112 公務人員升官等薦任 水利工程 水資源工程學 考古題詳解

核心觀念

本題考查年缺水指數、缺水率與威伯點位法。

工業用水每年計畫供水量 $D_i=20$ 萬噸，工業缺水量為計畫供水量扣除實際分配量：

$$ST_i=D_i-\text{實際分配量}$$

缺水率為：

$$\text{缺水率}_i=\frac{ST_i}{D_i}\times 100\%$$

威伯點位法以排序後的名次估計超越風險。若由大到小排列，某筆資料的名次為 $m$，則其超越風險為：

$$P=\frac{m}{N+1}\times 100\%$$

解題方法與計算

（一）工業用水年缺水指數 $SI$

依序計算各年的工業缺水量：

民國年	分配量（萬噸）	缺水量 $ST_i$（萬噸）	缺水率
95	18	2	10%
96	13	7	35%
97	19	1	5%
98	10	10	50%
99	15	5	25%
100	12	8	40%
101	17	3	15%
102	20	0	0%
103	14	6	30%
104	8	12	60%

將各年缺水量代入題示公式，$N=10$，且各年 $D_i=20$：

$$\begin{aligned} SI &=\frac{100}{10}\sum_{i=1}^{10}\left(\frac{ST_i}{20}\right)^2\\ &=10\times\frac{2^2+7^2+1^2+10^2+5^2+8^2+3^2+0^2+6^2+12^2}{20^2}\\ &=10\times\frac{432}{400}\\ &=10.8 \end{aligned}$$

核心觀念

渠首工是灌溉系統自河川、水庫或其他水源取水，並將水引入灌溉渠道所需的首要工程設施。其主要功能包括攔取與控制水量、抬高或穩定取水水位、排除漂流物與泥砂，以及在洪水時保護取水口及渠道。

布置位置與主要構造物

渠首工通常設於灌區上游、鄰近可靠水源且便於引水的位置。選址應考量河道穩定、地形及地質條件、取水水位、引水渠道走向、洪水與泥砂特性，並避免取水口遭主流沖擊或淤塞。

典型渠首工可包括下列構造物，實際配置依河川條件及工程規模調整：

• 攔河堰或壩體：攔蓄或抬高河水位，使水位達到取水所需高度；須兼顧洪水通過及河床穩定。
• 取水口與閘門：控制進入灌溉渠道的流量，必要時可關閉取水；取水口宜避開主流挾砂區。
• 導流堤或護岸：引導水流靠近取水口，並保護河岸及渠首設施免受沖刷。
• 排砂設施：如沖砂閘、沉砂池，用以排除或沉降進入渠首的泥砂，減少渠道淤積。
• 溢洪及消能設施：使洪水安全通過，並降低下游水流能量，避免沖刷壩基與河床。
• 量水設施：量測或調控取水量，以利灌區配水與管理。

解題方法與技巧

作答時先用一句話界定渠首工的「取水、控制、引入」功能，再依「位置條件」與「構造物及功能」分段說明。常見失分處是只列出堰、閘等名稱，未交代各構造物的用途；也容易忽略排砂與洪水安全設施。

（二）輸水過程中的灌溉工程設施及設計注意事項

核心觀念

輸水路線遇到河川、山谷、道路或地形高差時，須依交叉障礙物及水頭條件選擇設施。答題可依「跨越、穿越、克服高差、調節與防護」分類，並說明水力、結構、安全及維護需求。

常用設施及設計注意事項

核心觀念

本題考「拘限含水層穩定抽水」的 Thiem 公式。假設含水層均質、等向且厚度固定，抽水達穩定狀態，並符合達西定律。對完全鑿入拘限含水層的井，水位洩降與距離的關係為：

$$s(r)=\frac{Q}{2\pi Kb}\ln\left(\frac{R}{r}\right)$$

其中 $Q$ 為抽水量、$K$ 為滲透係數、$b$ 為含水層厚度、$R$ 為影響半徑、$r$ 為觀測位置至井中心的距離。井壁處取 $r=r_w$，故井內洩降為：

$$s_w=\frac{Q}{2\pi Kb}\ln\left(\frac{R}{r_w}\right)$$

本題抽水量單位為 $\mathrm{m^3/min}$，滲透係數為 $\mathrm{m/min}$，全程採用分鐘制即可。

解題方法

已知 $r_w=0.15\ \mathrm{m}$、$b=30\ \mathrm{m}$、$K=2\times10^{-4}\ \mathrm{m/min}$、$Q=0.05\ \mathrm{m^3/min}$，井壁洩降 $s_w=10\ \mathrm{m}$。

先由井壁洩降公式解出影響半徑：

$$\ln\left(\frac{R}{r_w}\right) =\frac{2\pi Kb s_w}{Q}$$

代入數值：

$$\ln\left(\frac{R}{0.15}\right) =\frac{2\pi(2\times10^{-4})(30)(10)}{0.05} =7.5398$$

