111 公路人員升資考試員級晉高員級 技術類(選試機械設計)-高公局 機械設計 考古題詳解

核心觀念

1. 安全係數（Factor of Safety, $n$ 或 $FS$）的定義： 在機械設計中，安全係數為材料強度極限（降伏強度 $S_y$ 或抗拉強度 $S_{ut}$）與構件承受之工作應力（或計算應力 $\sigma$）之比值： $n = \frac{\text{材料強度}}{\text{容許／工作應力}} = \frac{S}{\sigma}$ 當 $n > 1$ 時，表示理論上材料強度足以承受外加負載；$n \le 1$ 則意味著構件面臨降伏變形或斷裂失效之風險。

2. 最弱環原理（Weakest-Link Principle / 臨界點控制）： 機械元件是由連續材料構成的整體，其工作能力取決於最脆弱的局部位置。任一危險截面或應力集中處只要達到失效準則（降伏或斷裂），整個元件的功能即告喪失。因此，多處應力計算下的整體安全係數，必由最小值（臨界安全係數）決定： $n_{\text{整體}} = \min(n_1, n_2, \dots, n_k)$

3. 工程不確定性之補償與風險控管： 安全係數的核心本質是用於涵蓋實務設計中無法精確量化之「不確定性」（負載變動、材料缺陷、計算簡化、環境劣化等），並在安全性與經濟性（成本、重量）之間取得最佳平衡。

解題方法

(一) 元件整體之安全係數與原因說明

1. 整體安全係數計算： 題目給定元件三個應力最大處之安全係數分別為： $n_1 = 1.56, \quad n_2 = 2.01, \quad n_3 = 1.97$ 元件整體之安全係數由各危險斷面之最小值決定： $n_{\text{整體}} = \min(1.56, 2.01, 1.97) = 1.56$

2. 原因說明：

• 連鎖失效機制：機械元件之結構失效往往始於應力裕度最低的局部（即 $n = 1.56$ 處）。當工作負載增加超過該點材料所能承受之強度時，該處將優先產生永久塑性變形、疲勞裂紋或脆性破裂，進而導致整體結構幾何變形或應力重新分佈惡化，使整件機械喪失原有功能。
• 木桶短板效應：整體安全水準受制於最危險之臨界截面，其餘位置雖然安全裕度較高（$2.01$ 與 $1.97$），但無法彌補最脆弱點的承載瓶頸，因此不能以平均值評估，必須以最小值 $1.56$ 作為整體元件之安全指標。

(二) 機械設計需要安全係數之原因與數值大小考量

1. 為何需要安全係數（設計必要性）

在實際機械運作中，理論分析模型無法完全精確反映真實狀況，必須引入安全係數以應對各項不確定因素：

• 負載與工況的不確定性：實際運行中可能遭遇未預期的衝擊負載、過載、交變振動、共振或非對稱安裝應力。
• 材料特性的變異性：材料批次間成分微差、內部微觀缺陷（氣孔、夾雜物）、熱處理均勻度及加工殘留應力，都會使實際強度偏離標準測試值。
• 應力分析理論之簡化誤差：設計公式通常基於均質、等向性材料等理想假設，且應力集中因數估算或有限元素網格劃分均存在一定程度的近似誤差。
• 服役環境的衰減效應：高低溫、腐蝕、磨耗、材料老化與潛變（Creep）等環境因素，會隨著服役時間逐漸降低材料實際承載能力。
• 人身安全與經濟風險預防：防止災難性失效造成人員傷亡、設備毀損或高額連帶損失。

核心觀念

在機械設計（特別是軸件的疲勞設計）中，材料的疲勞極限（Endurance Limit）通常是由標準的「R. R. Moore 旋轉梁疲勞試驗」所測得，記為 $S_e'$。該試驗係在嚴格的標準條件下進行：

