114 公務人員升官等薦任 天文 宇宙學 考古題詳解

114 年・公務人員升官等・薦任・天文
試題代碼 宇宙學

第 一 題15 分

（本特利佯謬）

在牛頓提出萬有引力理論後，劍橋大學三一學院院長 Richard Bentley 於 1692 年提出對牛頓宇宙觀中「靜態宇宙不穩定」的質疑，也就是後來所稱的 Bentley’s Paradox。

(一) 請描述 Bentley’s Paradox 的內容。

(二) 請問現代宇宙論如何看待或回答這個問題？

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核心觀念

Bentley’s Paradox（本特利佯謬）考的是：牛頓萬有引力下，宇宙中的物質若互相吸引，均勻而靜止的宇宙能否長期維持穩定。

牛頓引力是吸引力，兩質點間的作用力大小為

F=Gm1m2r2.F = G\frac{m_1m_2}{r^2}.

若宇宙有限且充滿物質，所有物質彼此吸引，整體會趨向聚集；若宇宙無限且均勻，理想完全對稱時，各方向的引力似乎可以互相抵銷，但這種抵銷依賴物質分布恰好處處均勻，無法保證對微小擾動仍然成立。

解題方法

先把題目拆成兩個層次：一是牛頓引力對宇宙整體造成的困難；二是現代宇宙論如何描述宇宙的演化，避免把「宇宙靜止」當成必須成立的條件。

（一）Bentley’s Paradox 的內容

Bentley 在 1692 年向牛頓提出的核心疑問是：若宇宙有限，星體間的萬有引力會使物質彼此靠攏，最終聚集或坍縮；若宇宙無限且物質均勻分布，雖然理想對稱下各方向的引力可以抵銷，但只要出現微小不均勻，物質就會朝較密集處吸引，偏差進一步增大，使宇宙偏離靜態均勻狀態。

因此，困難不只是「引力會不會讓宇宙坍縮」，還包括「均勻分布的引力抵銷能否穩定維持」。在牛頓引力下，靜態宇宙並非穩定狀態：微小擾動可能使物質分布逐漸結團，或使整體朝收縮方向演化。

（二）現代宇宙論的回答

現代宇宙論不再要求宇宙是靜態的，而以廣義相對論描述宇宙時空，並以宇宙尺度因子 a(t)a(t) 表示宇宙膨脹或收縮。均勻、各向同性宇宙的演化可由 Friedmann 方程描述，例如：

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第 二 題30 分

Albert Einstein 於 1917 年引進了宇宙學常數 Λ\Lambda，而將場方程式改寫為：

Rμν−12Rgμν+Λgμν=8πGc4TμνR_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

根據廣義相對論與宇宙學原理（cosmological principle），Alexander Friedmann 於 1922 年得到 Friedmann 方程：

(a˙a)2=8πG3ρ−kc2a2+Λc23\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}

a¨a=−4πG3(ρ+3pc2)+Λc23\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}

(一) 請說明何謂宇宙學原理？

(二) 在不考慮宇宙學常數時，如何定義宇宙的臨界密度？

(三) 已知重力常數 G=6.674×10−11 m3 kg−1 s−2G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}，若哈伯常數 H0≈70 km s−1 Mpc−1H_0\approx70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}，則臨界密度約為多少？

(四) 請解釋為何可以將 Λ\Lambda 視為真空斥力或暗能量？

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核心觀念

本題考查宇宙學原理、宇宙臨界密度的定義與計算，以及宇宙學常數 Λ\Lambda 在宇宙膨脹中的物理意義。關鍵是將 Friedmann 方程中的哈伯膨脹率與宇宙總能量密度、空間曲率及宇宙學常數連結起來。

解題方法

（一）宇宙學原理

宇宙學原理是指在足夠大的尺度上，宇宙具有均勻性與各向同性：

  • 均勻性：不同位置的平均物質密度及宇宙性質相同。
  • 各向同性：從任一位置觀察，宇宙在各方向的平均性質相同。

此原理描述的是大尺度、統計平均的宇宙，不代表星系、星系團等局部結構均勻分布。它使宇宙可用單一尺度因子 a(t)a(t) 描述，並導出 Friedmann 宇宙模型。

（二）臨界密度的定義

不考慮宇宙學常數時，Friedmann 方程為

H2=8πG3ρ−kc2a2,H≡a˙a.H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}, \qquad H\equiv\frac{\dot a}{a}.

