111 公路人員升資考試佐級晉員級 技術類(選試結構學概要)-公路總局 結構學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考「剛性構件的變形協調」與「軸向桿件的力平衡」。三根鋼桿的材質、截面積及長度皆相同，因此軸向剛度相同：

剛性構件作平移與轉動時，各連接點的垂直位移沿水平方向呈線性變化；各桿軸力又與桿件伸長量成正比，因此桿力也沿構件長度呈線性變化。

解題方法

以 $A$ 點為座標原點，令各桿對剛性構件的向上作用力為 $R_A、R_C、R_E$。各桿位置為 $x_A=0$、$x_C=2\ \mathrm{m}$、$x_E=4\ \mathrm{m}$，向下 $10\ \mathrm{kN}$ 的作用力位於 $x=1\ \mathrm{m}$。

因桿力沿剛性構件呈線性變化，且 $C$ 點位於 $A、E$ 的中點：

垂直力平衡：

由 $R_A+R_E=2R_C$，可得：

再以 $A$ 點取力矩：

代入 $R_C=\frac{10}{3}\ \mathrm{kN}$：

核心觀念

採用正剪力使梁段順時針轉動、正彎矩為下凹（正彎矩）的慣例。分布載重與剪力、彎矩的關係為

因此，剪力圖是載重圖的積分，彎矩圖是剪力圖的積分；剪力為零處，彎矩達極值。

解題方法

令 $x$ 自 $A$ 點向右量，單位為公尺。先將三角形載重分成 $AC$、$CB$ 兩部分：

• $AC$ 載重合力：$\frac12(3)(24)=36\ \mathrm{kN}$，作用點距 $A$ 為 $2\ \mathrm{m}$。
• $CB$ 載重合力：$\frac12(6)(24)=72\ \mathrm{kN}$，作用點距 $A$ 為 $5\ \mathrm{m}$。

由平衡條件：

故支承反力為

剪力分布

在 $AC$ 段，載重強度為 $w(x)=8x\ \mathrm{kN/m}$，故

在 $CB$ 段，令 $t=x-3$，則載重強度為 $w=24-4t$，故

剪力圖的主要數值為

在 $B$ 點受支承反力 $R_B=48\ \mathrm{kN}$ 向上，剪力由 $-48\ \mathrm{kN}$ 跳升至 $0$。令 $V=0$，在 $CB$ 段得

因此剪力過零位置為

彎矩分布

核心觀念

懸臂梁的剪力與彎矩可由截面平衡求得。取 $x$ 自固定端 $A$ 向右量，採用「正彎矩為下凹（跨中受拉）、正剪力使彎矩沿 $x$ 增加」的符號慣例。向下荷載造成負彎矩，因此本題彎矩圖為負值。

均佈載重的合力為 $wL$，作用於載重區段的中點；剪力圖斜率為 $-w$，彎矩圖斜率為剪力。

解題方法

先求固定端反力，再取距離 $A$ 為 $x$ 的截面，分成 $0\le x\le6$ 與 $6\le x\le10$ 兩段列式。

$A$ 至 $C$ 的均佈載重合力為

作用於距 $A$ $3\ \mathrm{m}$ 處。固定端反力與反力矩為

對梁內任一截面，剪力值等於截面左側外力的垂直合力；彎矩則由截面左側外力對截面的力矩求得。

剪力分布

當 $0\le x\le6$，截面左側包含反力 $110\ \mathrm{kN}$ 與長度 $x$ 的均佈載重：

因此 $V(0)=110\ \mathrm{kN}$，而 $V(6)=50\ \mathrm{kN}$。

當 $6\le x<10$，截面左側包含完整的 $60\ \mathrm{kN}$ 均佈載重與 $110\ \mathrm{kN}$ 支承反力：

在 $B$ 點有 $50\ \mathrm{kN}$ 向下集中力，剪力圖向下跳降 $50\ \mathrm{kN}$，故 $V(10)=0$。

彎矩分布

當 $0\le x\le6$，均佈載重作用於 $0$ 至 $x$，其合力為 $10x$，作用點距 $A$ 為 $x/2$；$B$ 點集中力距截面為 $10-x$：

核心觀念

將一個向下的單位荷重 $1$ 沿梁從 $A$ 移至 $D$，各截面反力、剪力與彎矩隨荷重位置變化的數值，就是相應的影響線縱座標。

取 $A$ 為座標原點，則

以下約定反力向上為正、$E$ 截面正剪力為左截面向上、正彎矩為正彎矩（下緣受拉）。

解題方法

設單位荷重位於距 $A$ 點 $x$ 公尺處。全梁垂直力平衡與對 $B$ 點取矩：

因此

兩反力的影響線都是直線，將荷重位於各特徵點時的縱座標連接即可。

負值表示該支承反力方向向下。尤其荷重位於懸臂端時，反力影響線可能出現負值或大於 $1$ 的縱座標。

$E$ 點剪力影響線

**荷重位於 $E$ 左側（$x<4$）時：**對左段取垂直力平衡，

荷重位於 $E$ 右側（$x>4$）時：

各特徵點縱座標為