110 公務人員升官等薦任 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考兩獨立樣本平均數差的推論。兩組樣本各自隨機抽取，且題目假設兩族群變異數相等，因此使用合併變異數兩樣本 $t$ 推論。自由度為 $n_A+n_B-2$，合併變異數估計兩組共通的族群變異數。

令差值為 $\mu_A-\mu_B$，樣本平均差為 $\bar{x}_A-\bar{x}_B$。其標準誤為

$$s_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}, \qquad s_p^2= \frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2}.$$

解題方法

先計算樣本平均差及合併標準差：

$$\bar{x}_A-\bar{x}_B=65.6-78.8=-13.2,$$ $$s_p^2 =\frac{(8-1)(3.4)^2+(8-1)(3.8)^2}{8+8-2} =\frac{7(11.56)+7(14.44)}{14} =13,$$

因此 $s_p=\sqrt{13}\approx3.606$，標準誤為

$$SE=s_p\sqrt{\frac18+\frac18} =\sqrt{13}\times 0.5 \approx1.803.$$

自由度為 $8+8-2=14$。

（一）$\mu_A-\mu_B$ 的 $95\%$ 信賴區間

雙尾 $95\%$ 信賴區間使用 $t_{0.025,14}=2.145$：

$$(\bar{x}_A-\bar{x}_B) \pm t_{0.025,14}SE =-13.2\pm2.145(1.803).$$

誤差界約為 $3.868$，故

$$\boxed{(-17.07,\,-9.33)}.$$

此區間全為負值，表示依此信賴區間估計，$A$ 肥料的平均收量低於 $B$ 肥料。

核心觀念

本題考查：兩組平均數比較時，$t$ 檢定與變異數分析 $F$ 檢定的等價關係。當處理水準只有兩個時，兩種檢定的統計量滿足：

$$F=t^2$$

因此，在相同顯著水準下，雙尾 $t$ 檢定與單因子 $F$ 檢定會得到相同的顯著性結論。非成對檢定把兩組觀測視為獨立樣本，對應完全逢機設計（CRD）；成對檢定先以每一對的差值作分析，對應逢機完全區集設計（RCBD）中處理效應的檢定。

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（一）非成對 $t$ 檢定與 CRD 的 $F$ 檢定

設定與假設

設兩處理組各有 $n$ 個獨立觀測，樣本平均數分別為 $\bar{Y}_1,\bar{Y}_2$，共用誤差變異數估計為 $MSE$。檢定：

$$H_0:\mu_1=\mu_2 \qquad\text{對}\qquad H_1:\mu_1\ne\mu_2$$

在等樣本數情形，非成對、等變異數 $t$ 檢定的統計量為：

$$t=\frac{\bar{Y}_1-\bar{Y}_2} {\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)}}$$

CRD 的平方和與 $F$ 統計量

CRD 中兩處理平均數差異所造成的處理平方和為：

$$SS_{\text{處理}} =\sum_{i=1}^{2} n(\bar{Y}_i-\bar{Y}_{..})^2 =\frac{n}{2}(\bar{Y}_1-\bar{Y}_2)^2$$

處理自由度為 $2-1=1$，故：

$$MS_{\text{處理}}=SS_{\text{處理}}$$

CRD 的處理 $F$ 統計量是：

$$F=\frac{MS_{\text{處理}}}{MSE} =\frac{\frac{n}{2}(\bar{Y}_1-\bar{Y}_2)^2}{MSE}$$

另一方面，將 $t$ 平方：

$$t^2 =\frac{(\bar{Y}_1-\bar{Y}_2)^2} {MSE\left(\frac{2}{n}\right)} =\frac{\frac{n}{2}(\bar{Y}_1-\bar{Y}_2)^2}{MSE} =F$$

因此非成對 $t$ 檢定與 CRD 的處理 $F$ 檢定具有相同的檢定結果。若兩組樣本數不等，合併變異數 $t$ 檢定仍與 CRD 的兩處理 $F$ 檢定等價，只須將處理平方和改寫為：

$$SS_{\text{處理}} =\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}(\bar{Y}_1-\bar{Y}_2)^2$$

此時 $t$ 統計量分母採用 $s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}$，平方後同樣得到 $F$。

