110 年公務人員升官等薦任水利工程考古題與詳解

Question 1

一個 U 形管固定在靜止平台 $B$ 上面，若平台 $B$ 以 $4\ \mathrm{rad/s}$ 對 $A$-$A$ 軸旋轉，U 形管兩邊水面的高差為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 平台以角速度 $\omega$ 穩定旋轉後，水在旋轉座標系中呈靜力平衡。除重力外，還須考慮離心加速度，因此壓力梯度為 $$ \frac{\partial p}{\partial r}=\rho\omega^2r, \qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g. $$ 兩側水面皆為大氣壓面，旋轉液體的自由液面會隨半徑增加而升高。 解題方法 由圖可讀出旋轉軸至右側管中心的距離為 $20\ \mathrm{cm}$，兩管中心距離也是 $20\ \mathrm{cm}$。因此，右側管位於半徑 $r1=0.20\ \mathrm{m}$，左側管位於半徑 $r2=0.40\ \mathrm{m}$。 沿自由液面，壓力不變，故 $$ dp=\frac{\partial p}{\partial r}dr+\frac{\partial p}{\partial z}dz=0, $$ 整理得

Question 2

一個球形筒子，半徑 $R=1\ \mathrm{m}$，其底部有開孔用以排水，開孔的直徑為 $1\ \mathrm{cm}$，且通過開孔的流速 $ve=\sqrt{2gh}$，其中 $h$ 為液面到開孔的距離，如下圖所示。 當圓筒為半滿時，需多少時間方可將水排完？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 球形筒內水深改變時，水平截面積也會改變，因此不能直接套用定截面水槽的排水公式。由連續方程，排水時間可寫成 $$ dt=\frac{dV}{Ao ve} $$ 其中 $dV$ 是水量的減少量，$Ao$ 是底部開孔面積，$ve=\sqrt{2gh}$ 是題目給定的孔口流速。 解題方法 令 $h$ 為自球底開孔向上量的水深。球形筒在水面處的水平截面半徑滿足 $$ r^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2 $$ 故截面積及水量微分為 $$ A(h)=\pi(2Rh-h^2),\qquad dV=A(h)\,dh $$ 球形筒半滿時，水面恰在球心高度，所以初始水深 $h0=R=1\ \mathrm{m}$；排空時 $h=0$。孔口直徑 $d=0.01\ \mathrm{m}$，面積為 $$ Ao=\frac{\pi d^2}{4} $$ 將排水速率代入並由初始水深積分至零：

Question 3

雷諾數及福祿數為何？其物理意義為何？通常在何種情況下會用到？

Accepted Answer

核心觀念 本題考流體力學中的兩個無因次數：雷諾數（Reynolds number）與福祿數（Froude number）。它們分別比較不同的流動效應： - 雷諾數比較慣性力與黏滯力，用來判斷黏滯效應對流動的影響程度。 - 福祿數比較慣性力與重力效應，常用於有自由液面的流動分析。 解題方法與定義 一、雷諾數 以特徵長度 $L$、特徵流速 $V$、流體密度 $ho$ 與動黏滯係數 $\mu$ 表示： $$ Re=\frac{ho V L}{\mu}=\frac{V L}{
u} $$ 其中 $
u=\mu/ho$ 為動黏滯係數。雷諾數可由慣性力與黏滯力的量級比值推得： $$ Re\sim\frac{	ext{慣性力}}{	ext{黏滯力}} $$ $Re$ 越大，慣性效應相對越重要；$Re$ 越小，黏滯效應相對越重要。 物理意義與用途：常用來判斷管流或邊界層的流動型態，分析層流、轉換流與紊流，並作為模型試驗與原型流動相似分析的無因次參數。圓管流的層流與紊流分界常以臨界雷諾數約 $2{,}300$ 作為工程參考；此值適用於圓管流，不能直接當作所有流場的通用界線。 二、福祿數 以特徵流速 $V$、重力加速度 $g$ 與特徵長度 $L$ 表示：

Question 4

利用泵將水由水井往上抽到水桶，再經由水桶側邊的三角形堰排出。桶底到水井液面的高度為 $2\ \mathrm{m}$ ；水管的長度為 $2.5\ \mathrm{m}$ ，管徑為 $5\ \mathrm{cm}$ ，其摩擦因子為 $0.02$ ；水管中的水流速度為 $v$ ；泵可提供的水頭為 $20\ \mathrm{m}$ ；三角形堰的角度為 $60^\circ$ ，堰底距水桶底部的高度為 $1\ \mathrm{m}$ ，且三角形堰無能量損失。

試推求水桶的水深 $h$ 為何？假設水流經水井進入水管及由水管進入水桶的能量損失分別為 $0.5\frac{v^2}{2g}$ 及 $\frac{v^2}{2g}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題結合泵浦能量方程與理想三角形堰流量公式。穩定水位時，進入水桶的管流量等於三角形堰排出的流量。 令水桶底部為基準面，水桶自由液面高程為 $h$，井中液面高程為 $-2\ \mathrm{m}$。三角形堰堰頂高出桶底 $1\ \mathrm{m}$，因此堰上水頭為 $H=h-1$。 解題方法 先由井中自由液面至水桶自由液面套用能量方程。兩處液面速度均可忽略，泵提供水頭 $20\ \mathrm{m}$，高程差為 $2+h$。各項損失係數為： $$ K{\mathrm{總}} =0.5+\frac{fL}{D}+1 =0.5+\frac{0.02(2.5)}{0.05}+1 =2.5 $$ 所以： $$ 20=(2+h)+2.5\frac{v^2}{2g} $$ 整理得： $$ \frac{v^2}{2g}=\frac{18-h}{2.5} $$ 水管流量為 $Qp=Av$，其中 $A=\frac{\pi D^2}{4}$。 再推導理想三角形堰流量。令 $\eta$ 為自堰頂向上的高度，則該水平薄層寬度為 $2\eta	an(30^\circ)$，薄層距自由液面水頭為 $H-\eta$，流速為 $\sqrt{2g(H-\eta)}$。積分可得：

Question 5

水流由管徑 $40\ \mathrm{mm}$ 的水管射出，其流量為 $0.008\ \mathrm{m^3/s}$ ，之後水流會撞擊到圓盤閥（disk valve）。當圓盤閥距管口 $x=1\ \mathrm{mm}$ 時，圓盤閥承受多少力？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查定常流的線動量方程。水柱垂直撞擊圓盤後，沿圓盤表面向四周流出；流出方向與水柱原本的軸向垂直，因此流出水流的軸向速度分量為零。圓盤所受力等於水流軸向動量流率的改變量。 解題方法 取水柱流動方向為正方向，對撞擊區域的水流使用定常線動量方程。水柱出口速度為 $$ V1=\frac{Q}{A} =\frac{0.008}{\frac{\pi}{4}(0.040)^2} =6.37\ \mathrm{m/s} $$ 水流撞擊圓盤後沿盤面流出，故軸向出口速度 $V{2x}=0$。忽略水柱與空氣的作用，且自由水柱及盤面流出的水流均為大氣壓，圓盤所受軸向力大小為

110 公務人員升官等薦任水利工程流體力學考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

核心觀念

解題方法與定義

一、雷諾數

二、福祿數

第四題20 分

第五題20 分

其他考古題

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第 二 題20 分

第 三 題20 分