115 年專技高考高等考試大地工程技師考試分階段考試(第一階段考試) 考古題與詳解

Question 1

請試述下列名詞之意涵：（每小題 5 分，共 10 分） (一) 靜不定結構（indeterminate structure）。 (二) 應力集中（stress concentration）。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查材料力學中的兩個基本名詞： 1. 結構的未知反力或內力是否能僅由平衡方程式求得。 2. 幾何不連續處是否會造成局部應力顯著大於平均或名義應力。 --- （一）靜不定結構（indeterminate structure） 定義 靜不定結構是指：結構中的未知反力或內力數目，超過僅由靜力平衡方程式所能提供的獨立方程式數目，因此無法單靠平衡方程式完全求解的結構。 對平面結構而言，通常可使用三個獨立平衡方程式： $$ \sum Fx=0,\qquad \sum Fy=0,\qquad \sum M=0 $$ 若未知反力數目大於可用的獨立平衡方程式數目，則結構具有靜不定性。 靜不定度 靜不定度可概念性表示為： $$ 	ext{靜不定度} = 	ext{未知反力或內力數目} - 	ext{獨立平衡方程式數目} $$ 例如，平面懸臂梁的固定端通常有三個反力未知數，可由三個平衡方程式求得，因此屬於靜定結構。 若梁的一端為固定端，另一端再加設一個支承，則未知反力增加，而平衡方程式數目不變，形成一次靜不定結構。 求解所需條件 靜不定結構除須滿足平衡條件外，還必須加入： - 變形相容條件：各構件變形須符合支承與連接的幾何限制。 - 材料本構關係：例如線彈性範圍內的胡克定律。 - 幾何與剛度關係：例如軸向變形、彎曲變形與扭轉變形公式。 因此，靜不定結構的求解通常包括： 1. 由平衡方程式建立力學關係。 2. 由變形相容條件建立位移或轉角關係。 3. 配合材料力學公式求出全部反力與內力。 與靜定結構的比較 | 類型 | 平衡方程式能否完全求解 | 是否需要變形相容條件 | |---|---|---| | 靜定結構 | 可以 | 通常不需要 | | 靜不定結構 | 不可以 | 必須需要 | 靜不定結構的優點是剛度通常較大、變形較小，且部分構件發生局部損傷時可能具有較佳的荷載重分配能力；其缺點是分析較複雜，並且對支承沉陷、溫度變化及製作誤差較敏感，可能產生附加內力。 --- （二）應力集中（stress concentration） 定義 應力集中是指構件受到孔洞、缺口、裂縫、突變斷面、鍵槽、螺紋或尖角等幾何不連續影響時，應力線受到擾動，使不連續處附近的局部應力大於遠離不連續處的名義應力或平均應力的現象。 局部最大應力可表示為： $$ \sigma{\max}=Kt\sigma{	ext{nom}} $$ 其中： - $\sigma{\max}$：幾何不連續處的局部最大應力。 - $\sigma{	ext{nom}}$：依構件平均斷面或未考慮局部效應所計算的名義應力。

Question 2

考慮一構件具不同勁度（stiffness）之組合桿件系統，受力詳如圖一所示，求 $B$、$C$ 節點變位及個別桿件之軸力。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「不同軸向勁度桿件串聯組合」的節點位移與桿件軸力分析，採用軸向桿件剛度法。

各桿件長度皆為 $a$ ，其軸向勁度為

k_e=\frac{EA}{L}

題圖已直接給定各桿件勁度：

$AB$ 桿： $k$
$BC$ 桿： $2k$
$CD$ 桿： $3k$

兩端 $A$ 、 $D$ 固定，因此

u_A=u_D=0

取向右為正，節點位移分別為 $u_B$ 、 $u_C$ 。

解題方法

1. 建立節點平衡方程式

對節點 $B$ ：

k(u_B-u_A)+2k(u_B-u_C)=P

因為 $u_A=0$ ，可得

3ku_B-2ku_C=P

對節點 $C$ ：

2k(u_C-u_B)+3k(u_C-u_D)=2P

因為 $u_D=0$ ，可得

-2ku_B+5ku_C=2P

整理成矩陣式：

\begin{bmatrix} 3k & -2k\\ -2k & 5k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_B\\ u_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P\\ 2P \end{bmatrix}

除以 $k$ ：

\begin{bmatrix} 3 & -2\\ -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_B\\ u_C \end{bmatrix} = \frac{P}{k} \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}

矩陣反矩陣為

\begin{bmatrix} 3 & -2\\ -2 & 5 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 2 & 3 \end{bmatrix}

因此

\begin{bmatrix} u_B\\ u_C \end{bmatrix} = \frac{P}{11k} \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}

得到

u_B=\frac{9Pa}{11k}

u_C=\frac{8Pa}{11k}

其中若題圖中的 $k$ 已定義為各桿件的整體軸向勁度，則上述結果中的 $a$ 不需額外乘入；本題依圖示桿件剛度通常表示為 $EA/a$ 的等效勁度，因此寫成

Question 3

考慮一兩跨連續梁，受力如下圖二所示。梁之斷面剛度為 $EI$；求此梁 $B$ 點彎矩及受力點 $D$、$E$ 之位移。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 兩跨等剛度連續梁的支點彎矩。 2. Clapeyron 三彎矩定理。 3. 疊加原理計算荷載作用點之撓度。 4. 支承點 $A、B、C$ 均無垂直位移，且梁之 $EI$ 為常數。 由圖可知： - $AB=BC=2a$ - $D$ 位於 $AB$ 跨中央，受集中力 $P$ - $E$ 位於 $BC$ 跨中央，受集中力 $2P$ - $A、B、C$ 為支承點 - 採「下撓為正、正彎矩為跨中下凹之彎矩」的符號約定 --- 一、求 $B$ 點彎矩 採用三彎矩定理： $$ MA L1+2MB(L1+L2)+MC L2 = -6\left(\frac{A1\bar{x}1}{L1} +\frac{A2\bar{x}2}{L2}\right) $$ 其中： $$ L1=L2=2a,\qquad MA=MC=0 $$ 對於跨中集中力 $Q$ 作用於長度 $L$ 的簡支梁，其彎矩圖面積為： $$ A=\frac{1}{2}L\left(\frac{QL}{4}\right) =\frac{QL^2}{8} $$ 且形心位於跨中央，因此： $$ \frac{A\bar{x}}{L} = \frac{QL^2}{16} $$ 跨 $AB$ 跨中荷載為 $P$，故： $$ \frac{A1\bar{x}1}{L1} = \frac{P(2a)^2}{16} = \frac{Pa^2}{4} $$ 跨 $BC$ 跨中荷載為 $2P$，故： $$ \frac{A2\bar{x}2}{L2} = \frac{2P(2a)^2}{16} = \frac{Pa^2}{2} $$ 代入三彎矩定理： $$ 0+2MB(2a+2a)+0 = -6\left(\frac{Pa^2}{4}+\frac{Pa^2}{2}\right) $$ $$ 8aMB = -6\left(\frac{3Pa^2}{4}\right) = -\frac{9Pa^2}{2} $$ 因此： $$ \boxed{MB=-\frac{9}{16}Pa} $$ 負號表示 $B$ 點為負彎矩，即支點處為反曲、上凹的負彎矩。 --- 二、求 $D$ 點位移 跨 $AB$ 長度為 $2a$，跨中受力 $P$，且右端 $B$ 有支點彎矩： $$ MB=-\frac{9}{16}Pa $$ 跨中集中力造成的簡支梁跨中撓度為： $$ \delta{D,P} = \frac{P(2a)^3}{48EI} = \frac{Pa^3}{6EI} $$ 單一端彎矩 $MB$ 對跨中位移的貢獻為：

Question 4

圖示混凝土結構的橫斷面尺寸，混凝土品質均勻，請問斷面重心的座標 $(x,y)$ 為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面複合面積的重心。混凝土品質均勻，因此截面重心可由面積重心求得： $$ \bar{x}=\frac{\sum Ai xi}{\sum Ai},\qquad \bar{y}=\frac{\sum Ai yi}{\sum Ai} $$ 圖示為厚度 $2\ \mathrm{m}$ 的 L 形截面，可拆成兩個矩形，再扣除重複計算的 $2\ \mathrm{m}	imes2\ \mathrm{m}$ 區域。 解題方法 取左下角為座標原點，$x$ 軸向右、$y$ 軸向上。 1. 垂直矩形 尺寸為 $2\ \mathrm{m}	imes6\ \mathrm{m}$： $$ A1=2(6)=12\ \mathrm{m^2} $$ 其重心座標為： $$ (x1,y1)=(1,3) $$ 2. 水平矩形 總長度為 $2+6=8\ \mathrm{m}$，厚度為 $2\ \mathrm{m}$： $$ A2=8(2)=16\ \mathrm{m^2} $$ 其重心座標為： $$ (x2,y2)=(4,1) $$ 3. 重複區域 兩矩形重疊的左下角方形尺寸為 $2\ \mathrm{m}	imes2\ \mathrm{m}$，需扣除： $$ A3=2(2)=4\ \mathrm{m^2} $$ 其重心座標為： $$ (x3,y3)=(1,1) $$ 因此總面積為： $$ A=A1+A2-A3 =12+16-4=24\ \mathrm{m^2} $$ 計算 $\bar{x}$： $$ \bar{x} =\frac{A1x1+A2x2-A3x3}{A} $$ $$ \bar{x} =\frac{12(1)+16(4)-4(1)}{24} =\frac{72}{24} =3\ \mathrm{m} $$ 計算 $\bar{y}$： $$ \bar{y} =\frac{A1y1+A2y2-A3y3}{A} $$

Answer

答案：A

Question 5

圓形中空斷面尺寸如圖所示，此斷面針對 $Z$ 軸（縱軸）之迴轉半徑（radius of gyration）為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查截面的迴轉半徑（radius of gyration）定義。對通過截面形心、且垂直於截面的縱軸 $Z$，迴轉半徑為 $$ kz=\sqrt{\frac{Iz}{A}} $$ 其中： - $Iz$：截面對 $Z$ 軸的極慣性矩 - $A$：中空圓形截面面積 依本題圖示及命題採用的幾何關係，圓環截面可將材料至 $Z$ 軸的距離視為由平均半徑 $R$ 及壁厚方向的半厚度 $t/2$ 所組成，因此 $$ kz^2=R^2+\left(\frac{t}{2}\right)^2 $$ 故 $$ kz =\sqrt{R^2+\frac{t^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{4R^2+t^2} $$ 所以選擇 (D)。 --- 解題方法 由迴轉半徑定義： $$ kz=\sqrt{\frac{Iz}{A}} $$ 本題圓形中空截面繞縱軸 $Z$ 旋轉對稱，故各方向的面積分布相同，$Z$ 軸至截面微小面積的距離平方可整理為 $$ r^2=R^2+\left(\frac{t}{2}\right)^2 $$ 因此 $$ \frac{Iz}{A} =R^2+\left(\frac{t}{2}\right)^2 $$ 得到 $$ \boxed{kz=\frac{1}{2}\sqrt{4R^2+t^2}} $$ --- 選項分析 (A) $\dfrac{2R+t}{4}$ 錯誤。此式是長度的線性組合，沒有呈現迴轉半徑應由慣性矩與面積比值開根號所得的形式，也無法反映半徑平方與厚度平方的共同影響。

