110 公路人員升資考試佐級晉員級 技術類(選試結構學概要)-公路總局 結構學概要 考古題詳解

110 年・公路人員升資考試・佐級晉員級・技術類(選試結構學概要)-公路總局
試題代碼 結構學概要

第 一 題25 分

圖（一）為某鋼構之立面圖，梁柱斷面皆為工字形，AA 點和 CC 點之腹板以螺栓接合支承座，BB 點梁柱交會區則為焊接接合。

試繪製理想的簡單線圖（以簡單線條代替桿件，以符號代替支承），描述結構尺寸、支承條件及載重，並說明此鋼構為靜定結構或靜不定結構之原因。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：AB=12 mAB=12\ \mathrm{m}；BB 點至集中載重位置為 6 m6\ \mathrm{m}；集中載重位置至 CC 點為 8 m8\ \mathrm{m}；集中載重為 20 kN20\ \mathrm{kN}。

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核心觀念

本題考查平面剛架的理想化、支承反力種類，以及靜定與靜不定的判別。

梁柱交會處為焊接接合，理想化為剛接，可傳遞水平力、垂直力及彎矩。A、C 點的腹板以螺栓接合支承座，理想化為鉸支承；各支承可提供水平與垂直反力，但不提供反力矩。

解題方法

依構件接合方式繪製簡單線圖：AB 為高 12 m12\ \mathrm{m} 的柱，BC 為水平梁；B 點標示剛接，A、C 點標示鉸支承。集中載重位於梁 BC 上，距 B 點 6 m6\ \mathrm{m}、距 C 點 8 m8\ \mathrm{m}，方向向下、大小 20 kN20\ \mathrm{kN}。

 ↓ 20 kN
 6 m 8 m
 B ●──────────────┬──────────────● C
 ║ △
 ║ 鉸支承
 12 m ║
 ║
 A △
 鉸支承

 B 點：梁柱剛接

A、C 兩個鉸支承各有水平與垂直反力，因此總反力未知數為 r=4r=4。平面結構有三個獨立平衡方程式：

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第 二 題25 分

求解圖（二）梁之剪力圖和彎矩圖。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：梁全長為 18 m18\ \mathrm{m}，每隔 6 m6\ \mathrm{m}標示一處；支承位置位於距左端 6 m6\ \mathrm{m}及 12 m12\ \mathrm{m}處。梁承受三角形分布載重，載重由左端零值線性增加，於距左端 12 m12\ \mathrm{m}處達最大值 6 kN/m6\ \mathrm{kN/m}，再由該處線性遞減至右端零值。

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核心觀念

依原卷圖（二），三角形載重的峰值位於 x=9 mx=9\ \mathrm{m}，大小為 6 kN/m6\ \mathrm{kN/m}；支承位於 x=6 mx=6\ \mathrm{m} 與 x=12 mx=12\ \mathrm{m}。題目文字所述峰值位於 x=12 mx=12\ \mathrm{m}，與圖形不符。以下依原卷圖形作答。

採向上反力為正、下向載重為負，彎矩以正彎矩（下凹）為正。剪力與彎矩的關係為

dVdx=−w(x),dMdx=V(x)\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)

其中 w(x)w(x) 為向下分布載重強度。

解題方法

令 xx 自梁左端起算。載重左右對稱，合力為三角形面積：

W=12(18)(6)=54 kNW=\frac12(18)(6)=54\ \mathrm{kN}

載重合力作用於跨中 x=9 mx=9\ \mathrm{m}；兩支承亦對稱於 x=9 mx=9\ \mathrm{m}，故反力相等：

RA=RB=27 kNR_A=R_B=27\ \mathrm{kN}

分布載重可寫成

w(x)={23x,0≤x≤923(18−x),9≤x≤18(kN/m)w(x)= \begin{cases} \dfrac{2}{3}x, & 0\le x\le 9\\[4pt] \dfrac{2}{3}(18-x), & 9\le x\le 18 \end{cases} \quad(\mathrm{kN/m})

以各區段左側自由體求剪力，再積分剪力求彎矩。取左端彎矩 M(0)=0M(0)=0，得到：

V(x)={−x23,0≤x<627−x23,6<x<9−27+(18−x)23,9<x<12(18−x)23,12<x≤18(kN)V(x)= \begin{cases} -\dfrac{x^2}{3}, & 0\le x<6\\[5pt] 27-\dfrac{x^2}{3}, & 6<x<9\\[5pt] -27+\dfrac{(18-x)^2}{3}, & 9<x<12\\[5pt] \dfrac{(18-x)^2}{3}, & 12<x\le18 \end{cases} \quad(\mathrm{kN})

在支承處，剪力因集中反力而跳升：

V(6−)=−12,V(6+)=15,V(12−)=−15,V(12+)=12V(6^-)=-12,\quad V(6^+)=15,\qquad V(12^-)=-15,\quad V(12^+)=12

彎矩分段式為

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第 三 題25 分

試繪製圖（三）簡支梁 CC 點之剪力和彎矩影響線，求解一長 5 m5\ \mathrm{m}、總重 225 kN225\ \mathrm{kN} 的重車往左通行對 CC 點造成的最大剪力和彎矩。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：簡支梁支承於 AA、BB 兩點，AC=8 mAC=8\ \mathrm{m}，CB=12 mCB=12\ \mathrm{m}。重車由右向左行駛，車長為 5 m5\ \mathrm{m}，總重為 225 kN225\ \mathrm{kN}，其三個集中載重依序為 25 kN25\ \mathrm{kN}、100 kN100\ \mathrm{kN}及 100 kN100\ \mathrm{kN}；25 kN25\ \mathrm{kN}與100 kN100\ \mathrm{kN}之間距離為 2 m2\ \mathrm{m}，兩個100 kN100\ \mathrm{kN}集中載重之間距離為 3 m3\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考簡支梁的剪力與彎矩影響線，以及移動集中載重作用下的極值。

