112 公務人員升官等薦任 水利工程 水文學 考古題詳解

112 年・公務人員升官等・薦任・水利工程
試題代碼 水文學

第 一 題20 分

降雨紀錄常因人為因素或雨量計故障而有缺漏。對於缺漏之雨量紀錄，可應用附近較完整之水文站紀錄，以填補該站之漏失紀錄。請說明降雨紀錄補遺的方法有哪幾種？

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核心觀念

本題考查的是：某雨量站因觀測中斷而缺少某一時段的降雨量時，如何利用周邊雨量站同一時段的紀錄估計缺值。選站時宜挑選距離近、地形與氣候條件相似且資料完整的測站；常見方法有算術平均法、常態比值法、距離加權法及迴歸分析法。

解題方法

設測站 xx 的降雨紀錄缺漏，附近共有 nn 個資料完整的參考站。各站缺漏時段的降雨量為 PiP_i；NxN_x 與 NiN_i 分別代表測站 xx 與參考站 ii 的長期平均年雨量。

  1. 算術平均法 當參考站的長期平均年雨量與缺值站相近時，可直接取周邊站同一時段降雨量的算術平均。常用判準是參考站的正常年雨量與缺值站相差均在 10%10\% 以內：

Px=1n∑i=1nPiP_x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i

此法簡單，但未調整各站的氣候差異。

  1. 常態比值法（正常雨量比值法） 當周邊站與缺值站的正常年雨量差異較大時，以正常年雨量比值調整各參考站的觀測值，再取平均：

Px=Nxn∑i=1nPiNiP_x=\frac{N_x}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{P_i}{N_i}

此法將各參考站的降雨量依其長期氣候特性校正，適用於測站間年雨量差異明顯的情形。

  1. 距離加權法（反距離法） 依參考站與缺值站的距離給予不同權重，距離越近，權重越大。一般形式為：
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第 二 題20 分

某一特定流域的面積為 550550 公頃，根據量測紀錄已知該流域之每年平均降雨為 2,320 mm2{,}320\ \mathrm{mm}。若經過該流域之河川，平均每年有 0.19 m3/s0.19\ \mathrm{m^3/s} 之淨出流量，請推求該流域之年蒸發量（mm\mathrm{mm}）。

假設該流域地下水進出量相等，且無儲蓄量改變。11 公頃 =10,000 m2=10{,}000\ \mathrm{m^2}。

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核心觀念

本題考驗流域的水量平衡。以一年為計算期間，若地下水進出量相等，且流域儲蓄量沒有改變，則年降雨量扣除年蒸發量，等於年河川淨出流量換算成的水深：

P−E=RP-E=R

其中 PP 為年降雨深、EE 為年蒸發深、RR 為年逕流深。注意，河川流量的單位是 m3/s\mathrm{m^3/s}，須先換算成全年體積，再除以流域面積，才能與降雨量比較。

解題方法

流域面積換算為：

A=550×10,000=5,500,000 m2A=550\times 10{,}000=5{,}500{,}000\ \mathrm{m^2}

一年以 365365 日計，年秒數為：

T=365×24×60×60=31,536,000 sT=365\times 24\times 60\times 60=31{,}536{,}000\ \mathrm{s}

河川年淨出流體積為：

V=QT=0.19×31,536,000=5,991,840 m3V=QT=0.19\times31{,}536{,}000 =5{,}991{,}840\ \mathrm{m^3}

換算成流域上的逕流深：

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第 三 題20 分

經由實驗與採樣量測後，已知此一集水區土壤之初始入滲率（initial infiltration rate）為 2.7 in/hr2.7\ \mathrm{in/hr}，平衡入滲率（equilibrium infiltration rate）為 0.55 in/hr0.55\ \mathrm{in/hr}，且入滲常數 kk 為 0.250.25。

（一）請寫出此一集水區之霍頓（Horton）入滲公式。

（二）請計算出此一集水區 3030 小時之累積入滲量。

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核心觀念

本題考霍頓（Horton）入滲公式及其累積入滲量。入滲能力隨時間增加而由初始入滲率 f0f_0 衰減，最後趨近平衡入滲率 fcf_c，其公式為

f(t)=fc+(f0−fc)e−ktf(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}

其中 f(t)f(t) 為 tt 時刻的入滲率，kk 為入滲衰減常數。本題給定 f0=2.7 in/hrf_0=2.7\ \mathrm{in/hr}、fc=0.55 in/hrf_c=0.55\ \mathrm{in/hr}、k=0.25k=0.25。

解題方法

（一）將已知數值代入霍頓公式：

f(t)=0.55+(2.7−0.55)e−0.25t\boxed{f(t)=0.55+(2.7-0.55)e^{-0.25t}}

整理得

f(t)=0.55+2.15e−0.25t in/hr\boxed{f(t)=0.55+2.15e^{-0.25t}\ \mathrm{in/hr}}

其中 tt 以小時計。

（二）累積入滲量為入滲率對時間的積分：

F(T)=∫0Tf(t) dt=∫0T[fc+(f0−fc)e−kt]dtF(T)=\int_0^T f(t)\,dt =\int_0^T\left[f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}\right]dt