Answer

答案：D

Question 6

軸力桿截面積為 $A$，總長為 $2a$，受軸向載重作用，載重為線性分布型式，如下方右圖所示。請問 $x\in[0,a]$ 時的平均正應力函數 $\sigma(x)$ 為何？ (A) $\sigma(x)=\dfrac{w0}{2aA}(2a-x)^2$ (B) $\sigma(x)=\dfrac{w0}{2A}(2a-x)^2$ (C) $\sigma(x)=\dfrac{w0}{2aA}(2a^2-x^2)$ (D) $\sigma(x)=\dfrac{w0}{2A}(2a-x)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查軸力桿在分布軸向載重下的內力與平均正應力： $$ \sigma(x)=\frac{N(x)}{A} $$ 其中 $N(x)$ 為截面位置 $x$ 右側所有分布載重的合力。由圖可知，桿長為 $2a$，載重呈三角形分布： - $0\le s\le a$ 時，載重強度由 $0$ 線性增加至 $w0$： $$ w(s)=\frac{w0}{a}s $$ - $a\le s\le 2a$ 時，載重強度由 $w0$ 線性減少至 $0$： $$ w(s)=\frac{w0}{a}(2a-s) $$ --- 解題方法 取位置 $x\in[0,a]$ 的截面，截面右側載重合力為 $$ N(x)=\intx^a \frac{w0}{a}s\,ds +\inta^{2a}\frac{w0}{a}(2a-s)\,ds $$ 第一部分為 $x$ 至 $a$ 的梯形載重合力： $$ \intx^a \frac{w0}{a}s\,ds =\frac{w0}{2a}(a^2-x^2) $$ 第二部分為 $a$ 至 $2a$ 的三角形載重合力： $$ \inta^{2a}\frac{w0}{a}(2a-s)\,ds =\frac{w0a}{2} =\frac{w0}{2a}a^2 $$ 因此 $$ N(x)=\frac{w0}{2a}(a^2-x^2+a^2) =\frac{w0}{2a}(2a^2-x^2) $$ 平均正應力為 $$ \sigma(x)=\frac{N(x)}{A} =\frac{w0}{2aA}(2a^2-x^2) $$ 故正確選項為 $$ \boxed{	ext{(C)}\ \sigma(x)=\frac{w0}{2aA}(2a^2-x^2)} $$ --- 選項分析 (A) $$ \sigma(x)=\frac{w0}{2aA}(2a-x)^2 $$

Answer

答案：C

Question 7

圖示方形板形變如圖中虛線所示，請問 $A$ 處的平均剪應變（average shear strain）為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形小變形後，某一角度的平均剪應變。工程剪應變可視為相鄰兩邊旋轉角度的代數和： $$ \gamma{xy}\approx 	heta1+	heta2 $$ 在 $A$ 點，需觀察相鄰兩邊 $AB$ 與 $AD$ 的變形： - $AB$ 原本為垂直邊，變形後產生水平傾斜； - $AD$ 原本為水平邊，變形後產生垂直傾斜。 因此，$A$ 點的平均剪應變為兩邊傾角之和。 解題方法 由圖可讀得： - 原矩形高度：$300\ 	ext{mm}$ - 原矩形寬度：$400\ 	ext{mm}$ - $B$ 點向右、向上位移分別為 $12\ 	ext{mm}$、$8\ 	ext{mm}$ - $A$ 點向右、向上位移分別為 $5\ 	ext{mm}$、$2\ 	ext{mm}$ - $D$ 點視為固定點 1. 計算 $AB$ 邊的傾角 $A$ 與 $B$ 的水平相對位移為 $$ \Delta x{AB}=12-5=7\ 	ext{mm} $$ 變形後 $AB$ 的垂直長度為 $$ L{AB}=300+8-2=306\ 	ext{mm} $$ 故其旋轉角為 $$ 	heta{AB} =	an^{-1}\left(\frac{7}{306}ight) \approx \frac{7}{306} =0.02288 $$ 2. 計算 $AD$ 邊的傾角 $D$ 點固定，而 $A$ 點向上位移 $2\ 	ext{mm}$，因此 $$ \Delta y{AD}=2\ 	ext{mm} $$ 變形後 $AD$ 的水平長度為 $$ L{AD}=400+5=405\ 	ext{mm} $$ 故其旋轉角為

Answer

答案：B

Question 8

一試片經由單軸向壓縮試驗，獲得其降伏壓應力 $\sigmay$ 為 $-10\ \mathrm{MPa}$。請利用莫爾圓分析，決定最大主應力為多少 MPa？ (A) $-10$ (B) $-5$ (C) $0$ (D) $5$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查單軸向壓縮應力狀態下的莫爾圓與主應力判定。

依台灣材料力學慣例，拉應力為正、壓應力為負。試片承受單軸向壓縮，且降伏壓應力為

\sigma_y=-10\ \text{MPa}

因此三個主應力為：

\sigma_x=-10\ \text{MPa},\qquad \sigma_y=0,\qquad \sigma_z=0

其中兩個與壓縮方向垂直的方向沒有應力。

解題方法：利用莫爾圓

主應力依大小排列為：

\sigma_1=0\ \text{MPa},\qquad \sigma_2=0\ \text{MPa},\qquad \sigma_3=-10\ \text{MPa}

對最大主應力與最小主應力繪製莫爾圓，其圓心為

C=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} =\frac{0+(-10)}{2} =-5\ \text{MPa}

半徑為

R=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} =\frac{0-(-10)}{2} =5\ \text{MPa}

因此莫爾圓在應力軸上的兩個截距為：

C+R=-5+5=0\ \text{MPa}

以及

C-R=-5-5=-10\ \text{MPa}

最大主應力即為莫爾圓在應力軸上的右端點：

Answer

答案：C

Question 9

一立體元素應力狀態如圖示，已知材料楊氏模數 $E=70\ \mathrm{GPa}$，蒲松比 $
u=0.33$，則絕對最大剪應變之值為何？ (A) $4790\ \mu$ (B) $2350\ \mu$ (C) $972\ \mu$ (D) $5762\ \mu$

Accepted Answer

核心觀念 圖示三個互相垂直面上皆為法向應力，且沒有剪應力，因此三個應力即為主應力。依圖示方向取拉應力為正、壓應力為負： $$ \sigma1=70\ 	ext{MPa},\qquad \sigma2=-105\ 	ext{MPa},\qquad \sigma3=-182\ 	ext{MPa} $$ 三向應力下，主應變為 $$ \varepsiloni = \frac{1}{E} \left[ \sigmai-
u(\sigmaj+\sigmak) ight] $$ 絕對最大剪應變定義為最大主應變與最小主應變之差： $$ \gamma{\max} = \varepsilon{\max}-\varepsilon{\min} $$ 也可直接利用公式： $$ \gamma{\max} = \frac{1+
u}{E} \left(\sigma{\max}-\sigma{\min}ight) $$ --- 解題方法 最大主應力與最小主應力分別為 $$ \sigma{\max}=70\ 	ext{MPa},\qquad \sigma{\min}=-182\ 	ext{MPa} $$ 因此 $$ \sigma{\max}-\sigma{\min} = 70-(-182) = 252\ 	ext{MPa} $$ 代入 $E=70\ 	ext{GPa}=70,000\ 	ext{MPa}$、$
u=0.33$： $$ \gamma{\max} = \frac{1+0.33}{70,000}(252) $$ $$ \gamma{\max} = 0.004788 = 4788	imes 10^{-6} \approx 4790\ \mu $$ 故絕對最大剪應變為 $$ \boxed{\gamma{\max}\approx 4790\ \mu} $$ ---

Answer

答案：A

Question 10

I 型梁斷面尺寸如圖示，則斷面之形狀因子（shape factor）多大？ (A) $1.5$ (B) $1.36$ (C) $1.25$ (D) $1.16$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查梁斷面繞強軸彎曲時的形狀因子（shape factor）： $$ 	ext{形狀因子}=\frac{Mp}{My} =\frac{Zp}{S} $$ 其中： - $Mp$：塑性彎矩 - $My$：初降伏彎矩 - $Zp$：塑性截面模數 - $S=I/c$：彈性截面模數 由圖可讀得： - 翼板寬度 $bf=200\ 	ext{mm}$ - 翼板厚度 $tf=10\ 	ext{mm}$ - 腹板厚度 $tw=15\ 	ext{mm}$ - 腹板淨高 $hw=200\ 	ext{mm}$ 因此全斷面高度為： $$ h=10+200+10=220\ 	ext{mm} $$ 斷面上下對稱，塑性中性軸與彈性中性軸均位於全高中央，距上下緣： $$ c=\frac{220}{2}=110\ 	ext{mm} $$ --- 解題方法 一、計算彈性截面模數 $S$ 先求強軸慣性矩 $I$。 上下兩塊翼板至中性軸的距離為： $$ d=110-\frac{10}{2}=105\ 	ext{mm} $$ 因此： $$ I =2\left[ \frac{200(10)^3}{12} +(200)(10)(105)^2 ight] +\frac{15(200)^3}{12} $$ $$ I=54.133	imes 10^6\ 	ext{mm}^4 $$ 彈性截面模數為： $$ S=\frac{I}{c} =\frac{54.133	imes10^6}{110} =492121\ 	ext{mm}^3 $$ --- 二、計算塑性截面模數 $Zp$ 取塑性中性軸以上的面積，再乘以各部分至塑性中性軸的距離，最後乘以 $2$。 上翼板： $$ Af=(200)(10)=2000\ 	ext{mm}^2 $$ 其形心距塑性中性軸： $$ yf=105\ 	ext{mm} $$

Answer

答案：D

Question 11

圖示為實心斷面軸力構件 $AB$ 與 $BC$ 兩部分之尺寸，假設彈性行為且 $AB$ 與 $BC$ 相同材質，計算 $C$ 端之反力大小為何？

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩段串接軸力桿在兩端固定、節點受集中力時的： - 軸向剛度： $$k=\frac{AE}{L}$$ - 節點變形相容條件：兩段桿件在接點 $B$ 的軸向位移相同。 - 靜力平衡：外力 $P$ 由 $AB$ 與 $BC$ 兩段桿件共同分擔。 由於 $AB$ 與 $BC$ 材料相同，彈性模數 $E$ 相同，但兩段桿件的長度及截面積不同，因此必須依軸向剛度分配力量。 解題方法 設 $AB$ 段直徑為 $d$，則其截面積為 $$ A{AB}=\frac{\pi d^2}{4} $$ 由圖可知，$BC$ 段直徑為 $\frac{3}{4}d$，因此 $$ A{BC} =\frac{\pi}{4}\left(\frac{3d}{4}\right)^2 =\frac{9}{16}A{AB} $$ 兩段長度為 $$ L{AB}=2a,\qquad L{BC}=a $$ 故兩段桿件的軸向剛度分別為 $$ k{AB}=\frac{EA{AB}}{2a} $$ 以及 $$ k{BC}=\frac{EA{BC}}{a} =\frac{E}{a}\left(\frac{9}{16}A{AB}\right) $$ 計算剛度比： $$ \frac{k{BC}}{k{AB}} = \frac{\dfrac{9EA{AB}}{16a}} {\dfrac{EA{AB}}{2a}} = \frac{9}{8} $$ 在節點 $B$，兩段桿件的抗力總和須平衡外力 $P$： $$ P=F{AB}+F{BC} $$ 由於兩段桿件在 $B$ 點具有相同位移，兩段桿件分擔的力量與剛度成正比，因此 $$ \frac{F{BC}}{P} = \frac{k{BC}}{k{AB}+k{BC}} $$ 代入剛度比： $$ F{BC} = P\frac{9/8}{1+9/8} = P\frac{9/8}{17/8} = \frac{9P}{17} $$ $BC$ 段的內力即為 $C$ 端反力大小，因此

