114 公務人員升官等薦任 水利工程 流體力學 考古題詳解

114 年・公務人員升官等・薦任・水利工程
試題代碼 流體力學

第 一 題10 分

試說明牛頓流體（Newtonian fluid）與非牛頓流體（Non-Newtonian fluid）之差異，並舉工程案例說明之。

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核心觀念

本題考查流體的剪應力與剪切變形率（速度梯度）之關係，以及此關係在工程流動中的差異。牛頓流體與非牛頓流體的區分，關鍵在於剪應力是否與剪切變形率成線性比例。

解題方法

考場作答可先寫出剪應力本構關係，再說明流體黏度是否為常數，最後各舉一個工程案例。

對一維剪切流，牛頓黏性定律為

τ=μdudy\tau = \mu \frac{du}{dy}

其中 τ\tau 為剪應力、μ\mu 為動力黏度、du/dydu/dy 為垂直於流動方向的速度梯度，也就是剪切變形率。

牛頓流體符合上述線性關係；在固定溫度與壓力下，黏度 μ\mu 不隨剪切變形率改變。因此，剪切變形率加倍時，剪應力也加倍。常見例子有水、空氣及多數低黏度油品。在水利工程中，可用此模型分析渠道水流、管流及水工構造物附近的水流。

非牛頓流體不符合「剪應力與剪切變形率成正比且黏度為常數」的關係。其表觀黏度會隨剪切變形率改變，或流動須先克服一定的降伏剪應力。常見類型包括：

  • 剪稀（假塑性）流體：剪切變形率增加時，表觀黏度降低。泥漿、濃懸浮液及部分高分子溶液可呈此特性。
  • 剪稠（膨脹性）流體：剪切變形率增加時，表觀黏度升高。高濃度顆粒懸浮液可呈此特性。
  • 賓漢塑性流體：須先克服降伏剪應力 τy\tau_y 才開始流動；
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第 二 題20 分

下圖為水深 4 m4\ \mathrm{m} 的蓄水池剖面圖，池中水的密度為 ρw=1000 kg/m3\rho_w=1000\ \mathrm{kg/m^3}，蓄水池壁上安裝了斜板閘門 ABAB，閘門寬 10 m10\ \mathrm{m}，背面暴露在大氣中。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

計算作用在 ABAB 上的合力的垂直和水平分量的大小？

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核心觀念

靜水作用於平面閘門的壓力合力，方向垂直於閘門。水平方向分量可由閘門的垂直投影面積計算；垂直方向分量則由合力方向分解求得。池水與閘門背面大氣壓相抵，因此採用表壓計算。

解題方法

由圖可知，水深為 4 m4\ \mathrm{m}，閘門頂端 AA 在水面下 2 m2\ \mathrm{m}，底端 BB 位於池底。因此閘門的垂直高度為 2 m2\ \mathrm{m}，水平位移為 1 m1\ \mathrm{m}。

閘門長度為

L=22+12=5 mL=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{m}

閘門面積為

A=105 m2A=10\sqrt{5}\ \mathrm{m^2}

閘門形心位於水面下

hc=2+42=3 mh_c=\frac{2+4}{2}=3\ \mathrm{m}

閘門上的總壓力合力大小為

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第 三 題25 分

某艘郵輪被乘客抱怨船舶螺槳所產生的噪音，猜測可能是由於螺旋槳與船體之間的紊流效應所引起。貴單位受聘調查這個噪音的來源，將研究螺槳周圍的流場分布，並決定使用一個 1:91:9 比例的水槽模型來重現。

若船舶螺槳的轉速為 100 rpm100\ \mathrm{rpm}（Revolution Per Minute，每分鐘幾轉）：

（一）假設分別以福祿數 Froude number（Fr）及雷諾數 Reynolds number（Re）推估，請估算模型螺旋槳的轉速。（20分）

（二）請分析哪一種無因次數（Froude 或 Reynolds）較可能導致更好的模擬結果並說明你的依據？（5分）

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核心觀念

模型試驗要使模型與原型的主要無因次數相等，才能重現相似流況。本題的長度比例為

λL=LmLp=19\lambda_L=\frac{L_m}{L_p}=\frac{1}{9}

其中下標 mm 代表模型，pp 代表原型。假設模型與原型都使用水，且重力加速度、流體密度與動黏滯係數相同；螺槳幾何相似，特徵長度可取螺槳直徑 DD。

解題方法

（一）以福祿數相似推估轉速

福祿數為

Fr=VgLFr=\frac{V}{\sqrt{gL}}

令模型與原型的福祿數相等：

VmgLm=VpgLp\frac{V_m}{\sqrt{gL_m}}=\frac{V_p}{\sqrt{gL_p}}

因兩者重力加速度相同，且 Lm/Lp=1/9L_m/L_p=1/9，得

VmVp=LmLp=13\frac{V_m}{V_p}=\sqrt{\frac{L_m}{L_p}}=\frac{1}{3}

螺槳周邊的特徵速度與轉速及直徑成正比，亦即 V∝nDV\propto nD。因此

nmDmnpDp=13\frac{n_mD_m}{n_pD_p}=\frac{1}{3}

又 Dm/Dp=1/9D_m/D_p=1/9，所以

nmnp=1/31/9=3\frac{n_m}{n_p}=\frac{1/3}{1/9}=3

原型轉速 np=100 rpmn_p=100\ \mathrm{rpm}，故

nm=300 rpm\boxed{n_m=300\ \mathrm{rpm}}

（二）以雷諾數相似推估轉速

雷諾數為

Re=VLνRe=\frac{VL}{\nu}

令模型與原型雷諾數相等；兩者使用相同流體，故動黏滯係數 ν\nu 相同：

VmLmν=VpLpν⟹VmVp=LpLm=9\frac{V_mL_m}{\nu}=\frac{V_pL_p}{\nu} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_m}{V_p}=\frac{L_p}{L_m}=9
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第 四 題20 分