臨界密度 ρc\rho_{\mathrm c} 定義為使空間曲率項 k=0k=0 的密度。令 k=0k=0，可得

H2=8πG3ρc,ρc=3H28πG.H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho_{\mathrm c}, \qquad \boxed{\rho_{\mathrm c}=\frac{3H^2}{8\pi G}}.

物理意義上，臨界密度是區分不同空間曲率的基準：在此模型下，總密度高於臨界值對應正曲率，低於臨界值對應負曲率，等於臨界值則為平坦空間。此處所稱密度包含物質與輻射等宇宙成分，且依題意不納入 Λ\Lambda 項。

（三）臨界密度計算

先將哈伯常數換成 SI 單位。採用

1 Mpc=3.086×1022 m,1\ \mathrm{Mpc}=3.086\times10^{22}\ \mathrm m,

則

H0=70 km s−1 Mpc−1=70×103 m s−13.086×1022 m≈2.27×10−18 s−1.\begin{aligned} H_0 &=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}\\ &=\frac{70\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}} {3.086\times10^{22}\ \mathrm m}\\ &\approx2.27\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}. \end{aligned}

代入臨界密度公式：

ρc,0=3H028πG=3(2.27×10−18 s−1)28π(6.674×10−11 m3 kg−1 s−2)≈9.2×10−27 kg m−3.\begin{aligned} \rho_{\mathrm c,0} &=\frac{3H_0^2}{8\pi G}\\ &=\frac{3(2.27\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}})^2} {8\pi(6.674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}})}\\ &\approx9.2\times10^{-27}\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. \end{aligned}
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第 三 題25 分

宇宙微波背景的異向性能譜（power spectrum of the CMB anisotropy）可以算是現代宇宙學中最重要的觀測證據，下圖為藉由幾個不同實驗的觀測結果所得到的能譜。

(一) 請說明何謂宇宙微波背景的異向性（CMB anisotropy）？

(二) 這個能譜（power spectrum）如何描述宇宙微波背景的異向性？

(三) 能譜中很明顯地可以看到在 ℓ≈200\ell\approx200 有一個峰值。請說明：

  1. 它對應的異向性為何？
  2. 它在宇宙學上的物理意義為何？
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

宇宙微波背景輻射（CMB）整體溫度約為 2.725 K2.725\,\mathrm{K}，但天空不同方向的溫度並非完全相同。扣除整體平均溫度後，各方向的微小溫度起伏稱為 CMB 溫度異向性：

ΔT(n^)T0=T(n^)−T0T0,\frac{\Delta T(\hat{\boldsymbol n})}{T_0} = \frac{T(\hat{\boldsymbol n})-T_0}{T_0},

其中 T0T_0 是平均溫度，n^\hat{\boldsymbol n} 代表天空方向。這些起伏約在 10−510^{-5} 的量級，反映早期宇宙的密度、速度與重力位勢差異；光子在傳播途中受到的重力效應也會造成溫度變化。

解題方法：由天空溫度圖轉成角功率譜

將天空上的溫度異向性分布展開成球諧函數：

ΔT(n^)T0=∑ℓmaℓmYℓm(n^).\frac{\Delta T(\hat{\boldsymbol n})}{T_0} = \sum_{\ell m} a_{\ell m}Y_{\ell m}(\hat{\boldsymbol n}).

每個 ℓ\ell 描述一種角尺度：ℓ\ell 越大，代表的角尺度越小，約可用 θ≃180∘/ℓ\theta \simeq 180^\circ/\ell 估算。對同一個 ℓ\ell，將不同 mm 模態的振幅平方平均，得到角功率譜：

Cℓ=12ℓ+1∑m=−ℓℓ∣aℓm∣2.C_\ell=\frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^{\ell}|a_{\ell m}|^2.