Answer

答案：C

Question 12

圖示長度為 $L$ 的懸臂靜定桿，單位重為 $\gamma$，已知其應力—應變關係為 $\sigma=C\varepsilon^{0.5}$，計算桿底端的位移量多大？ (A) $\dfrac{\gamma L^2}{2C}$ (B) $\dfrac{\gamma^2L^3}{3C^2}$ (C) $\dfrac{\gamma^3L^5}{5C^3}$ (D) $\dfrac{\gamma L^3}{2C^2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查變截面內力造成的應力分布，以及非線性應力—應變關係下的軸向變形計算。 桿件為垂直懸臂桿，僅承受自身重量。取桿底端起算，距底端 $x$ 處的截面，其下方桿段長度為 $x$，故截面應力為 $$ \sigma(x)=\gamma x $$ 其中 $\gamma$ 為單位重。題目給定材料關係式 $$ \sigma=C\varepsilon^{0.5} $$ 需先由此求出應變，再沿桿長積分求底端位移。 解題方法 由 $$ \sigma=C\varepsilon^{0.5} $$ 得 $$ \varepsilon^{0.5}=\frac{\sigma}{C} $$ 因此 $$ \varepsilon=\left(\frac{\sigma}{C}\right)^2 $$ 代入 $\sigma(x)=\gamma x$： $$ \varepsilon(x)=\left(\frac{\gamma x}{C}\right)^2 =\frac{\gamma^2x^2}{C^2} $$ 底端位移量為全長應變的積分： $$ \delta=\int0^L \varepsilon(x)\,dx $$ 所以 $$ \delta =\int0^L\frac{\gamma^2x^2}{C^2}\,dx =\frac{\gamma^2}{C^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]0^L $$ 整理得 $$ \boxed{\delta=\frac{\gamma^2L^3}{3C^2}} $$ 因此選擇 (B)。 選項分析

Answer

答案：B

Question 13

水平剛性桿由銷支承 $F$、鋼柱 $AB$ 與 $CD$ 支撐，鋼柱的剛度為 $EA$，且 $AB$ 柱與 $CD$ 柱長度皆為 $L$。$P$ 作用於右端，距 $A$ 點 $4a$ 處，計算剛性桿的轉角。 (A) $\dfrac{3PL}{2aEA}$ (B) $\dfrac{PL}{aEA}$ (C) $\dfrac{2PL}{3aEA}$ (D) $\dfrac{2PL}{aEA}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 水平剛性桿的剛體轉動； - 鋼柱軸向變形與胡克定律； - 軸向勁度 $k=\dfrac{EA}{L}$； - 以銷支承 $F$ 為轉動中心建立力矩平衡。 由圖可知： - $AF=a$； - $FC=a$； - $CP=2a$，因此 $FP=3a$； - $AB$、$CD$ 長度皆為 $L$，軸向勁度皆為 $\dfrac{EA}{L}$。 --- 解題方法 設剛性桿繞 $F$ 的轉角大小為 $	heta$。因為 $F$ 為銷支承，桿在 $F$ 點的垂直位移為零。 剛性桿小角度轉動時，$A$、$C$ 兩點的垂直位移大小分別為 $$ \deltaA=a	heta,\qquad \deltaC=a	heta $$ 兩端位移方向相反，因此一根鋼柱受拉、另一根鋼柱受壓。每根鋼柱的軸力大小為 $$ N=\frac{EA}{L}(a	heta) $$ 這兩個軸力對 $F$ 形成抵抗外力 $P$ 的力矩。其抵抗力矩大小為 $$ MF=N(a)+N(a)=2Na $$ 外力 $P$ 作用線距離 $F$ 為 $$ FP=AF+FC+CP=a+a+2a=4a? $$ 此處需依圖中實際標示判讀：圖示的尺寸標示為 $AF=a$、$FC=a$、$CP=2a$，而題幹文字說明 $P$ 距離 $A$ 點為 $4a$。因此 $P$ 到 $F$ 的距離為 $$ FP=AP-AF=4a-a=3a $$ 故外力對 $F$ 的力矩為 $$ MP=3Pa $$ 建立力矩平衡： $$ 2Na=3Pa $$ 代入 $N=\dfrac{EA}{L}(a	heta)$： $$ 2\left(\frac{EA}{L}a	hetaight)a=3Pa $$

Answer

答案：A

Question 14

圖示複合柱於 $P$ 載重作用下均勻變形，已知鋁（Aluminum）$E{\mathrm{al}}=70\ \mathrm{GPa}$、紅黃銅（Red brass）$E{\mathrm{br}}=100\ \mathrm{GPa}$，圖示集中力作用點之距離 $d\approx$ ？ (A) $150\ \mathrm{mm}$ (B) $122\ \mathrm{mm}$ (C) $113\ \mathrm{mm}$ (D) $75\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「複合柱均勻變形」時，集中力作用線必須通過複合截面的彈性形心。若載重未通過彈性形心，兩種材料的壓縮變形會造成偏心效應與彎曲，無法維持均勻變形。 均勻變形表示兩種材料具有相同應變 $\varepsilon$，因此各材料承受的軸力為 $$ Pi=\sigmai Ai=Ei\varepsilon Ai $$ 所以載重作用點的位置須依 $EA$ 加權，而不是單純依幾何面積加權。 --- 解題方法 取柱左側邊緣為基準，設集中力作用線距離左側邊緣為 $d$。 由圖可知： - 鋁柱寬度：$150\ 	ext{mm}$ - 紅黃銅柱寬度：$75\ 	ext{mm}$ - 柱高相同，因此面積可用寬度比例表示 - 鋁柱形心位置： $$ x{\mathrm{al}}=\frac{150}{2}=75\ 	ext{mm} $$ - 紅黃銅柱形心位置： $$ x{\mathrm{br}}=150+\frac{75}{2}=187.5\ 	ext{mm} $$ 彈性形心位置為 $$ d= \frac{E{\mathrm{al}}A{\mathrm{al}}x{\mathrm{al}} +E{\mathrm{br}}A{\mathrm{br}}x{\mathrm{br}}} {E{\mathrm{al}}A{\mathrm{al}}+E{\mathrm{br}}A{\mathrm{br}}} $$ 因柱高相同，面積中的共同高度可約去，代入寬度： $$ d= \frac{(70)(150)(75)+(100)(75)(187.5)} {(70)(150)+(100)(75)} $$ $$ d= \frac{787500+1406250}{10500+7500} = \frac{2193750}{18000} =121.875\ 	ext{mm} $$ 因此 $$ d\approx 122\ 	ext{mm} $$ ---

Answer

答案：B

Question 15

圖示簡支梁之最大彎矩出現在 $x$ 等於多少之位置？ (A) $2.45\ \mathrm{m}$ (B) $2.75\ \mathrm{m}$ (C) $3.0\ \mathrm{m}$ (D) $2.25\ \mathrm{m}$

Accepted Answer

核心觀念 簡支梁在分布載重作用下，彎矩最大的位置必須滿足剪力為零： $$V(x)=\frac{dM}{dx}=0$$ 因此本題先求支承反力，再由剪力函數找出 $V=0$ 的位置。 圖中梁長為 $4.5\ \mathrm{m}$，分布載重呈三角形變化，最大載重為 $300\ \mathrm{N/m}$，發生於距左支承 $3\ \mathrm{m}$ 處。 --- 解題方法 將分布載重分成左右兩個三角形。 左側三角形： $$W1=\frac{1}{2}(3)(300)=450\ \mathrm{N}$$ 其作用位置距左支承： $$x1=\frac{2}{3}(3)=2\ \mathrm{m}$$ 右側三角形： $$W2=\frac{1}{2}(1.5)(300)=225\ \mathrm{N}$$ 其作用位置距左支承： $$x2=3+\frac{1}{3}(1.5)=3.5\ \mathrm{m}$$ 總載重為： $$W=W1+W2=675\ \mathrm{N}$$ 取左支承 $A$ 點力矩： $$RB(4.5)=450(2)+225(3.5)$$ $$RB=375\ \mathrm{N}$$ 由垂直力平衡： $$RA+RB=675$$ $$RA=300\ \mathrm{N}$$ 在 $0\leq x\leq 3$ 的區段，分布載重為線性增加： $$w(x)=\frac{300}{3}x=100x$$ 因此左端至 $x$ 處的載重合力為： $$\int0^x 100s\,ds=50x^2$$ 剪力為： $$V(x)=RA-\int0^x w(s)\,ds$$ $$V(x)=300-50x^2$$ 最大彎矩處滿足 $V(x)=0$： $$300-50x^2=0$$ $$x^2=6$$

Answer

答案：A

Question 16

圖示平面應力元素，$\sigmax=25\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=-15\ \mathrm{MPa}$、$	au{xy}=-10\ \mathrm{MPa}$，則平面最大剪應力多大？ (A) $27.4\ \mathrm{MPa}$ (B) $17.4\ \mathrm{MPa}$ (C) $22.4\ \mathrm{MPa}$ (D) $20\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面應力狀態下的最大剪應力。對於平面應力元素，最大剪應力等於莫耳圓半徑： $$ 	au{\max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2 } $$ 其中 $	au{xy}$ 的正負號只影響剪應力方向，不影響最大剪應力的大小。 解題方法 已知： $$ \sigmax=25\ 	ext{MPa},\qquad \sigmay=-15\ 	ext{MPa},\qquad 	au{xy}=-10\ 	ext{MPa} $$ 先計算正應力差的一半： $$ \frac{\sigmax-\sigmay}{2} = \frac{25-(-15)}{2} = 20\ 	ext{MPa} $$ 代入最大剪應力公式： $$ \begin{aligned} 	au{\max} &= \sqrt{20^2+(-10)^2} \ &= \sqrt{400+100} \ &= \sqrt{500} \ &= 22.36\ 	ext{MPa} \end{aligned} $$ 取適當有效數字： $$ 	au{\max}\approx 22.4\ 	ext{MPa} $$ 因此正確答案為 (C)。 亦可先求主應力： $$ \sigma{1,2} = \frac{\sigmax+\sigmay}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2 } $$ 由於莫耳圓半徑為 $22.4\ 	ext{MPa}$，故最大平面剪應力即為 $22.4\ 	ext{MPa}$。 選項分析

Answer

答案：C

Question 17

一金屬平板進行雙軸應力試驗，已知 $\sigmax=80\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=-39\ \mathrm{MPa}$、$\varepsilonx=450	imes10^{-6}$、$\varepsilony=-310	imes10^{-6}$，則此金屬板的楊氏模數 $E$ 多大？ (A) $204\ \mathrm{GPa}$ (B) $258\ \mathrm{GPa}$ (C) $129\ \mathrm{GPa}$ (D) $102\ \mathrm{GPa}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查均質、等向性金屬薄板在平面應力狀態下的廣義虎克定律。雙軸應力下，$x$、$y$方向的應變均受到另一方向應力所造成之蒲松比效應影響，因此不能直接使用 $E=\sigmax/\varepsilonx$。 平面應力狀態的應力—應變關係為 $$ \varepsilonx=\frac{1}{E}\left(\sigmax-
u\sigmayight) $$ $$ \varepsilony=\frac{1}{E}\left(\sigmay-
u\sigmaxight) $$ 其中： - $E$：楊氏模數 - $
u$：蒲松比 - $\sigmax,\sigmay$：兩主方向正應力 - $\varepsilonx,\varepsilony$：兩主方向正應變 壓應力與壓應變均取負號。 --- 解題方法 已知 $$ \sigmax=80\ 	ext{MPa},\qquad \sigmay=-39\ 	ext{MPa} $$ $$ \varepsilonx=450	imes10^{-6},\qquad \varepsilony=-310	imes10^{-6} $$ 代入廣義虎克定律： $$ 450	imes10^{-6} =\frac{80-(-39)
u}{E} =\frac{80+39
u}{E} $$ 因此 $$ 0.00045E=80+39
u 	ag{1} $$ 另一方向： $$ -310	imes10^{-6} =\frac{-39-80
u}{E} $$ 因此 $$ -0.00031E=-39-80
u 	ag{2} $$ 由式（1）得 $$ 
u=\frac{0.00045E-80}{39} $$ 代入式（2）： $$ -0.00031E =-39-80\left(\frac{0.00045E-80}{39}ight) $$ 整理得 $$ E\approx 204056\ 	ext{MPa} $$ 換算為 GPa： $$ E\approx 204.056\ 	ext{GPa} $$ 故取選項中的數值： $$ \boxed{E\approx 204\ 	ext{GPa}} $$ 由此反算蒲松比： $$ 
u=\frac{0.00045(204056)-80}{39} \approx 0.303 $$ 此數值亦符合一般金屬材料常見的蒲松比範圍，計算結果合理。 --- 選項分析 (A) $204\ \mathrm{GPa}$：正確 代入 $E=204\ \mathrm{GPa}=204000\ \mathrm{MPa}$： 由 $x$ 方向求得

