 R(s)R(s) 為輸入、E(s)E(s) 為誤差、N(s)N(s) 為雜訊、C(s)C(s) 為輸出，其中 G(s)=K(s+2)s(s+1)G(s) = \frac{K(s+2)}{s(s+1)}，請回答下列問題：

（一）請求出使輸出 C(s)C(s) 不受雜訊影響的轉移函數 H(s)H(s)，也就是 C(s)N(s)∣R(s)=0=0\left.\frac{C(s)}{N(s)}\right|_{R(s)=0} = 0。【10分】 （二）由第（一）小題所求得的 H(s)H(s)，請求當輸入為一單位斜坡函數 r(t)=t u(t)r(t) = t\,u(t)、N(s)=0N(s) = 0 時，使得 e(t)e(t) 的穩態值為 0.10.1 之 KK 的值。【15分】

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核心觀念

本題考查：

  • 方塊圖訊號關係式。
  • 雜訊抑制條件：令 C(s)N(s)∣R(s)=0=0\left.\dfrac{C(s)}{N(s)}\right|_{R(s)=0}=0。
  • 負回授系統的誤差轉移函數。
  • 單位斜坡輸入下，利用終值定理求穩態誤差。

設 x(s)x(s) 為 G(s)G(s) 輸出、雜訊加入前的訊號，則由圖可得

x(s)=G(s)E(s)x(s)=G(s)E(s) C(s)=x(s)+N(s)C(s)=x(s)+N(s) E(s)=R(s)−C(s)−H(s)x(s)E(s)=R(s)-C(s)-H(s)x(s)

（一）求使輸出不受雜訊影響的 H(s)H(s)

令 R(s)=0R(s)=0，則

E(s)=−C(s)−H(s)x(s)E(s)=-C(s)-H(s)x(s)

代入 C(s)=x(s)+N(s)C(s)=x(s)+N(s)：

E(s)=−(1+H(s))x(s)−N(s)E(s)=-(1+H(s))x(s)-N(s)

又因為 x(s)=G(s)E(s)x(s)=G(s)E(s)，所以

x(s)=−G(s)(1+H(s))x(s)−G(s)N(s)x(s)=-G(s)(1+H(s))x(s)-G(s)N(s)

整理得

[1+G(s)+G(s)H(s)]x(s)=−G(s)N(s)\left[1+G(s)+G(s)H(s)\right]x(s)=-G(s)N(s)

因此

x(s)=−G(s)1+G(s)+G(s)H(s)N(s)x(s)=\frac{-G(s)}{1+G(s)+G(s)H(s)}N(s)

而

C(s)=x(s)+N(s)C(s)=x(s)+N(s)

故

C(s)N(s)∣R(s)=0=1−G(s)1+G(s)+G(s)H(s)\left.\frac{C(s)}{N(s)}\right|_{R(s)=0} = 1-\frac{G(s)}{1+G(s)+G(s)H(s)}

整理為

C(s)N(s)∣R(s)=0=1+G(s)H(s)1+G(s)+G(s)H(s)\left.\frac{C(s)}{N(s)}\right|_{R(s)=0} = \frac{1+G(s)H(s)} {1+G(s)+G(s)H(s)}

要使輸出完全不受雜訊影響，必須令分子為零：

1+G(s)H(s)=01+G(s)H(s)=0

因此

H(s)=−1G(s)H(s)=-\frac{1}{G(s)}

已知

G(s)=K(s+2)s(s+1)G(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)}

所以

H(s)=−s(s+1)K(s+2)\boxed{ H(s)=-\frac{s(s+1)}{K(s+2)} }

（二）求使穩態誤差為 0.10.1 的 KK

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