114 公務人員升官等薦任 天文 天文觀測 考古題詳解

核心觀念

本題考查天球的視運動、恆星距離的觀測證據、角直徑換算成張角，以及望遠鏡視野覆蓋全天空的估算。

地球自西向東自轉，因此天球看起來每日由東向西轉動。小角度下，圓形天體的立體張角可用其角直徑換算；視野拼接題則以全天空面積除以單張影像面積估算。

解題方法

（一）天球的視運動

地球自轉方向為由西向東，觀察者所見的天球視運動方向相反，因此天球由東向西轉動。具體而言，星體大致從東方升起，向西方移動，最後在西方落下。

（二）星星並非都在無限遠的觀察事實

恆星的年視差證明星星距離有限：地球繞太陽公轉時，近距離恆星相對於遙遠背景星的位置會隨季節呈現微小週期性位移。若恆星都在無限遠，這種視差角便為零；實際觀測到非零年視差，表示恆星並非都在無限遠。

（三）月球的立體張角

月球角直徑約 $30$ 角分，即 $0.5^\circ$，所以角半徑為 $0.25^\circ$。將角半徑換成弧度：

$$\theta = 0.25^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.004363\ \mathrm{rad}$$

小圓錐的立體張角近似為 $\Omega \approx \pi\theta^2$，因此：

$$\Omega \approx \pi(0.004363)^2 \approx 5.98\times 10^{-5}\ \mathrm{sr}$$

換成平方度，利用 $1\ \mathrm{sr} = (180/\pi)^2\ \mathrm{deg}^2$：

核心觀念

本題考查星座位置辨認、週年視差與距離的關係、視星等與絕對星等的距離模數，以及由光譜型態推估同類恆星光度後比較距離。

常用關係式如下：

$$d(\mathrm{pc})=\frac{1}{p(\mathrm{arcsec})}$$ $$M_V=m_V-5\log_{10}\left(\frac{d}{10\ \mathrm{pc}}\right)$$

其中 $d$ 是距離、$p$ 是週年視差、$m_V$ 是視星等、$M_V$ 是絕對星等。星等數值越小，天體越亮。

（一）所在星座與鄰近星座

天狼星是大犬座的 α 星，英文名為 Sirius，拜耳命名為 Alpha Canis Majoris。大犬座鄰近的星座包括天兔座、船尾座、麒麟座、天鴿座等；舉出其中兩個即可。

（二）距離與誤差

題目給定週年視差 $p=0.3792\pm0.0016$ 角秒。由 $d=1/p$：

$$d=\frac{1}{0.3792}=2.637\ \mathrm{pc}$$

視差誤差較小時，距離誤差可用微分傳播估計：

$$\sigma_d \simeq \left|\frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}p}\right|\sigma_p =\frac{\sigma_p}{p^2} =\frac{0.0016}{(0.3792)^2} =0.0111\ \mathrm{pc}$$

因此：

$$\boxed{d=2.637\pm0.011\ \mathrm{pc}}$$

使用 $1\ \mathrm{pc}\approx3.2616$ 光年換算，距離約為 $8.60\pm0.04$ 光年。

（三）絕對星等及與太陽比較

把 $m_V=-1.46$ 及 $d=2.637\ \mathrm{pc}$ 代入距離模數：

$$\begin{aligned} M_V &=m_V-5\log_{10}\left(\frac{d}{10\ \mathrm{pc}}\right)\\ &=-1.46-5\log_{10}\left(\frac{2.637}{10}\right)\\ &\approx 1.43 \end{aligned}$$

天狼星的絕對星等約為 $+1.43$ 等。太陽的視星等與絕對星等通常取 $M_{V,\odot}\approx+4.83$ 等。因為 $1.43<4.83$，天狼星的絕對星等數值比太陽小，也就是在相同的 10 pc 距離下，天狼星比太陽亮。

（四）假想星的可見性、觀察季節與距離比

（一）口徑相同時，地面與太空望遠鏡的優勢與限制

核心觀念與解題方法

望遠鏡口徑相同，代表兩者在相同波長下的集光能力與繞射極限相近；實際觀測表現還會受大氣、熱背景、儀器設計、可觀測波段、維修與成本影響。回答時可依「影像品質、可觀測波段、運作條件、建造與維護」逐項比較。

地面望遠鏡

• **優勢：**地面設施較容易維修、升級儀器與更換零件；不需承受發射時的重量與尺寸限制，較容易建造大型望遠鏡；建造及操作成本通常較低，並可配置多種儀器與接收大型資料量。
• **限制：**大氣擾動會使星像晃動、模糊，且大氣消光與背景光會降低觀測靈敏度。採用自適應光學可以改善大氣造成的影像模糊，但仍受校正能力與觀測條件限制。
• **波段限制：**地球大氣只在部分波段透明。水氣、二氧化碳等會吸收許多紅外線；紫外線、X 射線與伽馬射線也大多無法有效穿透大氣，因此相關觀測常須在高空或太空進行。

太空望遠鏡

• **優勢：**不受大氣擾動影響，沒有大氣造成的星像閃爍與消光，可取得較穩定、銳利的影像；也能觀測大氣吸收嚴重或無法穿透大氣的波段。JWST 位於太空並採用低溫設計，適合觀測微弱紅外訊號。
• **限制：**發射載荷受火箭尺寸、重量與成本限制，鏡面與遮陽罩須能摺疊並在軌道上部署；任務設計、校正及運作複雜，故障後維修困難，壽命也受燃料與零件可靠度限制。太空望遠鏡自身的熱輻射與宇宙粒子亦可能影響紅外探測。

**結論：**相同口徑不等於觀測能力完全相同。地面望遠鏡在維修、升級及建造大型口徑方面有優勢；太空望遠鏡在避開大氣、取得穩定影像及觀測大氣不透明波段方面有優勢。

（二）$2000\,\mathrm{nm}$ 的理論角分辨力與紅外儀器注意事項

核心觀念與計算方法

對圓形孔徑望遠鏡，以瑞利判據估計繞射極限：

$$\theta = 1.22\frac{\lambda}{D}$$

其中 $\theta$ 為弧度、$\lambda$ 為波長、$D$ 為口徑。題目給定 $\lambda=2000\,\mathrm{nm}=2.0\times10^{-6}\,\mathrm{m}$，$D=6.5\,\mathrm{m}$，故

$$\theta = 1.22\frac{2.0\times10^{-6}}{6.5} =3.75\times10^{-7}\,\mathrm{rad}$$

利用 $1\,\mathrm{rad}=206265$ 角秒：

$$\theta = 3.75\times10^{-7}\times206265 \approx 0.077\ \text{角秒}$$

因此理論角分辨力約為 $0.08$ 角秒。這是理想繞射極限；實際可達的影像品質還取決於光學系統、探測器取樣、指向穩定度與資料處理。

紅外儀器的設計與操作注意事項

紅外探測器會同時接收天體訊號與儀器、望遠鏡本身的熱輻射，因此儀器須控制溫度與熱背景；較長波長的紅外觀測尤其需要低溫冷卻。