Answer

答案：A

Question 18

圖示矩形斷面受 $	heta=30^\circ$ 之彎矩作用，此彎矩作用下斷面中性軸的角度 $\phi$ 為何？ (A) $+8.2^\circ$ (B) $-8.2^\circ$ (C) $+66.6^\circ$ (D) $-66.6^\circ$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形斷面之「非對稱彎曲」與中性軸方向。 矩形斷面尺寸為： - $x$ 方向寬度：$a$ - $y$ 方向高度：$2a$ 因此，通過形心的慣性矩為 $$ Ix=\frac{a(2a)^3}{12}=\frac{2}{3}a^4 $$ $$ Iy=\frac{(2a)a^3}{12}=\frac{1}{6}a^4 $$ 所以 $$ \frac{Ix}{Iy}=4 $$ 非對稱彎曲的中性軸，是斷面上彎曲正應力 $\sigma=0$ 的軸線。 --- 解題方法 彎矩與 $x$ 軸夾角為 $	heta=30^\circ$，其分量可表示為 $$ Mx=M\cos	heta,\qquad My=M\sin	heta $$ 矩形斷面之彎曲正應力可寫為 $$ \sigma=-\frac{Mx}{Ix}y+\frac{My}{Iy}x $$ 中性軸上 $\sigma=0$，因此 $$ -\frac{Mx}{Ix}y+\frac{My}{Iy}x=0 $$ 整理得 $$ \frac{y}{x} = \frac{My Ix}{Mx Iy} $$ 若中性軸與 $x$ 軸夾角為 $\phi$，則 $$ 	an\phi=\frac{y}{x} = \frac{My}{Mx}\frac{Ix}{Iy} $$ 代入 $	heta=30^\circ$ 與 $Ix/Iy=4$：

Answer

答案：C

Question 19

圖示對稱簡支梁於四分之一跨處受集中荷重作用，梁剛度為 $EI$，但中間 $BC$ 段加勁為 $2EI$，則梁最大變位為何？ (A) $\dfrac{1}{96}\left(\dfrac{PL^3}{EI}\right)$ (B) $\dfrac{7}{768}\left(\dfrac{PL^3}{EI}\right)$ (C) $\dfrac{7}{1152}\left(\dfrac{PL^3}{EI}\right)$ (D) $\dfrac{13}{768}\left(\dfrac{PL^3}{EI}\right)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 對稱簡支梁的支承反力與變形對稱性。 - 撓曲線微分方程 $$\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{M(x)}{EI(x)}$$ - 梁中間 $BC$ 段加勁後，該段剛度為 $2EI$，因此曲率為原來的一半。 - 由對稱性可知梁的最大變位發生在跨中央。 梁長為 $L$，兩個集中荷重均為 $P$，分別作用於 $x=L/4$ 與 $x=3L/4$。由對稱性，兩端支承反力皆為 $P$。 取左半部 $A$ 至跨中央，令 $$a=\frac{L}{4}$$ 則左半梁分成兩段： 1. $0\le x\le a$：剛度為 $EI$ 2. $a\le x\le 2a$：中間加勁段，剛度為 $2EI$ --- 解題方法 利用中央截面斜率為零的條件： $$v'\left(\frac{L}{2}\right)=0$$ 中央撓度可直接由曲率積分求得： $$ \delta{\max} =\int0^{L/2}x\frac{M(x)}{EI(x)}\,dx $$ 此式的物理意義是：以跨中央斜率為零作為邊界條件，將各截面的曲率對中央變位之貢獻加總。 第一段：$0\le x\le L/4$ 此段彎矩為 $$M(x)=Px$$ 且剛度為 $EI$，所以 $$ \delta1 =\int0^a x\frac{Px}{EI}\,dx =\frac{P}{EI}\int0^a x^2\,dx =\frac{Pa^3}{3EI} $$ 代入 $a=L/4$： $$ \delta1 =\frac{P}{3EI}\left(\frac{L}{4}\right)^3 =\frac{PL^3}{192EI} $$ 第二段：$L/4\le x\le L/2$ 通過左側集中荷重後，彎矩為常數： $$M(x)=Pa$$ 此段剛度為 $2EI$，因此 $$ \delta2 =\inta^{2a}x\frac{Pa}{2EI}\,dx $$ $$ \delta2 =\frac{Pa}{2EI} \left[\frac{x^2}{2}\right]a^{2a} =\frac{Pa}{4EI}(4a^2-a^2) =\frac{3Pa^3}{4EI} $$ 代入 $a=L/4$：

Answer

答案：D

Question 20

圖示靜不定梁受到均佈載重作用，若 $B$ 點沉陷 $40\ \mathrm{mm}$ ，計算 $B$ 點反力為何？已知梁桿件 $E=200\ \mathrm{GPa}$ 、 $I=67.5\times10^{-6}\ \mathrm{m}^4$ 。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查靜不定梁的「力法」與變形相容條件。將中間支承 $B$ 的反力視為超靜定力，拆除 $B$ 支承後，主結構為 $A、C$ 兩端簡支、全長 $12\ \mathrm{m}$ 的梁。 由於 $B$ 點沉陷 $40\ \mathrm{mm}$，其實際撓度必須滿足： $$ \deltaB=40\ \mathrm{mm}=0.04\ \mathrm{m} $$ 圖中均佈載重為 $w=10\ \mathrm{kN/m}$，且 $B$ 位於全梁中點。 解題方法 梁全長為： $$ L=6+6=12\ \mathrm{m} $$ 材料與截面剛度為： $$ EI=(200	imes10^6)(67.5	imes10^{-6}) =13.5	imes10^6\ \mathrm{N\cdot m^2} $$ 先移除 $B$ 支承，考慮兩個荷載造成的 $B$ 點撓度。 1. 均佈載重造成的中點撓度 簡支梁全跨受均佈載重時，中點撓度為： $$ \deltaw=\frac{5wL^4}{384EI} $$ 代入： $$ \deltaw =\frac{5(10	imes10^3)(12)^4} {384(13.5	imes10^6)} =0.200\ \mathrm{m} $$ 方向向下。 2. $B$ 點反力造成的中點撓度 設 $B$ 點反力為 $RB$，方向向上。簡支梁中點受集中力時，中點撓度為： $$ \delta{RB}=\frac{RBL^3}{48EI} $$ 方向向上，因此與均佈載重造成的撓度相反。 3. 建立變形相容條件 實際 $B$ 點向下沉陷 $0.04\ \mathrm{m}$，故： $$ \frac{wL^4}{?} $$ 依撓度方向取正確關係： $$ \deltaw-\delta{RB}=0.04 $$ 因此：

Answer

答案：D

Question 21

圖示剛性桿與彈簧組合之系統，彈簧勁度為 $k$，此桿之臨界挫屈載重為何？ (A) $P{\mathrm{cr}}=4kL$ (B) $P{\mathrm{cr}}=2kL$ (C) $P{\mathrm{cr}}=kL$ (D) $P{\mathrm{cr}}=0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛性桿的小變形挫屈，以及彈簧提供的側向回復力矩。挫屈臨界條件為： $$ 	ext{彈簧回復力矩}=	ext{軸向載重造成的傾覆力矩} $$ 圖中剛性桿長度為 $L$，上、下端各設有左右兩支勁度均為 $k$ 的水平彈簧。 解題方法 設剛性桿相對於原本豎直位置轉動小角度 $	heta$。 桿中點可視為不產生水平位移，因此上、下端的水平位移量大小皆為： $$ \delta=\frac{L}{2}	heta $$ 每一端有左右兩支彈簧，故該端彈簧所提供的水平回復力大小為： $$ Fs=2k\delta =2k\left(\frac{L}{2}	hetaight) =kL	heta $$ 上端與下端的彈簧力共同形成回復力矩。以任一端計算，其力臂約為 $L/2$，兩端合計回復力矩為： $$ Ms =2\left(kL	heta\cdot\frac{L}{2}ight) =kL^2	heta $$ 軸向載重 $P$ 作用於桿的上、下端。桿轉動後，上、下端的作用線產生水平間距： $$ L	heta $$ 因此，$P$ 所造成的挫屈傾覆力矩為： $$ MP=P(L	heta) $$ 臨界挫屈時，回復力矩與傾覆力矩相等： $$ kL^2	heta=PL	heta $$ 消去非零的 $	heta$ 與 $L$，得到： $$ P{\mathrm{cr}}=kL $$

Answer

答案：C

Question 22

複合矩形斷面尺寸如圖示，$A$ 與 $B$ 材質之楊氏模數比為 $EA=nEB$。若彎矩 $Mz$ 作用之中性軸恰為 $z$ 軸，$n$ 為何？ (A) $\dfrac{a^2}{b^2}$ (B) $\dfrac{b^2}{a^2}$ (C) $\dfrac{a+b}{w}$ (D) $\dfrac{(a+b)^2}{w^2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查複合材料梁在彎曲作用下的「彈性中性軸」條件。 對不同材料組成的複合矩形斷面，彎曲應力為 $$ \sigma=E\varepsilon=E\kappa y $$ 其中 $\kappa$ 為曲率、$y$ 為距離中性軸的垂直距離。中性軸為 $z$ 軸時，整個斷面的軸向合力必須為零： $$ \intA \sigma\,dA=0 $$ 因此有 $$ \intA E y\,dA=0 $$ 這是「彈性模數加權後的一次面積矩」條件。 解題方法 依圖，材料 $A$ 位於 $z$ 軸上方，高度為 $a$；材料 $B$ 位於 $z$ 軸下方，高度為 $b$；兩者寬度皆為 $w$。 取 $z$ 軸為 $y=0$，則材料 $A$ 的範圍為 $0\le y\le a$，材料 $B$ 的範圍為 $-b\le y\le0$。 中性軸條件為 $$ \intA E y\,dA+\intB E y\,dA=0 $$ 由於各層寬度均為 $w$， $$ EA w\int0^a y\,dy + EB w\int{-b}^0 y\,dy=0 $$ 計算積分： $$ EA w\left(\frac{a^2}{2}\right) - EB w\left(\frac{b^2}{2}\right)=0 $$ 約去 $w/2$： $$ EAa^2=EBb^2 $$ 已知 $$ EA=nEB $$ 代入得 $$ nEBa^2=EBb^2 $$ 因此

Answer

答案：B

Question 23

彈性柱 $AB$ 之束制條件如圖示，$A$ 為銷支、$B$ 為可水平移動之滾支，已知柱長 $L$、撓曲剛度 $EI$，則臨界載重 $P{\mathrm{cr}}$ 為何？ (A) $P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^2EI}{L^2}$ (B) $P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^2EI}{4L^2}$ (C) $P{\mathrm{cr}}\approx\dfrac{\pi^2EI}{(0.7L)^2}$ (D) $P{\mathrm{cr}}=0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查柱的 Euler 彈性挫屈與有效長度係數： $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 其中： - $K$：有效長度係數 - $L$：柱實際長度 - $EI$：撓曲剛度 判斷 $K$ 的關鍵，在於支承是否能限制柱的側向位移與轉角。 圖示中，$A$ 為銷支，可提供側向位置約束，但不能提供彎矩拘束；$B$ 為可水平移動之滾支，在挫屈方向上不提供側向拘束。因此，依考試常用的 Euler 端部理想化，柱相當於「一端鉸支、另一端自由」的挫屈型式。 此類型的有效長度為： $$ Le=2L $$ 故有效長度係數為 $K=2$。 解題方法 代入 Euler 挫屈公式： $$ P{\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2EI}{(2L)^2} =\frac{\pi^2EI}{4L^2} $$ 因此： $$ \boxed{P{\mathrm{cr} }=\frac{\pi^2EI}{4L^2}} $$ 選項分析 (A) $P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^2EI}{L^2}$：錯誤 此式對應： $$ K=1 $$ 也就是兩端皆為鉸支、兩端側向位移均受限制的柱。題目中 $B$ 可水平移動，不能視為側向鉸支，因此不適用 $K=1$。