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（二）成對 $t$ 檢定與 RCBD 的 $F$ 檢定

設定與假設

成對資料可視為 $b$ 個區集，每個區集均接受兩種處理。令第 $j$ 個區集內兩處理的觀測差為：

$$d_j=Y_{1j}-Y_{2j},\qquad j=1,\ldots,b$$

核心觀念

「Garbage in, garbage out.」意指：若輸入統計分析的資料品質不佳、試驗配置有偏，或試驗本身無法有效控制誤差，即使後續套用正確的統計方法，也無法補救先天缺陷；錯誤或無效的資料只會產生不可靠的結論。

因此，試驗設計不是分析前的形式步驟，而是確保資料能回答研究問題的基礎。妥善設計可使處理效果與其他變異來源區分，降低估計誤差，並讓統計推論具有適當的效度。若處理配置不當、缺乏適當對照或重複，分析結果便可能混入偏差，甚至無法估計試驗誤差。

Fisher 試驗設計三原則

1. 重複（Replication）

將每一處理配置於多個試驗單位，而非只施用一次。重複可以提供試驗誤差的估計，增加處理效果估計的精確度，並提高檢定力。

重複的重點是處理配置在不同試驗單位上獨立實施；同一試驗單位內反覆測量，通常屬於子樣本或重複測量，不能直接當成獨立重複，否則會形成偽重複。

2. 隨機化（Randomization）

以隨機方式將處理配置給試驗單位。隨機化可降低研究者主觀分派所造成的選擇偏差，並使未知或未控制的環境因素較有機會平均分散於各處理間。

隨機化也使誤差項的機率模型與統計推論基礎更合理；但它不代表所有處理組在每一次試驗中必然完全相同，也不能取代試驗單位的適當選擇與管理。

3. 局部控制（Local control）

先辨認試驗場地或材料中可預期的系統性差異，再依此分組或區集，讓相近條件的試驗單位在同一區集內比較處理。例如田間存在肥力梯度時，可依梯度方向劃分區集，並在每一區集內配置各處理。

核心觀念

本題考查平衡不完全區集設計（balanced incomplete block design, BIBD）的配置條件，以及在處理效果與區集效果不正交時，為何分析處理效果必須使用矯正處理平方和。

設有 $v$ 個品種（處理）、$b$ 個區集，每區集含 $k$ 個試區；每一品種在全試驗中重複 $r$ 次，任兩品種共同出現在同一區集的次數為 $\lambda$。BIBD 必須符合：

$$bk=vr,\qquad r(k-1)=\lambda(v-1).$$

題目給定 $v=4$、$b=4$、$k=3$。由 $bk=vr$ 得 $r=3$；再由 $r(k-1)=\lambda(v-1)$ 得 $\lambda=2$。因此，每個品種須出現 $3$ 次，每一對品種須共同出現在 $2$ 個區集中。

（一）田間試驗與配置圖

配置方法

將田地依防風林造成的主要空間差異方向劃分為 $4$ 個區集，使同一區集內的試區環境盡量相近，並使不同區集涵蓋田間環境梯度。每個區集再劃分為 $3$ 個試區，合計 $12$ 個試區。

依 BIBD 條件安排品種如下：

區集	試種品種
1	A、B、C
2	A、B、D
3	A、C、D
4	B、C、D

每一品種恰出現 $3$ 次；任兩品種恰共同出現在 $2$ 個區集。例如，A 與 B 同在區集 1、2；A 與 C 同在區集 1、3；其餘品種配對亦同。

在各區集內，將三個品種隨機分派至三個試區；區集本身在田間的位置也應依試驗規劃安排，使區集能控制防風林造成的環境差異。題目未提供田地實際形狀與防風林距離，因此配置圖表示區集內處理組合，實際方位可依田形調整。

田間配置圖

下圖以區集由近防風林至遠防風林排列示意；每一格代表一個試區，格內品種在所屬區集內隨機排列。

近防風林側	試區 1	試區 2	試區 3
區集 1	A	B	C
區集 2	A	B	D
區集 3	A	C	D
遠防風林側・區集 4	B	C	D

此配置的重點是每區集只有 $3$ 個試區，故無法在每一區集納入全部 $4$ 個品種；透過不完全區集使各品種出現次數相同，並讓各品種配對共同出現次數相同。

（二）為何需要計算矯正處理平方和

處理與區集不正交

完全區集設計中，每個區集均包含所有處理，處理與區集相互正交，處理平方和可直接反映處理差異。本題每個區集只含 $3$ 個品種，因此處理與區集不完全正交。各品種的觀測總和會受到其所在區集環境影響，不能直接以未矯正的處理總和比較品種效果。