一流體流場可以表示如下式，假設所有的體力（body forces）皆可忽略。

u=3(x2−y2)u=3(x^2-y^2) v=−6xyv=-6xy

（一）本流體是否為不可壓縮（incompressible）。（5分）

（二）本流體是否為非旋流（irrotational）。（5分）

（三）求出該流場中任意一點沿 yy 方向的壓力梯度方程式，流體密度以 ρ\rho 表示。（10分）

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核心觀念

本題考查二維定常速度場的三項基本判斷：不可壓縮條件、非旋流條件，以及由歐拉運動方程求壓力梯度。已知速度分量為

u=3(x2−y2),v=−6xyu=3(x^2-y^2),\qquad v=-6xy

假設流體密度為常數 ρ\rho，且忽略體力。

（一）是否為不可壓縮流體

二維流場的不可壓縮條件為速度散度為零：

∇⋅V=∂u∂x+∂v∂y=0\nabla\cdot\mathbf{V} =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0

分別求偏導數：

∂u∂x=6x,∂v∂y=−6x\frac{\partial u}{\partial x}=6x,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-6x

因此

∇⋅V=6x−6x=0\nabla\cdot\mathbf{V}=6x-6x=0

對所有位置皆成立，所以此流場為不可壓縮流場。

（二）是否為非旋流

二維流場的 zz 方向渦度為

ωz=∂v∂x−∂u∂y\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}

若 ωz=0\omega_z=0，流場即為非旋流。由速度場可得

∂v∂x=−6y,∂u∂y=−6y\frac{\partial v}{\partial x}=-6y,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-6y

故

ωz=(−6y)−(−6y)=0\omega_z=(-6y)-(-6y)=0

對所有位置皆成立，所以此流場為非旋流。

（三）求沿 yy 方向的壓力梯度

忽略體力時，沿 yy 方向的歐拉運動方程為

ρDvDt=−∂p∂y\rho\frac{Dv}{Dt}=-\frac{\partial p}{\partial y}

因此

∂p∂y=−ρDvDt\frac{\partial p}{\partial y}=-\rho\frac{Dv}{Dt}

速度場未明示時間變化，視為定常流；物質加速度的 yy 分量為

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第 五 題25 分

一流體密度為 1040 kg/m31040\ \mathrm{kg/m^3}、穩態流經圖中所示的水平放置的矩形水箱，由三個固定管口接出，各管口截面分別為 A1=0.04 m2A_1=0.04\ \mathrm{m^2}、A2=0.01 m2A_2=0.01\ \mathrm{m^2}、A3=0.06 m2A_3=0.06\ \mathrm{m^2}，假設已知流速為 V1=3i m/s\mathbf{V}_1=3\mathbf{i}\ \mathrm{m/s}、V2=6j m/s\mathbf{V}_2=6\mathbf{j}\ \mathrm{m/s}，i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 分別代表 xx、yy 方向之單位向量。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試求通過 A3A_3 面積之流速。（5分）

（二）因水平放置，所以不考慮重力，請求出該控制體積於水平方向所受之力。（20分）

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核心觀念

本題考穩態控制體的質量守恆與線動量方程式。質量守恆用來求 A3A_3 的流速；線動量方程式則用流入、流出的動量通量差，求流體所受合力：

∑F=ρ(∑outAVV−∑inAVV)\sum \mathbf F =\rho\left(\sum_{\rm out} A V\mathbf V-\sum_{\rm in} A V\mathbf V\right)

圖示中，A1A_1 的流速沿 +x+x 方向流入水箱，A2A_2 沿 +y+y 方向流出；A3A_3 沿斜管流出，方向與向下的垂直方向夾 60∘60^\circ。以下以各管口的表壓為零計算動量造成的合力；若要求實際管壁受力，還需知道各管口的壓力。

解題方法

先依流入、流出方向列質量守恆。各管口的體積流率為

Q1=A1V1=0.04(3)=0.12 m3/sQ_1=A_1V_1=0.04(3)=0.12\ \mathrm{m^3/s} Q2=A2V2=0.01(6)=0.06 m3/sQ_2=A_2V_2=0.01(6)=0.06\ \mathrm{m^3/s}

因此 A1A_1 流入量等於 A2A_2、A3A_3 流出量之和：

Q1=Q2+Q3Q_1=Q_2+Q_3 Q3=0.12−0.06=0.06 m3/sQ_3=0.12-0.06=0.06\ \mathrm{m^3/s}

故 A3A_3 的流速大小為

V3=Q3A3=0.060.06=1 m/sV_3=\frac{Q_3}{A_3} =\frac{0.06}{0.06} =1\ \mathrm{m/s}

由圖示方向，A3A_3 流速向右下方，其速度向量為

V3=V3(sin⁡60∘ i−cos⁡60∘ j)=0.866 i−0.5 j m/s\mathbf V_3 =V_3(\sin60^\circ\,\mathbf i-\cos60^\circ\,\mathbf j) =0.866\,\mathbf i-0.5\,\mathbf j\ \mathrm{m/s}

接著套用穩態線動量方程式。各管口的動量通量向量為

流出：ρA2V2V2+ρA3V3V3\text{流出：}\quad \rho A_2V_2\mathbf V_2+\rho A_3V_3\mathbf V_3
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