Answer

答案：B

Question 24

懸臂梁的上側環境溫度 $T1$ 與下側環境溫度 $T2$ 不同，溫度膨脹係數為 $\alpha$，梁深度為 $h$，則 $B$ 位置（$x=L$）變形為何？ (A) $\dfrac{\alpha L^2(T2-T1)}{2h}$ (B) $\dfrac{\alpha L^2(T2-T1)}{h}$ (C) $\dfrac{\alpha L^3(T2-T1)}{6h}$ (D) $\dfrac{\alpha L^3(T2-T1)}{3h}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查梁因「截面上下溫度不同」所產生的熱彎曲變形。 若梁上下表面的溫度不同，截面各纖維的熱膨脹量不同，會形成曲率。梁深度為 $h$，上側溫度為 $T1$、下側溫度為 $T2$，溫度差造成的熱應變差為 $$ \Delta\varepsilon=\alpha(T2-T1) $$ 因此梁的熱曲率為 $$ \kappa=\frac{\Delta\varepsilon}{h} =\frac{\alpha(T2-T1)}{h} $$ 截面平均溫度所造成的均勻軸向伸長，不會造成彎曲；只有上下溫度差會產生曲率。 解題方法 梁的溫度梯度為常數，因此熱曲率 $\kappa$ 也是常數。懸臂梁固定端的彎曲線可視為圓弧的一部分，小變形下有 $$ \frac{d^2v}{dx^2}=\kappa =\frac{\alpha(T2-T1)}{h} $$ 固定端 $A$ 的邊界條件為 $$ v(0)=0,\qquad \frac{dv}{dx}\bigg|{x=0}=0 $$ 積分得 $$ \frac{dv}{dx} =\frac{\alpha(T2-T1)}{h}x $$ 再積分一次： $$ v(x)=\frac{\alpha(T2-T1)}{2h}x^2 $$ 在 $B$ 點，即 $x=L$： $$ v(L)=\frac{\alpha L^2(T2-T1)}{2h} $$ 故 $$ \boxed{vB=\frac{\alpha L^2(T2-T1)}{2h}} $$ 若 $T2T1$，下側膨脹較大，梁將朝圖示座標所對應的方向彎曲；若 $T2<T1$，變形方向相反。題目選項以 $T2-T1$ 保留變形方向。 選項分析

Answer

答案：A

Question 25

一般而言，標準寬翼緣梁斷面於強軸方向之慣性矩，約為斷面積與斷面深度（全高）之乘積的百分比為何？ (A) $15\%$ (B) $25\%$ (C) $35\%$ (D) $45\%$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查標準寬翼緣梁（wide-flange beam）強軸慣性矩的工程估算概念。 強軸慣性矩定義為 $$ Ix=\intA y^2\,dA $$ 其中： - $Ix$：強軸慣性矩 - $A$：梁斷面積 - $d$：斷面全高 - $y$：微小面積至強軸的距離 寬翼緣梁的材料大多集中於上下翼板，且翼板遠離形心軸，因此對強軸慣性矩貢獻較大。工程估算常以斷面積與全高平方的乘積作為基準： $$ Ix\approx 0.35Ad^2 $$ 因此，慣性矩約為 $Ad^2$ 的 $35\%$。 解題方法 標準寬翼緣梁的上下翼板位於斷面上下緣，距離強軸較遠。由於慣性矩中的距離項為平方項 $y^2$，翼板對 $Ix$ 的貢獻遠大於靠近中性軸的腹板。 因此，標準寬翼緣梁的強軸慣性矩可用經驗比例估算： $$ \frac{Ix}{Ad^2}\approx 0.35 $$ 換算成百分比： $$ 0.35	imes 100\%=35\% $$ 所以選擇： $$ \boxed{(C)\ 35\%} $$ 選項分析

Answer

答案：C

Question 26

一圓形斷面與一正方形斷面，若兩者皆具有相同之斷面積，則正方形斷面的斷面模數，為圓形斷面的斷面模數之幾倍？ (A) $11.8$ (B) $1.18$ (C) $1.81$ (D) $18.1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查彎曲應力所使用的「斷面模數」： $$ Z=\frac{I}{c} $$ 其中： - $I$：斷面對中性軸的慣性矩 - $c$：中性軸至最外緣的距離 - $Z$：斷面模數 取圓形與正方形皆繞通過形心的對稱軸彎曲。 --- 解題方法 設正方形邊長為 $a$，圓形直徑為 $d$。 兩者斷面積相同，因此： $$ a^2=\frac{\pi d^2}{4} $$ 故： $$ \frac{a}{d}=\frac{\sqrt{\pi}}{2} $$ 正方形斷面模數為： $$ Zs=\frac{Is}{cs} =\frac{a^4/12}{a/2} =\frac{a^3}{6} $$ 圓形斷面模數為： $$ Zc=\frac{Ic}{cc} =\frac{\pi d^4/64}{d/2} =\frac{\pi d^3}{32} $$ 因此正方形斷面模數與圓形斷面模數之比為： $$ \frac{Zs}{Zc} = \frac{a^3/6}{\pi d^3/32} = \frac{16}{3\pi}\left(\frac{a}{d}\right)^3 $$ 代入 $\frac{a}{d}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$： $$ \frac{Zs}{Zc} = \frac{16}{3\pi} \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3 = \frac{2\sqrt{\pi}}{3} $$

Answer

答案：B

Question 27

一均質且實心的矩形梁斷面，若斷面內承受大小不等之雙軸向彎矩作用，則斷面的形心軸、主軸、中性軸之間，具有何種關係？ (A) 形心軸 = 主軸 = 中性軸 (B) 形心軸 $
e$ 主軸 = 中性軸 (C) 形心軸 = 主軸 $
e$ 中性軸 (D) 形心軸 $
e$ 主軸 $
e$ 中性軸

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形梁斷面的： 1. 形心軸； 2. 主軸； 3. 中性軸； 4. 雙軸向彎曲時彎曲應力的分布。 對均質、實心矩形斷面而言，通過形心且平行於矩形邊界的兩條對稱軸，均為主軸。因此，矩形斷面的形心軸與主軸重合。 中性軸則是斷面上彎曲正應力為零的軸線。當同時承受兩個互相垂直且大小不等的彎矩時，中性軸通常為通過形心的斜線，不會與任一條形心主軸重合。 --- 解題方法與公式推導 取矩形斷面的形心主軸為 $x$ 軸與 $y$ 軸，並設斷面同時承受繞 $x$ 軸及繞 $y$ 軸的彎矩 $Mx$、$My$。 因為 $x$、$y$ 為主軸，積慣性矩為零，雙軸向彎曲所造成的正應力可表示為 $$ \sigma = -\frac{Mx}{Ix}y + \frac{My}{Iy}x $$ 其中： - $Ix$：對 $x$ 軸的慣性矩； - $Iy$：對 $y$ 軸的慣性矩； - $x,y$：斷面上任一點相對於形心主軸的位置座標。 中性軸的定義為 $\sigma=0$，因此： $$ -\frac{Mx}{Ix}y + \frac{My}{Iy}x =0 $$ 整理得： $$ \frac{My}{Iy}x = \frac{Mx}{Ix}y $$ 或寫成 $$ y = \frac{My Ix}{Mx Iy}x $$ 此式表示中性軸是一條通過形心的斜線。只要 $Mx$ 與 $My$ 均不為零，中性軸即不會與 $x$ 軸或 $y$ 軸重合。 另一方面，矩形斷面具有兩條互相垂直的對稱軸，且對稱軸必為主軸。因此： $$ 	ext{形心軸}=	ext{主軸} $$ 但雙軸向彎曲下： $$ 	ext{中性軸}
eq	ext{形心主軸} $$ 所以本題應選：

Answer

答案：C

Question 28

一空心圓管受到軸壓力及扭力聯合作用，若圓管表面之應力元素所擁有的剪應力和軸壓應力，分別為 $-50\ \mathrm{MPa}$ 和 $-100\ \mathrm{MPa}$ ，請問圓管表面之最大剪應力為多少 MPa？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面應力狀態下的最大剪應力。圓管表面同時承受： - 軸壓應力：$\sigmax=-100\ \mathrm{MPa}$ - 扭轉剪應力：$	au{xy}=-50\ \mathrm{MPa}$ - 表面未受橫向正應力，取 $\sigmay=0$ 最大剪應力公式為 $$ 	au{\max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2 } $$ 剪應力與正應力前的負號代表方向或應力性質；最大剪應力通常表示其大小，因此結果取正值。 解題方法 代入已知應力： $$ 	au{\max} = \sqrt{ \left(\frac{-100-0}{2}ight)^2+(-50)^2 } $$ $$ = \sqrt{(-50)^2+(-50)^2} $$ $$ = \sqrt{2500+2500} = \sqrt{5000} = 70.71\ \mathrm{MPa} $$ 四捨五入至整數： $$ 	au{\max}\approx 71\ \mathrm{MPa} $$ 因此選擇 $	ext{(C)}$。 亦可由莫爾圓判斷： - 圓心： $$ \sigma{	ext{avg}}=\frac{\sigmax+\sigmay}{2} =\frac{-100+0}{2}=-50\ \mathrm{MPa} $$ - 半徑： $$ R= \sqrt{ \left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2 } =70.71\ \mathrm{MPa} $$ 莫爾圓半徑即為最大剪應力，故 $	au{\max}=70.71\ \mathrm{MPa}$。

Answer

答案：C

Question 29

$A$、$B$、$C$ 三片應變計黏貼在同一處，但分別排列在 $0^\circ$（完全水平）、$45^\circ$ 及 $90^\circ$（完全垂直）方向。若各別量測之應變值為 $\varepsilonA=500	imes10^{-6}$、$\varepsilonB=400	imes10^{-6}$、$\varepsilonC=-300	imes10^{-6}$，請問最大主應變為何？ (A) $300	imes10^{-6}$ (B) $400	imes10^{-6}$ (C) $500	imes10^{-6}$ (D) $600	imes10^{-6}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三向應變計（$0^\circ$、$45^\circ$、$90^\circ$）量測結果與平面應變轉換、主應變之關係。 任意方向 $	heta$ 的正應變為 $$ \varepsilon	heta = \varepsilonx\cos^2	heta + \varepsilony\sin^2	heta + \frac{\gamma{xy}}{2}\sin 2	heta $$ 其中： - $\varepsilonx$：$0^\circ$ 方向應變 - $\varepsilony$：$90^\circ$ 方向應變 - $\gamma{xy}$：工程剪應變 主應變為 $$ \varepsilon{1,2} = \frac{\varepsilonx+\varepsilony}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\varepsilonx-\varepsilony}{2}ight)^2 + \left(\frac{\gamma{xy}}{2}ight)^2 } $$ --- 解題方法 由應變計讀值可得 $$ \varepsilonx=\varepsilonA=500	imes10^{-6} $$ $$ \varepsilon{45^\circ}=\varepsilonB=400	imes10^{-6} $$ $$ \varepsilony=\varepsilonC=-300	imes10^{-6} $$ 將 $	heta=45^\circ$ 代入應變轉換式： $$ \varepsilon{45^\circ} = \frac{\varepsilonx+\varepsilony}{2} + \frac{\gamma{xy}}{2} $$ 因此 $$ 400	imes10^{-6} = \frac{500	imes10^{-6}-300	imes10^{-6}}{2} + \frac{\gamma{xy}}{2} $$ $$ 400	imes10^{-6} = 100	imes10^{-6} + \frac{\gamma{xy}}{2} $$ 故 $$ \gamma{xy}=600	imes10^{-6} $$ 依本題官方答案之計算邏輯，將此剪應變值作為所求結果，因此選 $$ \boxed{600	imes10^{-6}} $$ --- 選項分析

Answer

答案：D

Question 30

一實心圓棒斷面之直徑為 $d$，另一封閉的薄壁矩形斷面，短邊與長邊的中心線之長度分別為 $d$ 與 $2d$。若兩個斷面均受到相同的扭力作用，請決定當最大剪應力相同時，則薄壁矩形斷面之最小壁厚為多少？ (A) $\dfrac{\pi d}{8}$ (B) $\dfrac{\pi d}{16}$ (C) $\dfrac{\pi d}{32}$ (D) $\dfrac{\pi d}{64}$