積分後：

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第 四 題20 分

位於一非限制含水層水井之出水量為 0.007 m3/s0.007\ \mathrm{m^3/s}。於未抽水前，水井中之起始水位紀錄為 11.5 m11.5\ \mathrm{m}。

在經過一段長時間抽水後，位於 100 m100\ \mathrm{m} 與 600 m600\ \mathrm{m} 處觀測井之穩定水位紀錄分別為 6.3 m6.3\ \mathrm{m} 及 10.5 m10.5\ \mathrm{m}，試計算此含水層的水力傳導度（m/s\mathrm{m/s}）。

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核心觀念

本題考查非限制含水層在穩定抽水時的徑向地下水流，以及利用觀測井的水位資料求水力傳導度 KK。採用穩定流的 Dupuit–Thiem 公式：

Q=πK(h22−h12)ln⁡(r2/r1)Q=\frac{\pi K(h_2^2-h_1^2)}{\ln(r_2/r_1)}

其中 QQ 為抽水量，h1、h2h_1、h_2 為兩觀測井相對於不透水層底部的飽和水深，r1、r2r_1、r_2 為觀測井至抽水井的距離。

解題方法

題目給出兩口觀測井的距離為 100 m100\ \mathrm{m} 與 600 m600\ \mathrm{m}。未抽水前的初始水位 11.5 m11.5\ \mathrm{m} 作為不受抽水影響的遠處水位基準，因此兩觀測井的水深分別為：

h1=11.5−6.3=5.2 mh_1=11.5-6.3=5.2\ \mathrm{m} h2=11.5−10.5=1.0 mh_2=11.5-10.5=1.0\ \mathrm{m}

但這裡的差值代表降深，不能直接代入非限制含水層公式中的飽和水深。

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第 五 題20 分

根據某特定河川過去 100100 年之洪水資料，可計算出該河川之平均年洪水量為 6,800 m3/s6{,}800\ \mathrm{m^3/s}，且其標準偏差為 1,600 m3/s1{,}600\ \mathrm{m^3/s}，假設此河川流量適合極端值第一型分布（extreme value type I distribution）。

極端值第一型分布之頻率因子 KTK_T（frequency factor）可表示為：

KT=6π{−ln⁡[−ln⁡(1−1T)]−0.5772}K_T=\frac{\sqrt{6}}{\pi}\left\{-\ln\left[-\ln\left(1-\frac{1}{T}\right)\right]-0.5772\right\}

其中，TT 為重現期，KTK_T 稱為頻率因子。

（一）試計算該河川重現期為 4040 年之流量值。

（二）試計算該河川次年將發生超過 12,500 m3/s12{,}500\ \mathrm{m^3/s} 流量之機率。

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核心觀念

本題考查極端值第一型分布（Extreme Value Type I distribution，又稱 Gumbel 分布）的頻率分析。重現期 TT 年洪水量的頻率因子為

KT=6π{−ln⁡[−ln⁡(1−1T)]−0.5772}K_T=\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left\{-\ln\left[-\ln\left(1-\frac{1}{T}\right)\right]-0.5772\right\}

洪水量 QTQ_T 可由平均值 Qˉ\bar Q、標準偏差 ss 與頻率因子計算：

QT=Qˉ+KTsQ_T=\bar Q+K_Ts

題給 Qˉ=6,800 m3/s\bar Q=6{,}800\ \mathrm{m^3/s}、s=1,600 m3/ss=1{,}600\ \mathrm{m^3/s}。次年超過指定流量的機率，則先將流量標準化求頻率因子，再由 Gumbel 分布反算年超越機率。

解題方法

（一）重現期 40 年之流量

代入 T=40T=40：

K40=6π{−ln⁡[−ln⁡(1−140)]−0.5772}=6π{−ln⁡[−ln⁡(0.975)]−0.5772}≈2.048\begin{aligned} K_{40} &=\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left\{-\ln\left[-\ln\left(1-\frac{1}{40}\right)\right]-0.5772\right\}\\ &=\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left\{-\ln[-\ln(0.975)]-0.5772\right\}\\ &\approx 2.048 \end{aligned}

因此：

Q40=Qˉ+K40s=6,800+(2.048)(1,600)≈10,077 m3/s\begin{aligned} Q_{40} &=\bar Q+K_{40}s\\ &=6{,}800+(2.048)(1{,}600)\\ &\approx 10{,}077\ \mathrm{m^3/s} \end{aligned}

重現期 40 年的洪水量約為 10,077 m3/s10{,}077\ \mathrm{m^3/s}。

（二）次年流量超過 12,500 m3/s12{,}500\ \mathrm{m^3/s} 的機率

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