108 公路人員升資考試佐級晉員級 技術類(選試結構學概要)-公路總局 結構學概要 考古題詳解

核心觀念

剪力圖的斜率表示分布荷載的大小與方向；剪力圖的跳躍表示集中力；彎矩則由剪力沿梁長積分：

$\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V$

其中向下分布荷載取正值 $w$。集中力會使剪力跳躍，但彎矩仍連續。$B、D$ 為內鉸，故 $M_B=M_D=0$。

解題方法

令 $x$ 自 $A$ 點起算。由圖上尺寸：

$A=0,\quad B=9,\quad C=15,\quad D=19,\quad E=21,\quad F=27,\quad G=33\ {\rm m}$

逐段讀取剪力圖：

• $A$ 至 $B$：剪力由 $92$ 線性降至 $20\ {\rm kN}$，因此有向下均布荷載 $w=\frac{92-20}{9}=8\ {\rm kN/m}.$
• $B$ 至 $C$：剪力維持 $+20\ {\rm kN}$，無分布荷載。
• $C$ 點剪力由 $+20$ 跳至 $-30\ {\rm kN}$，故有向下集中力 $P_C=20-(-30)=50\ {\rm kN}.$
• $C$ 至 $D$：剪力維持 $-30\ {\rm kN}$，無分布荷載。
• $D$ 至 $E$：剪力由 $-30$ 線性降至 $-54\ {\rm kN}$，因此有向下均布荷載 $w=\frac{-30-(-54)}{2}=12\ {\rm kN/m}.$
• $E$ 點剪力由 $-54$ 跳至 $+57\ {\rm kN}$，故 $E$ 點支承反力為向上 $111\ {\rm kN}$。
• $F$ 點剪力由 $+57$ 跳至 $-43\ {\rm kN}$，故有向下集中力 $P_F=57-(-43)=100\ {\rm kN}.$
• $G$ 點剪力由 $-43$ 回到零，故 $G$ 點支承反力為向上 $43\ {\rm kN}$。$A$ 點垂直反力為向上 $92\ {\rm kN}$。

荷載圖

 向下 w = 8 kN/m 向下 w = 12 kN/m
 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
 A────────────B────────C────────D────────E────────F────────G
 ↑92 kN 鉸 ↓50 kN 鉸 ↑111 kN ↓100 kN ↑43 kN
 固定端 滾支承 滾支承

$A$ 點固定端反力矩為 $504\ {\rm kN\cdot m}$，方向為逆時針。可由全梁垂直力平衡驗算：

$92+111+43=8(9)+50+12(2)+100=246\ {\rm kN}.$

彎矩圖與關鍵計算

從 $B$ 點內鉸的 $M_B=0$ 出發，使用剪力圖下面積計算彎矩變化：

• $A$ 至 $B$ 的剪力面積為梯形： $\Delta M_{AB}=\frac{92+20}{2}(9)=504\ {\rm kN\cdot m}.$

核心觀念

本題以單位荷重法求 $C$ 點垂直變位。題目只給各桿件的 $EI$，依結構學常用假設，只計算彎曲變形，忽略軸向與剪力變形：

其中 $M$ 是實際荷重造成的彎矩，$m$ 是在 $C$ 點施加單位荷重造成的彎矩。取向下為正；依圖示，$A$ 點力矩為逆時針 $10\text{ kN}\cdot\text{m}$，$E$ 點力矩為順時針 $10\text{ kN}\cdot\text{m}$。

圖中幾何尺寸為 $AB=DE=5\text{ m}$、$BC=CD=2\text{ m}$，斜桿的水平與垂直投影分別為 $3\text{ m}$、$4\text{ m}$。$C$ 點為鉸接，彎矩為零。

解題方法

先求實際荷重下的支承反力。令 $A$ 點反力為 $(A_x,A_y)$、$E$ 點反力為 $(E_x,E_y)$。分別對左右兩半結構取平衡，可得：

因此：

由反力求各桿端彎矩，彎矩圖的端點值如下：

再於 $C$ 點施加向下單位力。依相同的平衡方程，單位荷重造成的支承反力為：

核心觀念

本題以桁架各桿的熱伸長作為已知變形，再利用各桿的幾何相容條件求節點位移。桿件的熱伸長為

$\Delta L_T=\alpha\Delta T\,L.$

溫度改變只會造成 $AD$、$DE$ 兩桿伸長，其餘桿件長度不變。由圖判讀，$E$ 點為固定於牆面的鉸支承，$B$ 點由垂直彈簧支承。

解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，令 $E$ 點位移為零。兩根受熱桿的伸長量為

其餘桿件的軸向變形皆為零。依序用未受熱桿件的變形相容條件求位移：

1. $DE$ 水平，且 $E$ 點固定，因此 $u_D=-1.08\text{ mm}.$

2. $EC$ 垂直且未伸長，故 $v_C=0$；$DC$ 未伸長，方向比例為 $(3/5,-4/5)$，因此 $\frac35(u_C-u_D)-\frac45(v_C-v_D)=0.$

核心觀念

本題考連續梁影響線與移動載重效應。圖（四）的座標取 $A=0$，各點位置為

$C$ 為內鉸，鉸處彎矩為零。將 $C$ 左右梁段分開，以單位荷重沿梁移動，利用整體平衡及 $C$ 點彎矩為零，求支承反力，再求各指定斷面的內力影響線。

以下採用「左側自由體的垂直力合力為剪力正值、下凹彎矩為正值」的符號約定。剪力影響線在荷重越過斷面時會跳躍；$V_E$ 因此列出 $E^-$、$E^+$ 兩側值。

解題方法

設單位向下荷重位於 $x$。由 $C$ 點內鉸彎矩為零，可得

再以全梁垂直力平衡與對 $A$ 點取矩：

因此

各影響線依此求得。

1. $D$ 點垂直反力 $R_D$

主要縱距為

各點間以直線連接。

2. $C$ 點鉸接右側斷面剪力 $(V_C)_R$

對 $C$ 右側梁段取自由體。單位荷重在 $AC$ 上時，鉸處傳給右側梁段的作用力向下，大小為 $x/6$；荷重在 $CG$ 上時，$C$ 右側斷面左方沒有外力。因此

在 $C$ 處有剪力跳躍：$C^-$ 為 $-1$，$C^+$ 為 $0$。

3. $B$ 點彎矩 $M_B$

以 $B$ 左側自由體取矩，可得

主要縱距為 $A=0$、$B=1.5$、$C=0$；從 $A$ 到 $C$ 為三角形，其餘梁段皆為零。

4. $E$ 點剪力 $V_E$

由 $E$ 左側自由體的垂直力平衡：