因此，功率譜不是逐一呈現天空上每個溫度斑點的位置，而是描述不同角尺度上異向性的平均強度。圖中縱軸採用常見的 ℓ(ℓ+1)Cℓ/(2π)\ell(\ell+1)C_\ell/(2\pi) 表示法；峰值表示相應角尺度的溫度起伏功率較強。NASA 的 WMAP 說明也將功率譜描述為天空不同角尺度上溫度起伏的強度，並指出第一個主要峰是聲學峰。

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第 四 題30 分

（多重宇宙與人擇原理）

有幾位天文學家都曾提出一個概念：「我們觀察到宇宙呈現今日之樣貌，是因為若非如此，我們便無法存在以觀測它。」

請分析下列幾個可能性：

(一) 現代宇宙學的觀測認為宇宙的年齡約 138 億年。若宇宙年齡小一個數量級，為什麼生命存在的可能性不大？如果大一個數量級呢？

(二) 現代宇宙學的觀測認為宇宙的平均密度接近所謂的臨界密度。若這個密度小一個數量級，宇宙的狀態會是如何？如果大一個數量級呢？

(三) 假設在平行宇宙當中，弱交互作用與強交互作用的強度與我們的宇宙有所不同，對那樣的宇宙又會分別有什麼影響？

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核心觀念

本題考「人擇原理」與宇宙基本參數對生命條件的影響。人擇原理的弱形式指出：我們觀測到的宇宙條件，必須容許觀測者存在；這說明觀測選擇效應，並不等於證明宇宙是為生命而設計。

分析時要把題目中的宇宙年齡、密度與基本交互作用，連結到恆星演化、元素合成及宇宙膨脹史。密度部分採用標準的物質主導 Friedmann 宇宙模型；在此模型中，臨界密度是幾何平坦宇宙的分界。

解題方法

先判斷參數改變一個數量級代表什麼，再追蹤它對生命所需條件的影響：

  • 宇宙太年輕：恆星及重元素來不及形成。
  • 宇宙密度偏離臨界密度：改變宇宙曲率與膨脹命運。
  • 基本交互作用強度改變：影響核反應、元素合成及恆星壽命。

題目所稱「小一個數量級」是原值的十分之一，「大一個數量級」是原值的十倍。

分題解析

（一）宇宙年齡小或大一個數量級

現今估計宇宙年齡約為 138138 億年。

**小一個數量級：**宇宙年齡約為 13.813.8 億年。恆星必須先由氣體形成，經核融合製造碳、氧、鐵等元素，再透過恆星死亡與星際物質回收，把這些元素散布到下一代星雲。行星與生命所需的重元素因此需要多代恆星累積。若宇宙只有約 13.813.8 億年，這段形成恆星、製造元素、再形成行星的歷程受到嚴重壓縮，生命存在的可能性很低。

**大一個數量級：**宇宙年齡約為 1,3801{,}380 億年。較長的時間本身不會妨礙生命形成；但在標準宇宙演化圖像中，宇宙會持續膨脹，氣體逐漸耗盡或變得稀薄，恆星形成率下降，既有恆星也會逐步耗盡核燃料。到極長時間尺度，能提供能量的恆星及適合形成行星的環境將愈來愈少。因此，生命較容易出現在恆星與重元素已形成、而宇宙尚未進入長期稀薄冷卻階段的時期。

（二）平均密度小或大一個數量級

臨界密度定義為使空間曲率為零的密度：

ρc=3H28πG\rho_{\mathrm c}=\frac{3H^2}{8\pi G}

其中 HH 為哈伯參數，GG 為重力常數。密度參數定義為：

Ω=ρρc\Omega=\frac{\rho}{\rho_{\mathrm c}}

在題目採用的標準物質主導模型中，Ω<1\Omega<1 對應開放宇宙，Ω>1\Omega>1 對應封閉宇宙。

**小一個數量級：**若平均密度約為臨界密度的十分之一，則 Ω≈0.1<1\Omega\approx 0.1<1，空間呈開放幾何，宇宙會持續膨脹而不回塌。物質密度較低也使重力較難把物質聚集成星系與恆星，結構形成可能受到抑制。

**大一個數量級：**若平均密度約為臨界密度的十倍，則 Ω≈10>1\Omega\approx 10>1，空間呈封閉幾何。在標準物質主導模型中，重力會使膨脹逐漸減速，最終停止並轉為收縮，宇宙進入大坍縮（Big Crunch）。宇宙可供恆星與生命演化的時間因而縮短。

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