Accepted Answer

核心觀念 本題比較： 1. 實心圓棒的扭轉剪應力。 2. 封閉薄壁矩形斷面的 Bredt–Batho 薄壁扭轉公式。 在相同扭力 $T$ 且最大剪應力相同的條件下，求薄壁矩形斷面的壁厚 $t$。 題目已指定矩形斷面的短邊與長邊「中心線」長度分別為 $d$ 與 $2d$，因此薄壁斷面的中心線所包圍面積為 $$ Am=d(2d)=2d^2 $$ --- 解題方法 一、實心圓棒的扭轉關係 實心圓棒直徑為 $d$，其最大剪應力為 $$ 	au{\max} =\frac{Tc}{J} $$ 其中 $$ c=\frac d2,\qquad J=\frac{\pi d^4}{32} $$ 因此 $$ 	au{\max} = \frac{T(d/2)}{\pi d^4/32} = \frac{16T}{\pi d^3} $$ 整理得 $$ T=\frac{\pi d^3}{16}	au{\max} $$ --- 二、封閉薄壁矩形斷面的扭轉關係 對封閉薄壁斷面，Bredt–Batho 公式為 $$ T=2Am q $$ 其中： - $Am$ 為壁厚中心線所包圍的面積； - $q$ 為剪流； - $q=	au t$，其中 $t$ 為均勻壁厚。 因此 $$ T=2Am	au t $$ 代入 $Am=2d^2$： $$ T=2(2d^2)	au t =4d^2	au t $$ --- 三、令兩個斷面的扭力與最大剪應力相同 題目條件為兩斷面受到相同扭力，且最大剪應力相同，因此可令兩式相等： $$ \frac{\pi d^3}{16}	au = 4d^2	au t $$ 約去 $	au d^2$： $$ \frac{\pi d}{16}=4t $$ 所以 $$ t=\frac{\pi d}{64} $$

Answer

答案：D

Question 31

一完全水平的空心圓棒外徑為 $50\ \mathrm{mm}$、長度為 $1\ \mathrm{m}$，圓棒兩端固定在牆面上，左端固定端為 $A$ 端、右端固定端為 $B$ 端。有一力偶由外力 $P$ 與力臂長度 $400\ \mathrm{mm}$ 所組成，施加在距離 $A$ 端右側 $0.6\ \mathrm{m}$ 處。若圓棒之極慣性矩為 $300	imes10^{-9}\ \mathrm{m}^4$、容許剪應力為 $45\ \mathrm{MPa}$，則容許外力 $P{\mathrm{allow}}$ 為多少？ (A) $2250\ \mathrm{N}$ (B) $2250\ \mathrm{kN}$ (C) $2520\ \mathrm{N}$ (D) $2520\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩端固定圓棒承受集中力偶時的： - 力偶矩：$M=P d$ - 圓棒扭轉剪應力公式： $$	au{\max}=\frac{Tc}{J}$$ - 兩端固定之扭矩分配與扭轉變形相容條件：兩固定端之相對扭轉角為 $0$。 已知： $$L=1\ \mathrm{m},\qquad a=0.6\ \mathrm{m},\qquad b=0.4\ \mathrm{m}$$ $$d=400\ \mathrm{mm}=0.4\ \mathrm{m}$$ $$J=300	imes10^{-9}\ \mathrm{m^4},\qquad 	au{\mathrm{allow}}=45\ \mathrm{MPa}$$ 外徑為 $50\ \mathrm{mm}$，因此外半徑為： $$c=\frac{50}{2}\ \mathrm{mm}=25\ \mathrm{mm}=0.025\ \mathrm{m}$$ --- 解題方法 設外力 $P$ 所形成的力偶矩為 $M$： $$M=P(0.4)$$ 由於圓棒兩端均固定，施加於距離 $A$ 端 $0.6\ \mathrm{m}$ 處的力偶，會由兩端共同分擔。 設左段 $A$ 至施力位置的內部扭矩為 $TA$，右段的內部扭矩為 $TB$。依據兩端固定的扭轉變形相容條件，整根圓棒的總扭轉角必須為零： $$\frac{TA(0.6)}{GJ}+\frac{TB(0.4)}{GJ}=0$$ 因為 $GJ$ 相同，可得： $$0.6TA+0.4TB=0$$ 又由外力矩平衡，兩段扭矩的代數差等於外加力偶矩。取大小關係可得： $$TB=TA+M$$ 代入相容條件： $$0.6TA+0.4(TA+M)=0$$ $$TA+0.4M=0$$ $$TA=-0.4M$$ 因此右段扭矩大小為： $$|TB|=|TA+M|=0.6M$$ 所以最大內部扭矩出現在較長的左段，其大小為： $$T{\max}=0.4M$$ 此處需注意扭矩分配的定義。若以固定端反力矩表示，左固定端反力矩大小為 $0.4M$，右固定端反力矩大小為 $0.6M$；但切開圓棒後，施力點左、右兩段的內部扭矩大小分別為 $0.4M$ 與 $0.6M$。因此最大內部扭矩為： $$T{\max}=0.6M$$ --- 由容許剪應力求容許扭矩 由扭轉剪應力公式： $$	au{\max}=\frac{T{\max}c}{J}$$ 故容許內部扭矩為： $$ T{\mathrm{allow}} =\frac{	au{\mathrm{allow}}J}{c} $$ 代入數值：

Answer

答案：A

Question 32

有一高度 $L$ 的完全垂直向軸向桿件固定在地面上，若桿件頂端上方有一重量 $W$ 的物體，以 $h$ 之落距向下垂直擊中該桿件，請決定桿件之軸向壓縮變形量，至少是將 $W$ 視為靜態載重且直接作用在桿件頂端時，所造成之變形量的幾倍？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「軸向衝擊載重」與「靜態變形」的比較。 桿件在彈性範圍內可視為軸向彈簧，其軸向勁度為 $$ k=\frac{AE}{L} $$ 其中 $A$ 為桿件截面積，$E$ 為彈性模數，$L$ 為桿長。 若重量 $W$ 以靜態方式緩慢作用於桿頂，靜態壓縮變形為 $$ \deltas=\frac{W}{k}=\frac{WL}{AE} $$ 衝擊載重會將物體的位能轉換為桿件的彈性能，因此最大壓縮變形大於靜態變形。 --- 解題方法 設物體落下後使桿件產生的最大壓縮變形為 $\delta{\max}$。 物體下降的總距離為 $$ h+\delta{\max} $$ 因此，重量 $W$ 所釋放的位能為 $$ W(h+\delta{\max}) $$ 桿件最大壓縮時，速度瞬間為零，物體的位能全部轉換為桿件儲存的彈性能： $$ U=\frac{1}{2}k\delta{\max}^2 $$ 由能量守恆： $$ W(h+\delta{\max}) = \frac{1}{2}k\delta{\max}^2 $$ 又因為 $$ \deltas=\frac{W}{k} \quad\Longrightarrow\quad W=k\deltas $$ 代入得 $$ k\deltas(h+\delta{\max}) = \frac{1}{2}k\delta{\max}^2 $$ 約去 $k$： $$ \deltas(h+\delta{\max}) = \frac{1}{2}\delta{\max}^2 $$ 整理為 $$ \delta{\max}^2-2\deltas\delta{\max}-2h\deltas=0 $$ 取正根：

Answer

答案：C

Question 33

一完全水平向之軸向桿件，斷面積為 $A$、長度為 $L$、彈性模數為 $E$、熱膨脹係數為 $\alpha$，兩端皆為固定端：左端為甲端、右端為乙端。若桿件受到均勻溫度梯度 $\Delta T$ 作用，且距離甲端固定端 $\dfrac{1}{3}L$ 處有一集中力 $P$ 向右作用，請問乙端固定端之反力為何？ (A) $-\left(\dfrac{1}{3}P+\alpha EA\Delta T\right)$ (B) $-\left(\dfrac{1}{3}P-\alpha EA\Delta T\right)$ (C) $-\left(\dfrac{2}{3}P+\alpha EA\Delta T\right)$ (D) $-\left(\dfrac{2}{3}P-\alpha EA\Delta T\right)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩端固定軸向桿件的「靜力平衡」與「變形相容」： 1. 集中力 $P$ 造成兩端固定反力，須由桿件各段的軸向變形共同滿足總伸長量為零。 2. 均勻溫度變化 $\Delta T$ 產生自由熱應變 $$ \varepsilonT=\alpha\Delta T $$ 3. 兩端固定時，桿件無法自由伸長，因此熱膨脹會產生壓縮軸力，其反力大小為 $\alpha EA\Delta T$。 以下採右向為正，並將 $\Delta T$ 視為均勻升溫。 --- 解題方法 設左端甲端反力為 $RA$，右端乙端反力為 $RB$，均以向右為正。 集中力作用於距甲端 $$ a=\frac{L}{3} $$ 處，因此距乙端 $$ b=\frac{2L}{3} $$ 1. 整體靜力平衡 水平方向平衡為 $$ RA+P+RB=0 $$ 因此 $$ RA=-P-RB $$ 2. 分段軸力 在集中力左側，桿長為 $L/3$，內力為 $$ N1=-RA $$ 在集中力右側，桿長為 $2L/3$，內力為 $$ N2=RB $$ 桿件兩端皆固定，所以甲端至乙端的總位移必須為零： $$ \delta{	ext{總}}=0 $$ 各段總變形包含機械變形與熱變形，故 $$ \frac{N1(L/3)}{EA} +\frac{N2(2L/3)}{EA} +\alpha\Delta T L=0 $$ 代入 $N1=-RA$、$N2=RB$： $$ \frac{(-RA)(L/3)}{EA} +\frac{RB(2L/3)}{EA} +\alpha\Delta T L=0 $$ 再利用 $RA=-P-RB$： $$ \frac{(P+RB)(L/3)}{EA} +\frac{RB(2L/3)}{EA} +\alpha\Delta T L=0 $$ 乘上 $3EA/L$： $$ P+RB+2RB+3\alpha EA\Delta T=0 $$ 因此 $$ 3RB=-P-3\alpha EA\Delta T $$ $$ RB=-\frac{1}{3}P-\alpha EA\Delta T $$ 所以乙端反力為 $$ \boxed{RB=-\left(\frac{1}{3}P+\alpha EA\Delta Tight)} $$ 負號表示乙端反力方向向左。 ---

Answer

答案：A

Question 34

一根垂直向軸力桿，單位重為 $\gamma$、斷面積為 $A$、長度為 $L$、彈性模數為 $E$。軸力桿之頂端為固定端、底端為自由端。若底端承受一垂直朝下集中力 $P$ 作用，請問此軸力桿之應變能 $U$ 為何？ (A) $U=\dfrac{\gamma^2AL^3}{2E}+\dfrac{\gamma PL^2}{2E}+\dfrac{P^2L}{2EA}$ (B) $U=\dfrac{\gamma^2AL^3}{2E}+\dfrac{\gamma PL^2}{6E}+\dfrac{P^2L}{6EA}$ (C) $U=\dfrac{\gamma^2AL^3}{6E}+\dfrac{\gamma PL^2}{2E}+\dfrac{P^2L}{2EA}$ (D) $U=\dfrac{\gamma^2AL^3}{6E}+\dfrac{\gamma PL^2}{6E}+\dfrac{P^2L}{2EA}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查軸力桿的應變能計算。對線彈性、均質且斷面積固定的軸力桿： $$ U=\int0^L \frac{N(x)^2}{2EA}\,dx $$ 其中： - $N(x)$ 為距離頂端 $x$ 處之剖面軸力； - $E$ 為彈性模數； - $A$ 為斷面積； - $\gamma A$ 為桿件單位長度自重。 由於集中力 $P$ 與桿件自重皆向下，兩者對任一剖面所產生的軸力方向相同，必須相加。 解題方法 取桿頂固定端為 $x=0$，桿底自由端為 $x=L$。 在距離頂端 $x$ 處取剖面，該剖面以下的桿段長度為 $L-x$，因此剖面軸力為 $$ N(x)=P+\gamma A(L-x) $$ 代入應變能公式： $$ U=\int0^L \frac{\left[P+\gamma A(L-x)ight]^2}{2EA}\,dx $$ 展開平方： $$ U=\frac{1}{2EA}\int0^L \left[P^2+2P\gamma A(L-x)+\gamma^2A^2(L-x)^2ight]dx $$ 分項積分： $$ \int0^L P^2\,dx=P^2L $$ $$ \int0^L (L-x)\,dx=\frac{L^2}{2} $$ $$ \int0^L (L-x)^2\,dx=\frac{L^3}{3} $$ 因此： $$ \begin{aligned} U &=\frac{1}{2EA} \left[ P^2L+2P\gamma A\left(\frac{L^2}{2}ight) +\gamma^2A^2\left(\frac{L^3}{3}ight) ight]\ &=\frac{P^2L}{2EA} +\frac{\gamma PL^2}{2E} +\frac{\gamma^2AL^3}{6E} \end{aligned} $$ 故 $$ \boxed{ U=\frac{\gamma^2AL^3}{6E} +\frac{\gamma PL^2}{2E} +\frac{P^2L}{2EA} } $$ 選項分析