因此：

$$R=0.15e^{7.5398} \approx 282.2\ \mathrm{m}$$

（一）影響半徑

$$\boxed{R\approx282.2\ \mathrm{m}}$$

（二）井半徑變為 $0.25\ \mathrm{m}$，維持相同影響半徑及洩降

核心觀念

最佳水力斷面是指在斷面面積 $A$ 固定時，濕周 $P$ 最小的渠道斷面；等價地說，在水力坡度及曼寧粗糙係數固定時，它能提供最大的輸水能力。圓形渠道的部分充水斷面可用半圓心角 $\alpha$ 表示，其中 $0<\alpha<\pi$。

解題方法

令渠道直徑為 $D$、水深為 $d$。圓半徑 $r=D/2$，幾何關係為

$$d=r(1-\cos\alpha) =\frac D2(1-\cos\alpha).$$

圓弧濕周及水面寬分別為

$$P=2r\alpha,\qquad T=2r\sin\alpha.$$

部分充水時的面積為

$$A=r^2(\alpha-\sin\alpha\cos\alpha).$$

最佳水力斷面取水力半徑 $R=A/P$ 的極大值。由於 $r$ 固定，對 $\alpha$ 微分並令導數為零：

$$\frac{d}{d\alpha}\left(\frac AP\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha\cos 2\alpha-\sin 2\alpha=0,$$

亦即

$$\tan 2\alpha=2\alpha.$$

符合部分充水範圍的非零解為 $\alpha\approx 2.2467$ rad，代回水深關係：

$$\frac dD=\frac{1-\cos\alpha}{2}\approx 0.9382.$$

因此，圓形渠道最佳水力斷面的設計水深約為直徑的 $0.938D$，也就是接近滿管但尚未充滿。

最佳水力斷面與滿管流量比較

依曼寧公式，流量為

$$Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2}.$$

在渠道直徑 $D$、粗糙係數 $n$ 與坡度 $S$ 相同時，流量比為

$$\frac{Q_{\mathrm{best}}}{Q_{\mathrm{full}}} = \frac{A_{\mathrm{best}}}{A_{\mathrm{full}}} \left(\frac{R_{\mathrm{best}}}{R_{\mathrm{full}}}\right)^{2/3}.$$

令 $r=D/2$。滿管時

$$A_{\mathrm{full}}=\pi r^2,\qquad P_{\mathrm{full}}=2\pi r,\qquad R_{\mathrm{full}}=\frac r2.$$

最佳斷面時，以 $\alpha\approx2.2467$ 代入幾何式，可得

$$\frac{A_{\mathrm{best}}}{A_{\mathrm{full}}} = \frac{\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}{\pi} \approx0.969,$$ $$\frac{R_{\mathrm{best}}}{R_{\mathrm{full}}} = \frac{(\alpha-\sin\alpha\cos\alpha)/\alpha}{1/2} \approx1.086.$$

所以

$$\frac{Q_{\mathrm{best}}}{Q_{\mathrm{full}}} \approx0.969(1.086)^{2/3} \approx1.025.$$

核心觀念

本題為四項名詞解釋，重點在於說明水輪機如何轉換水流能量，以及都市雨水如何收集、輸送與調蓄。作答時應指出各名詞的作用原理、主要設施或設備，以及彼此的差異。

解題方法

名詞解釋可依「定義 → 原理或功能 → 主要構造或措施 → 工程目的」作答。水輪機部分以水流能量轉換方式區分；都市排水與出流管制則分別從集水區排水系統及開發基地逕流管理切入。

(一) 反力式水輪機（reaction turbine）

反力式水輪機是指水流在進入及通過轉輪時，壓力與速度均會改變，轉輪藉由水流壓力能及動能的變化共同產生轉矩。轉輪內部充滿水，通常須設置壓力外殼及尾水管，使水流通過轉輪後仍可利用轉輪出口至尾水面的高程差。

常見機型包括法蘭西斯式水輪機及卡布蘭式水輪機。法蘭西斯式適用水頭範圍較廣；卡布蘭式常用於低水頭、大流量的場合。

(二) 衝擊式水輪機（impulse turbine）

衝擊式水輪機是指先由噴嘴將水流的壓力能轉換為高速射流的動能，再以射流衝擊轉輪葉片或水斗，使轉輪旋轉。水流通過噴嘴後，轉輪附近通常處於大氣壓，轉輪主要利用射流動能做功。

常見機型為佩爾頓式水輪機，適用於高水頭、較小流量的情況。噴嘴及針閥可調整射流流量，水斗則將射流轉向以傳遞動量。

兩者主要差異如下：

比較項目	反力式	衝擊式
轉輪內水流	轉輪內充滿水	射流衝擊轉輪，轉輪周圍通常為大氣壓
做功來源	壓力能與動能共同作用	主要由射流動能做功
常見機型	法蘭西斯式、卡布蘭式	佩爾頓式
典型適用條件	中、低水頭至廣泛水頭範圍	高水頭、較小流量

(三) 都市排水（urban drainage）

都市排水是都市地區為收集並排除雨水，避免道路、建築基地及公共空間積淹水，所規劃設置的排水系統及相關管理措施。系統通常包含道路側溝、雨水口、排水管渠、箱涵、抽水站、滯洪設施及排放水路等，將降雨逕流導入河川、海域或其他適當受納水體。