108 公路人員升資考試員級晉高員級 技術類(選試電路學)-公路總局 電路學 考古題詳解

核心觀念

兩個電路等效，表示從上、下端點看入時，端點電壓與電流關係相同。左圖是含電壓源的電路，右圖是諾頓等效電路：

• 等效電阻 $R$ 等於將獨立電壓源短路後，從端點看入的電阻。
• 諾頓電流 $I_s$ 等於端點短路電流；也可由 $I_s=V_{\text{th}}/R$ 求得，其中 $V_{\text{th}}$ 是開路端電壓。

解題方法

先求等效電阻。將左圖的 $10\text{ V}$ 理想電壓源短路，兩個 $5\,\Omega$ 電阻便並聯：

核心觀念

此題考查理想運算放大器的虛短，以及電容電壓連續性。開關斷開後，非反相端接到 $1\text{ V}$；反相端透過 $1\,\text{k}\Omega$ 接地，並透過 $4\,\text{k}\Omega$ 與 $5\,\text{nF}$ 的並聯支路接到輸出端。

理想運算放大器在線性負回授下滿足 $V_-=V_+$。電容電壓不能瞬間改變；由於電容兩端初始電壓為零，輸出端與反相端在 $t=0^+$ 的電壓相同。

解題方法

開關斷開後，非反相端電壓為

因此由虛短可得 $V_-(t)=1\text{ V}$。以反相端節點寫 KCL，取流出該節點的電流為正：

代入 $V_-=1\text{ V}$、$C=5\text{ nF}$，且 $V_-$ 為常數：

整理成一階微分方程：

核心觀念

穩態正弦電路可用相量分析：將電感、電容分別以阻抗表示，再以相量形式套用分壓或節點方程式。題目給定 $V_{\mathrm{in}}(t)=\cos(t)$，因此角頻率為 $\omega=1\ \text{rad/s}$，輸入相量為 $\tilde V_{\mathrm{in}}=1\angle 0$。

解題方法

先計算輸出端與輸入源之間的串聯阻抗：

因此，電感與串聯電容的阻抗相消，串聯路徑只剩下 $1\ \Omega$ 電阻：

輸出端的 $1\ \mathrm F$ 電容阻抗為

由分壓公式，輸出相量為

核心觀念

本題考查理想變壓器的阻抗反映，以及電阻負載的平均消耗功率。圖示匝數比為一次側：二次側 $N_p:N_s=1:10$，負載 $R_L=10\,\text{k}\Omega$。

二次側負載反映至一次側的等效電阻為

理想變壓器的電壓比為

解題方法

先將二次側負載反映至一次側：

一次側電路因此是 $100\,\Omega$ 串聯電阻與 $100\,\Omega$ 等效負載，總電阻為 $200\,\Omega$。輸入電流的均方根值為

核心觀念

本題測驗「三相平衡交流電路」之電壓、電流轉換關係與三相平均功率計算，核心觀念如下：

1. $Y$ 接（星形）電源之電壓關係： 在對稱三相平衡系統中，線路傳輸之線電壓（有效值）$V_{\text{L}}$ 與電源之相電壓（有效值）$V_{\text{p}}$ 關係為： $V_{\text{L}} = \sqrt{3} V_{\text{p}}$
2. $\Delta$ 接（三角形）負載之電壓關係： $\Delta$ 接負載跨接於各兩條傳輸線之間，故負載相電壓 $V_{\text{p},\Delta}$ 等於線電壓 $V_{\text{L}}$： $V_{\text{p},\Delta} = V_{\text{L}}$
3. 三相平均功率計算： 三相平衡負載整體消耗的總平均功率 $P_{\text{total}}$ 為三相各相消耗功率之代數和： $P_{\text{total}} = 3 \times P_{1\phi} = 3 \times \frac{V_{\text{p},\Delta}^2}{R_{\Delta}}$ 亦可利用線電壓與線電流公式計算： $P_{\text{total}} = \sqrt{3} V_{\text{L}} I_{\text{L}} \cos\theta$

解題方法

方法一：直接依相/線關係推導（標準申論解法）

1. 求輸電線路之線電壓 $V_{\text{L}}$： 已知平衡 $Y$ 接電源的相電壓有效值為 $V_{\text{p}} = 100\text{ V}$，則線路之線電壓為： $V_{\text{L}} = \sqrt{3} V_{\text{p}} = 100\sqrt{3}\text{ V}$

2. 求 $\Delta$ 接負載之單相電壓與單相功率： 負載端採 $\Delta$ 接法，每相負載直接承受線電壓： $V_{\text{p},\Delta} = V_{\text{L}} = 100\sqrt{3}\text{ V}$ 已知每相負載電阻 $R_{\Delta} = 60\,\Omega$（純電阻負載，功率因數 $\cos\theta = 1$），則每相負載消耗的平均功率為： $P_{1\phi} = \frac{V_{\text{p},\Delta}^2}{R_{\Delta}} = \frac{(100\sqrt{3})^2}{60} = \frac{30000}{60} = 500\text{ W}$

3. 計算三相負載整體消耗的總平均功率 $P_{\text{total}}$：