114 公務人員升官等薦任 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查完全隨機設計（CRD）單因子變異數分析及 Fisher’s protected LSD 多重比較。試驗單位是栽培桶：每桶三本植是桶內取樣，不是三個獨立重複。因此每種肥料有 5 個重複，總樣本數 $N=20$，而非 60。

各處理的標準誤（SE）視為處理平均數的標準誤，且每處理重複數 $r=5$。由 $\operatorname{SE}_i=\sqrt{\operatorname{MSE}/r}$ 可估得共同誤差變方。CRD 單因子模型為

其中 $i=1,\ldots,4$ 表示肥料處理，$j=1,\ldots,5$ 表示重複。

解題方法

（一）建立 ANOVA Table 並檢定

處理平均數為

處理平方和為

由各處理平均數的 SE 推得誤差均方：

題目提供的 SE 因四捨五入略有不同，故以四處理 SE 平方的平均估計共同誤差變方：

因此

檢定假設為

核心觀念

本題考查裂區設計（split plot design）在隨機完全區集設計（RCBD）中的田區配置與變方分析。裂區設計有兩種試驗誤差：

• 主區誤差（Error(a)）：氮肥施用量配置在主區，檢定氮肥效果時須以主區誤差作為分母。
• 副區誤差（Error(b)）：玉米品種配置在副區，檢定品種及氮肥與品種交感作用時，須以副區誤差作為分母。

本題有 $r=6$ 個區集、$a=4$ 個氮肥等級、$b=3$ 個品種，共有 $rab=72$ 個副區試驗單位。

（一）田區規劃與設計圖

每個區集內，先將四個氮肥等級隨機分配至四個主區；再將每個主區切分為三個副區，並在各主區內將三個品種隨機分配至副區。各區集及各主區內的隨機排列彼此獨立。

以下以兩個區集示範一種符合規則的配置。主區排列與副區排列僅為示意：

區集一
┌──────────────┬──────────────┬──────────────┬──────────────┐
│ 主區 N2 │ 主區 N4 │ 主區 N1 │ 主區 N3 │
│ M3 │ M1 │ M2 │ M2 │ M3 │ M1 │ M1 │ M3 │ M2 │ M2 │ M1 │ M3 │
└──────────────┴──────────────┴──────────────┴──────────────┘

區集二
┌──────────────┬──────────────┬──────────────┬──────────────┐
│ 主區 N3 │ 主區 N1 │ 主區 N4 │ 主區 N2 │
│ M1 │ M2 │ M3 │ M3 │ M2 │ M1 │ M2 │ M1 │ M3 │ M3 │ M1 │ M2 │
└──────────────┴──────────────┴──────────────┴──────────────┘

每一個「氮肥主區 × 品種副區」組合都是一個觀測單位。六個區集各有 $4$ 個主區、每個主區有 $3$ 個副區，因此副區總數為 $6\times4\times3=72$。

（二）變方分析表與 $F$ 值

核心觀念

本題比較的是兩種不同的問題設定：

1. 將 9 個組合視為單因子處理：只比較 9 個「氮肥 × 磷肥」處理組合的平均產量是否相同。
2. 將試驗視為 $3\times3$ 複因子試驗：把總處理差異拆解為氮肥主效應、磷肥主效應及氮肥與磷肥交互作用，進一步判斷兩種肥料各自的效果，以及一種肥料的效果是否隨另一種肥料用量而改變。

因此，兩種分析使用同一批觀測值，但回答的研究問題不同。複因子分析保留了處理組合的因素結構，能提供較具體的解釋。

解題方法與變方分析

設氮肥等級為 $N_i$（$i=1,2,3$），磷肥等級為 $P_j$（$j=1,2,3$），每個組合有 $r=3$ 重複，觀測值記為 $Y_{ijk}$，其中 $k=1,2,3$。全試驗共有 $9\times3=27$ 個觀測值。

完全隨機設計且各組合重複數相同時，總自由度為 $27-1=26$。

作法一：9 個處理組合的單因子分析

令 9 個組合為一個單因子，其水準為 $N1P1,N1P2,\ldots,N3P3$。檢定假設為：

變方分析自由度為：

此分析能判斷 9 個組合的產量平均數是否有差異，但不能將差異分辨為氮肥效果、磷肥效果或兩者交互作用。

作法二：$3\times3$ 複因子分析

在完全隨機配置下，可用模型：

其中 $\alpha_i$ 為氮肥主效應，$\beta_j$ 為磷肥主效應，$(\alpha\beta)_{ij}$ 為交互作用，誤差項 $\varepsilon_{ijk}$ 假設獨立且具共同變異數。

變方分析自由度為：

複因子分析將處理組合自由度拆為 $2+2+4=8$，與單因子分析的處理自由度 $8$ 相同；誤差與總自由度也相同。差別在於複因子分析進一步檢定氮肥、磷肥及交互作用各自的來源。

顯著後的後續分析策略

核心觀念

本題考查完全隨機設計（CRD）的變方分析（ANOVA）與最小顯著差異檢定（LSD）之關係。四個品種各有四個重複，若各觀測值可視為獨立且誤差變異數相同，品種效果的整體檢定自由度為 $3$，誤差自由度為 $12$。

令品種 $i$ 的平均數為 $\bar y_i$，總平均數為 $\bar y_{\cdot}$，則 ANOVA 的品種平方和與均方為

其中 $r=4$。整體 $F$ 檢定統計量為

其中 $MSE$ 是誤差均方。它檢定的虛無假設為

LSD 則以誤差均方估計兩個品種平均數差的標準誤；在各品種重複數相同時，

任兩品種 $i,j$ 的比較，當 $|\bar y_i-\bar y_j|>LSD$ 時，該對平均數在指定顯著水準下達顯著差異。

整體 $F$ 檢定與 LSD 兩兩比較的檢定假設、統計量與判定方式不同，因此兩者的顯著性結果不必然一致。若依「保護型 LSD」程序，須先有整體 $F$ 檢定顯著，才進行 LSD；若先決條件未通過，就不宣稱 LSD 的兩兩比較達顯著。

解題方法與結果說明

（一）整體品種效應不顯著，但有一對品種的 LSD 比較顯著

整體 $F$ 檢定不顯著，只表示資料不足以在 $\alpha=0.05$ 下拒絕「四個品種平均數全相等」的虛無假設；它不表示每一對平均數差都必然小於各自的 LSD。

整體 $F$ 檢定將品種間的差異彙整成一個整體統計量，依所有品種平均數相對於總平均數的偏離程度計算。LSD 則逐對比較平均數差。若某一對品種的平均數差相對於其標準誤特別大，即使其餘品種差異小、整體品種均方未達顯著，這一對仍可能跨過 LSD 的判定界線。

另一個重要原因是，未先要求整體 $F$ 顯著的 LSD 逐對檢定，對多重比較的整體第一類錯誤率控制較寬鬆。四個品種共有 $\binom{4}{2}=6$ 個兩兩比較；若把各比較都以 $\alpha=0.05$ 判定，至少出現一個偽陽性的整體機率會高於單一比較的錯誤率。