• 試片表面經高精度鏡面拋光（mirror polished）。
• 試片測試段直徑固定且小（約 $d = 7.62\ \mathrm{mm} \approx 0.3\ \mathrm{in}$）。
• 受載型態為純旋轉反覆彎矩（pure bending）。
• 室溫環境（約 $20^\circ\mathrm{C}\sim 25^\circ\mathrm{C}$）。
• 統計生存機率（可靠度）為 $50\%$。
• 試片無缺口與幾何不連續，不存在應力集中。

當實際工程構件的幾何形貌、加工製程、負載條件、工作環境及可靠度要求與標準試驗不同時，必須依據 馬林方程式（Marin Equation） 對原材料的疲勞極限 $S_e'$ 進行各項修正，以求得實際軸件的有效疲勞極限 $S_e$： $S_e = k_a k_b k_c k_d k_e k_f S_e'$ 式中各修正因子分別代表表面狀態、尺寸效應、負載形式、工作溫度、可靠度需求與其他雜項效應之影響。

解題方法

依據題目所給定的具體工作條件與軸件參數，逐一列出對應的疲勞極限修正因子，並詳述其物理成因與修正原理：

1. 表面加工因子（Surface Condition Modification Factor, $k_a$）

• 題意對應條件：軸件經「車削和精磨」製作。
• 修正原因： 標準試驗試片表面係經過精密鏡面研磨與拋光，微觀缺陷極少；而實際軸件經車削與精磨加工後，表面仍存在微觀凹痕、刀痕與粗糙度。由於疲勞裂紋絕大多數起源於構件表面，表面微觀不平整會造成局部微應力集中，促進微裂紋的萌生，因而顯著降低材料的疲勞極限。因此必須依據軸件之表面粗糙度與材料抗拉強度 $S_{ut}$（AISI 1030 鋼材），引入小於 1 之表面加工因子 $k_a = a S_{ut}^b$ 進行折減修正。

2. 尺寸因子（Size Modification Factor, $k_b$）

• 題意對應條件：直徑 $d = 50\ \mathrm{mm}$、長度 $250\ \mathrm{mm}$。
• 修正原因： 標準旋轉梁試片的有效受載直徑僅約 $7.62\ \mathrm{mm}$。本題軸件直徑達 $50\ \mathrm{mm}$，屬於較大斷面零件。隨著構件截面積與體積增加：

1. 承受高應力（接近表面最大應力）的材料體積與表面積大幅增加，材料內部或表面存在冶金缺陷（如非金屬介在物、微微孔、晶界缺陷）的機率隨之增加（弱環效應，Weakest-link theory）。
2. 在彎曲負載下，大直徑斷面的應力梯度（stress gradient）較平緩，表層高應力區所涵蓋的材料厚度比小試片更厚。

因此疲勞極限會隨直徑增大而遞減，需依據直徑大小進行尺寸折減修正（對於迴轉圓軸 $2.79 \le d \le 51\ \mathrm{mm}$，一般取 $k_b = 1.24 d^{-0.107}$）。

3. 負載因子（Load Modification Factor, $k_c$）

• 題意對應條件：運作時受到「變動的扭矩和彎矩」（複合負載）。
• 修正原因： 標準疲勞試驗係在「純旋轉彎曲」條件下施測（定義彎曲負載因子 $k_{c,\mathrm{bend}} = 1$）。本題軸件同時承受反覆變動的彎矩與扭矩：

1. 剪應力狀態下的材料疲勞破壞機構與正應力狀態不同。若採用畸變能理論（Distortion Energy Theory / von Mises）分別計算交變應力與平均應力，軸件在複合應力狀態下通常以彎曲疲勞極限為基準進行等效應力評估；
2. 若將扭轉疲勞分開獨立計算，純扭轉負載下的疲勞極限僅約為純彎曲疲勞極限的 $57.7\%$（即純扭轉負載因子取 $k_{c,\mathrm{torsion}} \approx 0.577$ 或 $0.59$）。在變動扭矩與彎矩共同作用的設計分析中，負載型態的差異必須藉由負載因子 $k_c$ 或等效多軸疲勞準則進行修正調整。

