112 公務人員升官等薦任 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題在考兩組樣本均值比較時，如何依樣本是否配對及兩母體變異數是否相等選擇 $t$ 檢定。先判斷資料的實驗設計，再選擇檢定方法；不能只看兩組樣本數是否相同。

設兩組樣本均值為 $\bar X_1,\bar X_2$，樣本數為 $n_1,n_2$。常見虛無假設為 $H_0:\mu_1-\mu_2=0$，對立假設則依研究問題採雙尾或單尾。

解題方法：依情境選擇檢定

一、成對 $t$ 檢定

**適用情境：**兩組觀測值彼此有明確的一對一關聯，例如同一個實驗單位接受兩種處理，或依相近特性配成一對後，分別接受兩種處理。分析時先對每一對計算差值，再檢定平均差是否為零。

令第 $i$ 對觀測值的差為 $D_i=X_i-Y_i$，則檢定：

其中 $n$ 是配對數，$\bar D$ 與 $s_D$ 分別為差值的平均數與標準差。

**例：**以同一批 12 個田區分別施用甲、乙兩種肥料，記錄各田區的產量。每個田區同時提供甲、乙兩個觀測值，田區內的兩筆資料配成一對；比較的是 12 個田區的「甲肥料產量減乙肥料產量」平均值。

成對檢定的重點是分析配對差值，不要求兩次觀測獨立，也不是直接把兩組當成互不相關的樣本。

二、假設兩母體變異數相等的非成對 $t$ 檢定

**適用情境：**兩組樣本互相獨立，且有理由採用兩母體變異數相等的假設。此時將兩組樣本變異數合併估計共同變異數：

檢定統計量為：

**例：**從兩個互不重疊、彼此獨立的田區群體中，分別隨機抽取田區施用甲、乙肥料，各田區只接受一種肥料。

核心觀念

完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）是最基本的試驗設計。試驗單位在試驗開始前須具有足夠的同質性，再將各試驗單位以隨機方式分派至各處理。CRD 可適用於單一因子試驗，並可容許各處理的重複數不相等。

若有 $t$ 個處理，第 $i$ 個處理的重複數為 $n_i$，觀測值可用下列模型表示：

其中 $\mu$ 為總平均，$\tau_i$ 為第 $i$ 個處理效應，誤差項通常假設彼此獨立、平均數為零，且具有相同變異數。變異數分析（ANOVA）可檢定各處理平均數是否相同。

解題方法

逐項判斷敘述是否符合 CRD 的配置原則、重複數要求、分析方法，以及處理平均數比較方法。特別要區分：

• 試驗單位的同質性：CRD 的基本適用條件。
• 重複數是否相等：CRD 不要求各處理重複數完全相同。
• 整體檢定與後續比較：ANOVA 先檢定處理效應是否有整體差異；若要比較特定處理組合，可再使用適當的比較方法。

選項分析

（一）完全隨機設計可接受部分具有異質性的試驗單位。

錯誤。 CRD 以試驗單位大致同質為適用前提，並將單位隨機分派至各處理。若試驗單位存在明顯差異，這些差異會增加誤差變異，降低處理差異的檢定能力；若已知異質性可形成區組，通常宜考慮隨機完全區集設計等方法，將區組差異納入設計與分析。

隨機分派能避免處理配置的系統性偏差，但不代表 CRD 特別適合異質試驗單位，也不能取代對已知異質來源的控制。

核心觀念

本題考「裂區設計」的田區配置與變異數分析自由度。灌溉方式因操作不易，配置於較大的主區；水稻品種配置於主區內的小區。採隨機完全區集設計（RCBD），表示先將田區分為 3 個區集，再於每一區集內隨機安排兩種灌溉方式；各主區內再隨機安排 3 個品種。

裂區設計有兩層隨機化，因此有兩種不同的誤差項：主區誤差用來檢定灌溉方式；小區誤差用來檢定品種及灌溉方式與品種的交互作用。

解題方法

令區集數 $r=3$、灌溉方式數 $a=2$、品種數 $b=3$。全試驗共有 $rab=3\times2\times3=18$ 個小區。

（一）田區規劃

1. 將試驗田區劃分為 3 個區集，以反映田間位置或肥力等梯度差異。
2. 每個區集再劃分為 2 個主區，並在區集內隨機分配慣行灌溉 $W1$ 與乾濕交替灌溉 $W2$。因此，每種灌溉方式在每個區集各有一個主區。
3. 將每個主區劃分為 3 個小區，並在該主區內隨機安排 $V1$、$V2$、$V3$ 三種水稻品種。
4. 每個區集有 $2\times3=6$ 個小區，3 個區集合計 18 個小區。灌溉方式在主區層級施作，品種則在主區內的小區層級施作。

配置示意如下；每一列代表一個區集，主區次序須在各區集內獨立隨機決定，小區品種次序亦須在各主區內獨立隨機決定：

（二）變異數分析表與自由度

核心觀念

本題是 $3\times2$ 因子試驗：品種有 3 水準，刈割頻率有 2 水準，每個處理組合重複 3 次。以二因子變異數分析檢定：

• 品種主效果：三種品種的平均含量是否相同。
• 刈割頻率主效果：兩種刈割頻率的平均含量是否相同。
• 品種與刈割頻率交互作用：刈割頻率的效果是否因品種而異。

自由度及平方和分解為：

均方為平方和除以對應自由度；$F$ 值為處理來源均方除以機差均方。

解題方法

先由機差平方和計算機差均方：

品種與刈割頻率的平方和可依各因子邊際平均數計算。由表中均值計算，總平均為 $3.840$；品種平均分別為 $3.435$、$2.470$、$5.615$，刈割頻率平均分別約為 $3.357$、$4.323$。因此：

題目提供的總平方和、機差平方和及交互作用平方和，依平方和分解可得：

表列數值採與題目所給總平方和一致的平方和分解；依邊際平均數直接計算的主效果平方和與表列分解有些微差距，這是摘要數值四捨五入所造成。採 $SS_B\approx4.205$，則 $SS_A\approx31.248$。

接著計算各均方及 $F$ 值：