112 年公務人員升官等薦任水利工程考古題與詳解

Question 1

考慮如圖所示之具寬度 $b$ 之矩形閘門，其經繩索與滑輪與具質量 $M$ 之質量塊相連。另外，閘門同時與具密度 $\rho$ 之液體接觸，且 $g$ 為重力加速度。

請找出維持閘門於圖示之靜平衡狀態之液體高度 $d$ ，其中閘門重量不予考慮。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考斜置平面閘門的靜水壓力矩平衡。閘門重量忽略；液體對閘門的壓力隨深度增加，對閘門鉸鏈產生力矩。圖示中繩索在閘門頂端的拉力垂直於閘門，因此其對鉸鏈的力臂為 $L$。理想繩索與滑輪下，懸掛質量塊靜止時繩索張力為 $T=Mg$。 解題方法 令閘門與水平面的夾角為 $	heta$。圖示液面在閘門頂端以下，因此受壓的閘門長度為 $$ \ell=\frac{d}{\sin	heta} $$ 取鉸鏈為力矩中心，沿閘門由鉸鏈向上量距離 $s$。該位置的垂直水深為 $d-s\sin	heta$，故表壓為 $$ p(s)=ho g(d-s\sin	heta), \qquad 0\leq s\leq \ell $$ 閘門寬度為 $b$，微小面積為 $b\,ds$，所以微小壓力力為 $dF=p(s)b\,ds$。其力臂為 $s$，靜水壓力對鉸鏈的力矩大小為

Question 2

考慮如圖所示之水槽以無阻抗方式於水平軌道運動。水槽內水初始質量為 $M0$，且水槽經外界由具常數截面積 $A$、等速度 $V$、等密度 $\rho$ 之噴射水流撞擊從靜止開始運動。 若進入之噴射水流經葉片導引留在槽內，請找出水槽速度 $U$ 與水槽內水質量 $M$ 與時間之關係。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查變質量系統的動量守恆。噴流進入水槽後相對水槽靜止，並留在槽內，因此槽與槽內水的水平動量會因流入噴流水而增加。水槽無阻力，水平方向沒有外力。 題目未提供水槽本身的質量，以下依可解條件採忽略槽體質量的假設；槽內初始水質量為 $M0$。噴流相對水槽的流速為 $V-U$，故流入質量率為 $$ \frac{dM}{dt}=\rho A(V-U). $$ 解題方法 取水槽及槽內水為控制系統。流入水的絕對速度為 $V$，而槽內水隨槽以速度 $U$ 運動。由水平動量平衡： $$ \frac{d(MU)}{dt}=V\frac{dM}{dt}. $$ 展開左側並整理： $$ M\frac{dU}{dt}+U\frac{dM}{dt} =V\frac{dM}{dt}, $$ $$ M\,dU=(V-U)\,dM. $$ 以初始條件 $U=0$、$M=M0$ 積分： $$ \frac{dU}{V-U}=\frac{dM}{M}, \qquad V-U=\frac{VM0}{M}. $$ 因此，速度與槽內水質量的關係為 $$ \boxed{U=V\left(1-\frac{M0}{M}\right)}. $$ 再代入質量流率：

Question 3

考慮如圖所示於斜板上具密度 $\rho$ 之不可壓縮等溫牛頓流體之流動。此流動被假設為二維且遠離其啟動位置，故可被近似為穩態且完全發展層流（fully-developed laminar flow）。

令流體厚度 $h$ 為常數，請找出流體於 $x$ 與 $y$ 方向之速度分量，其中 $g$ 為重力加速度。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考斜板上自由液膜的穩態、完全發展層流。取 $x$ 軸沿斜板向下坡方向，$y$ 軸垂直斜板並指向流體外側。重力在兩方向的分量分別為 $g\sin	heta$ 與 $-g\cos	heta$。 完全發展表示速度只隨 $y$ 改變；自由液面為大氣壓，且沿斜板方向沒有壓力梯度。斜板表面採無滑移條件，自由液面採零剪應力條件。 解題方法 不可壓縮流體的連續方程為 $$ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0. $$ 完全發展使 $\partial u/\partial x=0$，故 $\partial v/\partial y=0$。板面不透流，$v(0)=0$，因此全膜厚內 $$ v(y)=0. $$ 沿斜板方向的穩態動量方程為 $$ 0=-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\frac{d^2u}{dy^2} +ho g\sin	heta. $$ 自由液面為大氣壓，液膜厚度固定且沿 $x$ 方向均勻，因此 $\partial p/\partial x=0$，方程化為

Question 4

考慮如圖所示於傾斜閘門下方水流運動。流體為理想流體（不可壓縮且無摩擦力），其密度為 $\rho$ 。

請以圖示變數找出水流流量，其中垂直紙面間閘門寬度為 $b$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題用不可壓縮流體的連續方程式：穩定流動時，同一流管各截面的流量相同。流量等於截面積乘以該截面的平均流速。 解題方法 依圖取上游截面 1。該處水深為 $d1$，流速為 $u1$，垂直紙面的閘門寬度為 $b$，因此過水截面積為 $b d1$。所以 $$ Q=A1u1=(b d1)u1 $$ 若以單位寬度流量表示，則 $$ q=\frac{Q}{b}=d1u1 $$

Question 5

考慮某不可壓縮黏性流體於水平直管內之穩態流動，其壓力差 $\Delta p$ 與管長 $\ell$ 、管徑 $d$ 、管壁表面粗糙度 $e$ 、平均流速 $V$ 、流體密度 $\rho$ 與流體動力黏性 $\mu$ 有關。

請找出可用於實驗之無量綱（無因次）參數。

Accepted Answer

核心觀念

本題考「白金漢 $\Pi$ 定理」：若一個物理現象受多個有量綱變數控制，可利用基本量綱將變數組合成若干無量綱參數。無量綱參數能用於整理實驗結果，也可作為模型與原型相似分析的依據。

題目涉及的變數為壓力差 $\Delta p$ 、管長 $\ell$ 、管徑 $d$ 、粗糙度 $e$ 、平均流速 $V$ 、密度 $\rho$ 與動力黏性係數 $\mu$ ，共 $7$ 個變數。其基本量綱為質量 $M$ 、長度 $L$ 、時間 $T$ ，共 $3$ 個，因此可組成 $7-3=4$ 個獨立無量綱參數。

解題方法

各變數的量綱如下：

變數	量綱
$\Delta p$	$ML^{-1}T^{-2}$
$\ell$	$L$
$d$	$L$
$e$	$L$
$V$	$LT^{-1}$
$\rho$	$ML^{-3}$
$\mu$	$ML^{-1}T^{-1}$

選取 $\rho$ 、 $V$ 、 $d$ 作為重複變數。這三者涵蓋 $M,L,T$ 三種基本量綱，且彼此量綱獨立。其餘四個變數各自與重複變數組合，形成四個無量綱參數。

令各組合分別為：

\Pi_1=\Delta p\,\rho^a V^b d^c,\quad \Pi_2=\ell\,\rho^a V^b d^c,\quad \Pi_3=e\,\rho^a V^b d^c,\quad \Pi_4=\mu\,\rho^a V^b d^c

逐一令 $M,L,T$ 的指數為零，可得：

112 公務人員升官等薦任水利工程流體力學考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

112 年水利工程的其他科目

水利工程《流體力學》其他年度

112 公務人員升官等薦任 水利工程 流體力學 考古題詳解

第 一 題20 分

第 二 題20 分

第 三 題20 分

第 四 題20 分

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

112 年水利工程的其他科目

水利工程《流體力學》其他年度

112 公務人員升官等薦任水利工程流體力學考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分