4. 溫度因子（Temperature Modification Factor, $k_d$）

• 題意對應條件：操作環境介於「常溫到 $400^\circ\mathrm{C}$」。
• 修正原因： 標準疲勞試驗是在室溫（約 $20^\circ\mathrm{C}\sim 25^\circ\mathrm{C}$）下進行。當碳鋼操作溫度升高至 $400^\circ\mathrm{C}$ 時：

1. 材料的降伏強度與抗拉強度均會產生明顯劣化，晶界結合力減弱；
2. 高溫會加速材料表面氧化反應與微裂紋之高溫氧化開裂；
3. 當溫度接近或超過 $0.4\ T_m$（絕對熔點）時，微觀上可能誘發潛變（Creep）與高溫軟化行為，造成疲勞強度大幅下降。

因此必須根據操作上限溫度 $400^\circ\mathrm{C}$ 查閱溫度修正係數表或經驗公式（$k_d = S_T / S_{RT}$，在 $400^\circ\mathrm{C}$ 時 $k_d$ 約介於 $0.8\sim 0.9$ 之間），對疲勞極限進行熱效應折減。

5. 可靠度因子（Reliability Modification Factor, $k_e$）

• 題意對應條件：要求軸件具備「$95\%$ 的可靠度」。
• 修正原因：

核心觀念

本題考查**螺旋齒輪（Helical Gear）之幾何參數關係，以及法向平面（Normal Plane）與橫向／端面平面（Transverse Plane）**之間的投影幾何轉換。核心公式與定義如下：

1. 徑節與周節關係： 在同一個截面系統中，圓周節距（Circular Pitch, $p$）與徑節（Diametral Pitch, $P$）互為倒數之 $\pi$ 倍關係： $p \cdot P = \pi$
2. 法向與橫向節距關係： 法向節距 $p_n$ 沿螺旋線之法向測量，橫向節距 $p_t$ 沿齒輪分度圓周測量，二者透過螺旋角 $\psi$ 投影相連： $p_n = p_t \cos\psi$
3. 法向與橫向徑節關係： 依定義 $P = \frac{\pi}{p}$，故法向徑節 $P_n$ 與橫徑節 $P_t$ 之關係為： $P_n = \frac{P_t}{\cos\psi}$
4. 壓力角轉換關係： 法向壓力角 $\phi_n$ 與橫向壓力角 $\phi_t$ 的幾何關聯式為： $\tan\phi_n = \tan\phi_t \cos\psi \implies \tan\phi_t = \frac{\tan\phi_n}{\cos\psi}$
5. 節圓直徑： 節圓直徑 $d$ 取決於齒輪旋轉橫截面之幾何參數，由齒數 $N$ 與橫徑節 $P_t$ 決定： $d = \frac{N}{P_t}$
6. 題目單位定義說明： 題目敘述「橫徑節（transverse diametral pitch）為 $2.5\ \mathrm{mm}$」，在公制幾何中，徑節代表單位長度之齒數（$P = N/d$），其因次為長度倒數（$\mathrm{teeth/mm}$ 或 $\mathrm{mm}^{-1}$）。題目中標註之 $\mathrm{mm}$ 為公制長度基準之標示，本題嚴格依徑節之標準定義 $P_t = 2.5\ \mathrm{mm}^{-1}$（即 $2.5\ \text{齒}/\mathrm{mm}$）進行計算。

解題方法

已知條件：

• 螺旋角：$\psi = 34^\circ$
• 法向壓力角：$\phi_n = 20^\circ$
• 橫徑節：$P_t = 2.5\ \mathrm{mm}^{-1}$
• 齒數：$N = 36$