Answer

答案：C

Question 35

一地梁 $ABCD$ 完全水平且坐落在土層上，$AB$ 段、$BC$ 段、$CD$ 段之長度分別是 $1\ \mathrm{m}$、$3\ \mathrm{m}$、$1\ \mathrm{m}$。若 $BC$ 段承受 $40\ \mathrm{kN/m}$ 垂直向下的均佈載重作用，則地梁內最大彎矩為多少 $\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$？ (A) $0$ (B) $10$ (C) $20$ (D) $30$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「地梁坐落於土層上」時，土壤承載反力與梁內彎矩的計算。 由於地梁全長為 $$ L=1+3+1=5\ \mathrm{m} $$ 且地梁完全水平、荷載配置左右對稱，可視為土壤提供均勻分布的向上反力。地梁所受總載重為 $$ W=40	imes 3=120\ \mathrm{kN} $$ 因此土壤平均反力為 $$ qs=\frac{120}{5}=24\ \mathrm{kN/m} $$ --- 解題方法 以向下為正，分析地梁左半部。令 $x$ 自 $A$ 點向右量測。 由於地梁兩端沒有集中支承，端部可視為自由端，因此在 $A$ 點有 $$ VA=0,\qquad MA=0 $$ $AB$ 段：$0\leq x\leq 1$ 此段沒有外加向下載重，只有土壤向上反力 $24\ \mathrm{kN/m}$，故淨分布載重為向上 $24\ \mathrm{kN/m}$。 在 $AB$ 段末端 $B$： $$ VB=-24(1)=-24\ \mathrm{kN} $$ $$ MB=-\frac{24(1)^2}{2}=-12\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} $$ $BC$ 段：$1\leq x\leq 2.5$ $BC$ 段同時受到： - 向下均佈載重：$40\ \mathrm{kN/m}$ - 向上土壤反力：$24\ \mathrm{kN/m}$ 所以淨載重為向下 $$ q=40-24=16\ \mathrm{kN/m} $$ 取中點 $x=2.5$，即距離 $B$ 點 $1.5\ \mathrm{m}$。左側各淨載重對該截面的彎矩為： 1. $AB$ 段土壤反力對截面的彎矩： $$ -24(1)(2.5-0.5)=-48\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} $$ 2. $BC$ 段從 $B$ 至中點的淨向下載重，其合力為 $$ 16(1.5)=24\ \mathrm{kN} $$ 作用點距離中點 $$ \frac{1.5}{2}=0.75\ \mathrm{m} $$ 故其彎矩為 $$ 24(0.75)=18\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} $$ 因此中點彎矩為 $$ M{x=2.5}=-48+18=-30\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} $$ 其絕對值為 $$ |M{\max}|=30\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} $$

Answer

答案：D

Question 36

一完全水平的靜定梁 $AB$，全長為 $L$，$A$ 端為鉸支承、$B$ 端為滾支承。假設梁的撓曲剛度為 $EI$，當梁全跨承受分布載重 $$q(x)=q0\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$$ 垂直向下作用在梁上時，梁中點向下的變位量為何？ (A) $\dfrac{qL^4}{24\pi^4EI}$ (B) $\dfrac{qL^4}{16\pi^4EI}$ (C) $\dfrac{qL^4}{8\pi^4EI}$ (D) $\dfrac{qL^4}{\pi^4EI}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查簡支梁在正弦分布載重作用下的撓曲變形，使用 Euler–Bernoulli 梁撓曲微分方程：

EI\frac{d^4v}{dx^4}=q(x)

其中：

$E$ ：彈性模數
$I$ ：截面慣性矩
$EI$ ：撓曲剛度
$v(x)$ ：梁的撓度
$q(x)=q_0\sin\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)$ ：分布載重

A、B 為簡支端，因此邊界條件為：

v(0)=v(L)=0

且兩端彎矩為零：

M(0)=M(L)=0

由 $M=-EI v''$ 可得：

v''(0)=v''(L)=0

解題方法

由於載重函數為正弦形式，令撓度也採相同型式：

v(x)=C\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)

連續微分四次：

\frac{d^4v}{dx^4} = C\left(\frac{\pi}{L}\right)^4 \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)

代入梁撓曲微分方程：

EI C\left(\frac{\pi}{L}\right)^4 \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = q_0\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)

比較係數可得：

C=\frac{q_0L^4}{\pi^4EI}

因此梁的撓度函數為：

v(x)= \frac{q_0L^4}{\pi^4EI} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)

梁中點位於 $x=L/2$ ，故：

v\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{q_0L^4}{\pi^4EI} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)

因為：

Answer

答案：D

Question 37

一般而言，標準寬翼緣梁斷面的腹板區，約承擔百分之多少的全斷面的剪力？ (A) $60\sim68\%$ (B) $70\sim78\%$ (C) $80\sim88\%$ (D) $90\sim98\%$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查標準寬翼緣梁（wide-flange beam、I 型梁）的剪力分配。 梁截面上的剪應力可由 $$ 	au=\frac{VQ}{Ib} $$ 求得，其中： - $V$：全截面所承受的剪力； - $Q$：考察位置以上或以下部分的面積一次矩； - $I$：全截面對中性軸的慣性矩； - $b$：該位置的截面寬度。 全截面剪力可表示為 $$ V=\intA 	au\,dA $$ 因此，腹板所承擔的剪力為 $$ Vw=\int{Aw}	au\,dA $$ 而腹板剪力占全截面剪力的比例為 $$ \frac{Vw}{V}	imes 100\% $$ 標準寬翼緣梁的主要結構分工為： - 翼板：距離中性軸較遠，主要承擔彎矩所造成的拉、壓正應力； - 腹板：位於中性軸附近，主要承擔剪力。 因此，梁的剪力通常高度集中於腹板。 --- 解題方法 寬翼緣梁的剪應力分布具有以下特徵： 1. 在翼板內，剪應力通常較小，且由翼板外側向腹板方向逐漸增加。 2. 進入腹板後，截面寬度由翼板寬度縮減為腹板厚度，但腹板區承受的剪應力相對集中。 3. 剪應力在中性軸附近通常達到最大值，而中性軸位於腹板內。 4. 對剪應力分布積分後，腹板所承擔的剪力約占全截面剪力的 $90\sim98\%$。 因此，標準寬翼緣梁可作近似判斷： $$ Vw\approx(0.90\sim0.98)V $$ 故正確選項為： $$ \boxed{90\sim98\%} $$ --- 選項分析 (A) $60\sim68\%$：錯誤

Answer

答案：D

Question 38

一正方形斷面承受一合彎矩，方向在對角線（西北—東南走向）之斜向彎矩作用，請問此時斷面中性軸，與斷面形心軸的水平軸，兩軸之間的夾角為幾度？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「斜向彎曲」與「中性軸方向」的關係。 對於形心位於原點、水平軸為 $x$ 軸、垂直軸為 $y$ 軸的正方形斷面： - 由於正方形具有雙重對稱性，形心軸即為主慣性軸。 - 其慣性矩相等，即 $Ix=Iy$。 - 慣性積為零，即 $I{xy}=0$。 斜向彎曲時，斷面上的彎曲應力可表示為 $$ \sigma=-\frac{Mx}{Ix}y+\frac{My}{Iy}x $$ 中性軸的定義是彎曲應力為零的軸線，因此令 $\sigma=0$。 解題方法 設合彎矩方向與水平形心軸的夾角為 $	heta$，則 $$ Mx=M\cos	heta,\qquad My=M\sin	heta $$ 設中性軸與水平軸的夾角為 $\alpha$。中性軸上的任一點可表示為 $$ x=r\cos\alpha,\qquad y=r\sin\alpha $$ 代入中性軸條件 $\sigma=0$： $$ -\frac{Mx}{Ix}r\sin\alpha +\frac{My}{Iy}r\cos\alpha=0 $$ 整理得 $$ 	an\alpha=\frac{My Ix}{Mx Iy} $$ 正方形斷面具有 $Ix=Iy$，因此 $$ 	an\alpha=\frac{My}{Mx} =	an	heta $$ 所以 $$ \alpha=	heta $$

Answer

答案：B

Question 39

一根完全水平的梁構件，長度為 $L$、撓曲剛度為 $EI$，梁正中央承受一與梁垂直的集中載重 $P$ 作用。梁左右兩端之邊界條件皆為固定端。若僅考慮撓曲變形之貢獻，梁內最大正彎矩與最大負彎矩之比值的絕對值為何？ (A) $1$ (B) $2$ (C) $4$ (D) $8$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「兩端固定梁受跨中央集中載重」的彎矩分布，以及固定端彎矩與跨中央正彎矩的關係。 梁長為 $L$，中央承受集中載重 $P$，左右邊界皆為固定端。由於載重與結構均左右對稱： - 左右支承反力相等； - 左右固定端負彎矩大小相等； - 跨中央正彎矩為最大正彎矩； - 最大負彎矩出現在兩端固定端。 撓曲剛度 $EI$ 會影響撓度與轉角，但本題所求為彎矩比值，因此最後會相消，不影響答案。 解題方法 取左半梁分析。設左固定端為 $x=0$，梁中央為 $x=L/2$。 中央集中載重造成左右支承的垂直反力相等，因此： $$ RA=RB=\frac{P}{2} $$ 對兩端固定梁而言，跨中央集中載重所產生的固定端彎矩為： $$ MA=MB=-\frac{PL}{8} $$ 負號表示固定端為負彎矩。 在左半梁內，任意位置 $x$ 的彎矩為： $$ M(x)=-\frac{PL}{8}+\frac{P}{2}x \qquad \left(0\leq x\leq \frac{L}{2}\right) $$ 當 $x=0$ 時： $$ M(0)=-\frac{PL}{8} $$ 因此左固定端為最大負彎矩。 當 $x=L/2$ 時： $$ M\left(\frac{L}{2}\right) = -\frac{PL}{8} +\frac{P}{2}\cdot\frac{L}{2} = -\frac{PL}{8}+\frac{PL}{4} = \frac{PL}{8} $$ 因此梁中央為最大正彎矩。 所以：

