114 公務人員升官等薦任 天文 應用數學(包括微積分、微分方程、向量分析) 考古題詳解

核心觀念

力場 $\vec F$ 沿曲線 $C$ 對粒子所做的功，是線積分

若以參數 $t\in[a,b]$ 表示曲線 $\vec r(t)$，則

若力場是某個純量勢函數 $f$ 的梯度，即 $\vec F=\nabla f$，則線積分只與起點、終點有關：

在 $\mathbb R^3$ 這種單連通區域內，對處處光滑的力場，若 $\nabla\times\vec F=\vec 0$，即可判定力場為保守場，因而功與路徑無關。

（一）沿指定路徑所做的功

解題方法： 將路徑參數式代入力場，並計算速度向量 $\vec r'(t)$，再依線積分公式積分。

題目給定

所以

沿路徑上的力場為

因此

（二）說明功與路徑無關

解題方法： 以旋度檢查力場是否保守。令

計算旋度：

核心觀念

本題考線性常係數微分方程組的初始值問題。將向量方程寫成 $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$ 後，可用矩陣特徵值與特徵向量求通解；若矩陣有重根，也可利用特徵值平移後的矩陣冪零性質求矩陣指數 $e^{At}$。

解題方法

令

先求 $A$ 的特徵多項式：

因此唯一特徵值為 $\lambda=1$，且為重根。

計算

故可寫成 $A=I+N$，其中 $N=A-I$ 且 $N^2=0$。由於 $I$ 與 $N$ 可交換，

矩陣指數展開為

核心觀念

這題考的是多變數函數在受限制曲面上的絕對極值。橢圓面 $x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 是封閉且有界的集合，函數 $f(x,y,z)=xyz$ 連續，因此最大值與最小值皆存在。

可用拉格朗日乘數法處理限制條件 $g(x,y,z)=x^2+y^2+\frac{z^2}{2}-1=0$：若極值點處 $\nabla g\ne \mathbf 0$，則有 $\nabla f=\lambda\nabla g$。

解題方法

令

拉格朗日方程為

因此

並須同時滿足

先考慮座標為零的情形。若 $x=0$ 或 $y=0$，則 $f=0$。若 $z=0$，橢圓面條件給出 $x^2+y^2=1$，同樣有 $f=0$。這些點提供函數值 $0$。

對非零極值點，$x,y,z$ 皆非零。將前兩個拉格朗日方程分別除以 $x,y$，可得

故 $y=\pm x$。再由第一式與第三式相除：

核心觀念

本題考查二重積分的積分區域判讀與改變積分次序。原式中被積函數 $e^{x^3}$ 不易直接對 $x$ 積分，因此改以先對 $y$ 積分，便能把積分化為單變數積分。

解題方法

由積分範圍可讀出

條件 $\sqrt y\le x$ 等價於 $y\le x^2$（此處 $x\ge0$）。因此同一積分區域也可表示為

改變積分次序後，

核心觀念

散度定理將平面區域上的散度積分，轉換成區域邊界上的通量積分。若 $\mathbf F=(P,Q)$，則

其中 $\mathbf n$ 是邊界的單位外法向量。本題的被積函數為 $3x^2+4y^3$，可將它視為某個向量場的散度，再沿單位圓周計算通量。

解題方法

取向量場

其散度為

因此，由散度定理，

單位圓周可參數化為 $(x,y)=(\cos t,\sin t)$，其中 $0\le t\le2\pi$。