相關三角函數值： $\cos 34^\circ \approx 0.82904, \quad \tan 20^\circ \approx 0.36397$

(一) 計算法向節距 $p_n$

橫向節距為 $p_t = \frac{\pi}{P_t}$，法向節距為橫向節距於法向平面之投影： $p_n = p_t \cos\psi = \frac{\pi \cos\psi}{P_t}$ 代入數值： $p_n = \frac{\pi \times \cos 34^\circ}{2.5} = \frac{3.14159 \times 0.82904}{2.5} \approx 1.0418\ \mathrm{mm}$

(二) 計算節圓直徑 $d$

節圓直徑由齒數與橫徑節決定： $d = \frac{N}{P_t}$ 代入數值： $d = \frac{36}{2.5} = 14.4\ \mathrm{mm}$

(三) 計算橫向壓力角 $\phi_t$

由橫向與法向壓力角轉換公式： $\tan\phi_t = \frac{\tan\phi_n}{\cos\psi}$ 代入數值： $\tan\phi_t = \frac{\tan 20^\circ}{\cos 34^\circ} = \frac{0.36397}{0.82904} \approx 0.43903$ 取反正切函數得： $\phi_t = \arctan(0.43903) \approx 23.70^\circ \quad (\text{或 } 23^\circ 42')$

(四) 計算橫向節距 $p_t$

橫向節距為橫向分度圓上的齒距： $p_t = \frac{\pi}{P_t}$ 代入數值：

核心觀念

本題旨在評量**動力螺桿（Power Screw）**在提升負載（克服軸向推力）時的力矩分析，涵蓋方螺紋幾何特性、螺紋摩擦力矩及螺旋止環（Collar）摩擦力矩的整合計算。核心公式與幾何關係如下：

1. 螺桿幾何參數關係：

• 導程（Lead, $L$）：雙線螺紋（Double-thread, $n=2$）每轉一圈螺帽前進的軸向距離為 $L = n \times p$（$p$ 為螺距）。
• 平均直徑／節徑（Mean diameter, $d_m$）：標準方螺紋的牙深為 $p/2$，故節徑為標稱外徑扣除半個螺距： $d_m = d - \frac{p}{2}$

2. 克服負載螺紋力矩（Torque to raise load, $T_R$）： 方螺紋（牙形角 $\alpha = 0^\circ$）推動軸向負載 $F$ 所需施加於螺紋上的力矩公式為： $T_R = \frac{F d_m}{2} \left( \frac{L + \pi \mu d_m}{\pi d_m - \mu L} \right)$ （其中 $\mu$ 為螺桿與螺帽間之摩擦係數）
3. 螺旋止環摩擦力矩（Collar friction torque, $T_c$）： $T_c = \frac{F \mu_c d_c}{2}$ （其中 $\mu_c$ 為止環摩擦係數，$d_c$ 為止環平均摩擦直徑）
4. 螺桿所需總力矩（Total torque, $T$）： $T = T_R + T_c$

解題方法

步驟一：彙整題意條件並換算基礎幾何參數

• 軸向推力 $F = 7\ \mathrm{kN} = 7000\ \mathrm{N}$
• 標稱外徑 $d = 34\ \mathrm{mm}$
• 螺距 $p = 4\ \mathrm{mm}$
• 線數 $n = 2$（雙線螺紋）
• 螺紋摩擦係數 $\mu = 0.1$
• 止環摩擦係數 $\mu_c = 0.1$
• 止環摩擦直徑 $d_c = 42\ \mathrm{mm}$

計算導程 $L$： $L = n \times p = 2 \times 4\ \mathrm{mm} = 8\ \mathrm{mm}$

計算螺紋平均直徑 $d_m$： $d_m = d - \frac{p}{2} = 34 - \frac{4}{2} = 32\ \mathrm{mm}$

步驟二：計算克服軸向推力之螺紋力矩 $T_R$

將各項數值代入方螺紋提升力矩公式： $\pi d_m = \pi \times 32 \approx 100.531\ \mathrm{mm}$

分子項： $L + \pi \mu d_m = 8 + 0.1 \times 100.531 = 18.0531\ \mathrm{mm}$