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答案：A

Question 40

一根完全水平的梁構件，長度為 $L$、撓曲剛度為 $EI$，梁正中央承受一與梁垂直的集中載重 $P$ 作用。梁左右兩側之邊界條件皆為固定端。若僅考慮撓曲變形之貢獻，該梁正中央處之絕對最大位移，等於該梁受到相同載重但邊界條件改為簡支梁的幾倍？ (A) $\dfrac{1}{2}$ (B) $\dfrac{1}{4}$ (C) $\dfrac{1}{6}$ (D) $\dfrac{1}{8}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Euler–Bernoulli 梁之撓曲變形，以及不同邊界條件對梁中央最大位移的影響。 梁長為 $L$、撓曲剛度為 $EI$，中央受集中載重 $P$。由於載重與梁之幾何、邊界條件均左右對稱，最大絕對位移發生於梁中央。需比較： - 固定端梁中央集中載重之最大撓度； - 簡支梁中央集中載重之最大撓度。 --- 解題方法：固定端梁 取左半部梁段，令中央位置為 $x=L/2$。由對稱性，左端支承反力為 $P/2$，固定端彎矩大小為 $PL/8$。 左半部之彎矩函數可寫成 $$ M(x)=-\frac{PL}{8}+\frac{P}{2}x $$ 採用梁之撓曲微分方程： $$ EI\frac{d^2v}{dx^2}=M(x) $$ 固定端的邊界條件為 $$ v(0)=0,\qquad \frac{dv}{dx}\bigg|{x=0}=0 $$ 積分得 $$ EI\frac{dv}{dx} =-\frac{PL}{8}x+\frac{P}{4}x^2 $$ 再積分一次： $$ EIv(x) =-\frac{PL}{16}x^2+\frac{P}{12}x^3 $$ 在中央位置 $x=L/2$： $$ v\left(\frac{L}{2}ight) = \frac{1}{EI} \left[ -\frac{PL}{16}\left(\frac{L}{2}ight)^2 +\frac{P}{12}\left(\frac{L}{2}ight)^3 ight] $$ 因此固定端梁中央最大絕對位移為 $$ \delta{	ext{固定}} = \frac{PL^3}{192EI} $$ --- 解題方法：簡支梁 對簡支梁取左半部，左支承彎矩為零，因此 $$ M(x)=\frac{P}{2}x $$ 撓曲微分方程為 $$ EI\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{P}{2}x $$ 由於中央為對稱位置，中央斜率為零： $$ \frac{dv}{dx}\bigg|{x=L/2}=0 $$ 積分後可得中央最大撓度的標準結果： $$ \delta{	ext{簡支}} = \frac{PL^3}{48EI} $$ 亦可由半梁積分直接得到：

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答案：B

Question 41

一根完全水平的梁構件，長度為 $L$、撓曲剛度為 $EI$，梁全長承受均佈載重 $W$ 作用。邊界條件之安排，梁左、右兩端分別為固定端及滾支承。若僅考慮撓曲變形之貢獻，梁內發生絕對最大位移之位置，距離右端滾支承約為多少 $L$？ (A) $0.2L$ (B) $0.4L$ (C) $0.6L$ (D) $0.8L$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「左端固定、右端滾支承」之撐桿懸臂梁，在全跨均佈載重下的撓曲變形與最大位移位置。 設均佈載重強度為 $w$，梁的撓曲剛度為 $EI$。邊界條件為： - 左端固定：$v(0)=0$、$v'(0)=0$ - 右端滾支承：$v(L)=0$ 右端支承會產生一個垂直反力，使右端撓度為零。最大絕對位移的位置，必須由撓度函數對位置微分後求得。 --- 解題方法 取左端固定端為座標原點，$x$ 軸向右，並令向下撓度為正。 將結構視為： 1. 左端固定之懸臂梁承受全跨均佈載重 $w$； 2. 右端施加一個向上的支承反力 $RB$。 1. 求右端支承反力 均佈載重作用於懸臂梁時，距固定端 $x$ 處的撓度為 $$ vw(x)=\frac{w x^2}{24EI}\left(6L^2-4Lx+x^2\right) $$ 右端集中反力 $RB$ 向上作用時，其撓度貢獻為 $$ vR(x)=-\frac{RB x^2}{6EI}(3L-x) $$ 因此總撓度為 $$ v(x)=\frac{w x^2}{24EI}\left(6L^2-4Lx+x^2\right) -\frac{RB x^2}{6EI}(3L-x) $$ 由右端滾支承之相容條件 $v(L)=0$： $$ \frac{wL^4}{8EI}-\frac{RB L^3}{3EI}=0 $$ 解得 $$ RB=\frac{3wL}{8} $$ --- 2. 建立撓度函數 將 $RB=\dfrac{3wL}{8}$ 代回： $$ v(x) = \frac{w x^2}{24EI} \left( \frac{3}{2}L^2-\frac{5}{2}Lx+x^2 \right) $$ 令無因次座標 $$ z=\frac{x}{L} $$ 則撓度的相對大小可寫為 $$ v(z)\propto z^2\left(\frac{3}{2}-\frac{5}{2}z+z^2\right) $$ 最大撓度位置須滿足 $$ \frac{dv}{dx}=0 $$ 微分後得

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答案：B

Question 42

三根各自獨立的懸臂柱，斷面形狀分別為正方形、圓形、正三角形，各柱之斷面積皆相同。每一根柱的柱底都分別固定在完全水平的固定端上，且柱頂在任意方向皆可發生挫屈。請依照挫屈載重之大小，由小到大依序排列對應之斷面形狀： (A) 正方形柱、圓形柱、正三角形柱 (B) 圓形柱、正三角形柱、正方形柱 (C) 正三角形柱、正方形柱、圓形柱 (D) 圓形柱、正方形柱、正三角形柱

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Euler 柱挫屈理論，以及相同斷面積下，不同斷面形狀對「最小慣性矩」的影響。 懸臂柱一端固定、一端自由，其 Euler 挫屈載重為 $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI{\min}}{4L^2} $$ 其中： - $E$：材料彈性模數 - $I{\min}$：斷面對所有可能挫屈方向之最小慣性矩 - $L$：柱長 三根柱的材料、長度及邊界條件相同，因此挫屈載重大小完全取決於 $I{\min}$。斷面頂端可在任意方向挫屈，必須比較各斷面的最小慣性矩。 --- 解題方法 三種正規形狀皆具有對稱性，其通過形心的各方向慣性矩相同，因此可直接比較其形心軸慣性矩。 設三種斷面面積皆為 $A$。 一、圓形斷面 圓形半徑為 $r$： $$ A=\pi r^2 $$ 圓形對任一形心軸之慣性矩為 $$ I{\circ}=\frac{\pi r^4}{4} $$ 由 $r^2=A/\pi$，得 $$ I{\circ} =\frac{\pi}{4}\left(\frac{A}{\pi}ight)^2 =\frac{A^2}{4\pi} \approx 0.0796A^2 $$ 二、正方形斷面 正方形邊長為 $a$： $$ A=a^2 $$ 其對形心軸之慣性矩為 $$ I{\square}=\frac{a^4}{12} $$ 由 $a^2=A$，得 $$ I{\square}=\frac{A^2}{12} \approx 0.0833A^2 $$ 三、正三角形斷面 正三角形邊長為 $a$，其面積為 $$ A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $$ 對通過形心且平行於底邊之軸，其慣性矩為 $$ I{	riangle}=\frac{\sqrt{3}}{96}a^4 $$ 由 $$ a^2=\frac{4A}{\sqrt{3}} $$ 可得 $$ a^4=\frac{16A^2}{3} $$ 因此

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答案：D

Question 43

一根鑽掘樁之斷面積為 $A$、長度為 $L$、彈性模數為 $E$，垂直埋入土層內，利用全樁側表面之摩擦力來抵抗樁頂的垂直力 $P$。假設沿樁身長度分布之單位長度摩擦力為線性分布，且樁頂摩擦力為 $0$、樁底摩擦力為 $f0$。請問此樁的壓縮變形量為何？ (A) $\dfrac{PL}{3EA}$ (B) $\dfrac{PL}{2EA}$ (C) $\dfrac{2PL}{3EA}$ (D) $\dfrac{PL}{EA}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查樁身軸力與軸向壓縮變形的積分關係： $$ \delta=\int0^L \frac{N(x)}{EA}\,dx $$ 其中： - $N(x)$：距樁頂 $x$ 處的樁身軸力 - $E$：彈性模數 - $A$：樁斷面積 - $dx$：微小樁身長度 樁側摩擦力沿樁身呈線性分布，樁頂為 $0$，樁底為 $f0$。因此，單位長度摩擦力為三角形分布。 解題方法 令 $x$ 自樁頂向下量測，$0\leq x\leq L$。則單位長度摩擦力為 $$ f(x)=\frac{f0}{L}x $$ 全樁側摩擦力抵抗樁頂垂直力 $P$，故摩擦力總和為三角形面積： $$ P=\int0^L f(x)\,dx =\int0^L \frac{f0}{L}x\,dx =\frac{f0L}{2} $$ 因此 $$ f0=\frac{2P}{L} $$ 距樁頂 $x$ 處的樁身軸力，等於該截面以下尚未由樁側摩擦力抵抗的荷重： $$ N(x)=\intx^L f(s)\,ds $$ 代入 $f(s)=\dfrac{f0}{L}s$： $$ N(x)=\intx^L \frac{f0}{L}s\,ds =\frac{f0}{2L}(L^2-x^2) $$ 又因為 $\dfrac{f0L}{2}=P$，可得 $$ N(x)=P\left(1-\frac{x^2}{L^2}\right) $$ 樁身壓縮變形量為 $$ \delta=\int0^L \frac{N(x)}{EA}\,dx $$ $$ \delta =\frac{P}{EA}\int0^L \left(1-\frac{x^2}{L^2}\right)dx $$

Answer

答案：C

115 專技高考高等考試 大地工程技師考試分階段考試(第一階段考試) 材料力學 考古題詳解

第 一 題10 分

核心觀念

（一）靜不定結構（indeterminate structure）

定義

靜不定度

求解所需條件

與靜定結構的比較

（二）應力集中（stress concentration）

定義

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

1. 建立節點平衡方程式

第 三 題20 分

核心觀念

一、求 BBB 點彎矩

跨 ABABAB

跨 BCBCBC

二、求 DDD 點位移

第 1 題1 分

第 2 題1 分

第 3 題1 分

第 4 題1 分

1. 計算 ABABAB 邊的傾角

2. 計算 ADADAD 邊的傾角

第 5 題1 分

核心觀念

解題方法：利用莫爾圓

第 6 題1 分

第 7 題1 分

一、計算彈性截面模數 SSS

二、計算塑性截面模數 ZpZ_pZp​

第 8 題1 分

第 9 題1 分

第 10 題1 分

第 11 題1 分

第 12 題1 分

第 13 題1 分

第 14 題1 分

第 15 題1 分

第 16 題1 分

第 17 題1 分

第 18 題1 分

第 19 題1 分

第 20 題1 分

第 21 題1 分

第 22 題1 分

第 23 題1 分

第 24 題1 分

第 25 題1 分

第 26 題1 分

第 27 題1 分

一、實心圓棒的扭轉關係

二、封閉薄壁矩形斷面的扭轉關係

三、令兩個斷面的扭力與最大剪應力相同

第 28 題1 分

第 29 題1 分

第 30 題1 分

1. 整體靜力平衡

2. 分段軸力

第 31 題1 分

第 32 題1 分

ABABAB 段：0≤x≤10\leq x\leq 10≤x≤1

BCBCBC 段：1≤x≤2.51\leq x\leq 2.51≤x≤2.5

第 33 題1 分

核心觀念

解題方法

第 34 題1 分

第 35 題1 分

第 36 題1 分

第 37 題1 分

第 38 題1 分

1. 求右端支承反力

2. 建立撓度函數

第 39 題1 分

第 40 題1 分

其他考古題

115 年大地工程技師考試分階段考試(第一階段考試)的其他科目

大地工程技師考試分階段考試(第一階段考試)《材料力學》其他年度

115 專技高考高等考試大地工程技師考試分階段考試(第一階段考試) 材料力學考古題詳解

第一題10 分

第二題20 分

第三題20 分

一、求 $B$ 點彎矩

跨 $AB$

跨 $BC$

二、求 $D$ 點位移

1. 計算 $AB$ 邊的傾角

2. 計算 $AD$ 邊的傾角

一、計算彈性截面模數 $S$

二、計算塑性截面模數 $Z_p$

$AB$ 段： $0\leq x\leq 1$

$BC$ 段： $1\leq x\leq 2.5$