令 xx 為載重距離 AA 點的位置。梁長 L=20 mL=20\ \mathrm{m}，且 AC=8 mAC=8\ \mathrm{m}、CB=12 mCB=12\ \mathrm{m}。採用「截面左側剪力以向下為正」的慣用符號，則 CC 點影響線為：

  • 剪力影響線在 CC 點有 +1+1 的跳躍；載重位於 CC 左側時，影響線為 −x/20-x/20，位於右側時為 (20−x)/20(20-x)/20。
  • 彎矩影響線在 CC 點達最大值 ab/L=8(12)/20=4.8 mab/L=8(12)/20=4.8\ \mathrm{m}；左側為 12x/2012x/20，右側為 8(20−x)/208(20-x)/20。

將集中載重乘上其所在位置的影響線縱距，再加總，即為該載重配置下的 CC 點剪力或彎矩。

解題方法

令 25 kN25\ \mathrm{kN} 載重位置為 x=sx=s。依圖示，三個載重由左至右的位置為

s,s+2,s+5s,\qquad s+2,\qquad s+5

對應載重分別為 25, 100, 100 kN25,\ 100,\ 100\ \mathrm{kN}。車輛向左行駛，ss 逐漸減小。影響線在載重越過 CC 點時會改變斜率；剪力影響線另有跳躍，因此極值須留意各車軸通過 CC 點前後的位置。

一、剪力影響線與最大剪力

剪力影響線縱距 v(x)v(x) 為

v(x)={−x20,0≤x<8,20−x20,8<x≤20.v(x)= \begin{cases} -\dfrac{x}{20}, & 0\le x<8,\\[4pt] \dfrac{20-x}{20}, & 8<x\le 20. \end{cases}

因此，CC 點剪力為

VC=25v(s)+100v(s+2)+100v(s+5).V_C=25v(s)+100v(s+2)+100v(s+5).

各車軸接近或通過 CC 點時比較剪力：

  • 25 kN25\ \mathrm{kN} 載重剛越至 CC 點右側，s=8+s=8^+：
VC=25(0.6)+100(0.5)+100(0.35)=100 kN.V_C=25(0.6)+100(0.5)+100(0.35) =100\ \mathrm{kN}.
  • 100 kN100\ \mathrm{kN} 載重位於 CC 點右側、另外兩軸在左側，s=3+s=3^+：
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第 四 題25 分

求解圖（四）桁架 DD 點之垂直變位，已知所有桿件之彈性模數 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}，斷面積 A=1000 mm2A=1000\ \mathrm{mm^2}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：桁架節點為 AA、BB、CC、DD；AA、BB 位於同一水平線，CC 位於 BB 正上方，DD 位於 CC 正右方。AB=4 mAB=4\ \mathrm{m}，BD=4 mBD=4\ \mathrm{m}，BC=3 mBC=3\ \mathrm{m}。AA 點為鉸支承，BB 點為滾支承。CC 點及 DD 點各受一個向下集中載重 30 kN30\ \mathrm{kN}。

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核心觀念

本題考桁架節點的垂直變位，可用**單位荷重法（虛功法）**求解。桁架桿件只承受軸力，線彈性範圍內，DD 點沿所求方向的變位為

δD=∑iNiniLiAiEi\delta_D=\sum_i\frac{N_i n_i L_i}{A_iE_i}

其中 NiN_i 是實際載重下第 ii 桿件的軸力，nin_i 是在 DD 點沿所求方向施加單位力時的桿件軸力，LiL_i 是桿長。本題所有桿件的 AEAE 相同。

解題方法

取拉力為正、壓力為負。依圖形設定座標：A(0,0)A(0,0)、B(4,0)B(4,0)、C(4,3)C(4,3)、D(8,3)D(8,3)，所以斜桿 ACAC、BDBD 長度皆為 5 m5\ \mathrm{m}。

先求實際載重下的支承反力。以 AA 點取矩：

∑MA=0:4By−30(4)−30(8)=0\sum M_A=0:\quad 4B_y-30(4)-30(8)=0

因此 By=90 kNB_y=90\ \mathrm{kN}；再由垂直力平衡得 Ay=−30 kNA_y=-30\ \mathrm{kN}，且 Ax=0A_x=0。

依節點平衡求實際桿力。例如在 AA 點，ACAC 的垂直分量平衡 AyA_y：

−30+35NAC=0⇒NAC=50 kN-30+\frac{3}{5}N_{AC}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{AC}=50\ \mathrm{kN}

再由水平平衡得 NAB=−40 kNN_{AB}=-40\ \mathrm{kN}。在 DD 點平衡可得 NBD=−50 kNN_{BD}=-50\ \mathrm{kN}、NCD=40 kNN_{CD}=40\ \mathrm{kN}；在 CC 點垂直平衡得 NBC=−60 kNN_{BC}=-60\ \mathrm{kN}。

接著在 DD 點施加向下單位力，求虛擬桿力。整體平衡得 Ay′=−1A_y'=-1、By′=2B_y'=2。依節點平衡可得各桿件的 nin_i：

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