114 公務人員升官等薦任 氣象 大氣動力學 考古題詳解

114 年・公務人員升官等・薦任・氣象
試題代碼 大氣動力學

第 一 題20 分

試由垂直動量控制方程式（不考慮摩擦力），以尺度分析方法說明，擾動場在何種情況必須考慮非靜力的情況；並由此說明大尺度運動，乃至強烈颱風眼牆運動，大致處於靜力平衡。

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核心觀念

本題考查垂直動量方程式中的靜力平衡近似，以及以尺度分析判斷何時不可忽略垂直加速度。靜力平衡是指垂直方向的氣壓梯度力與重力大致平衡：

−1ρ∂p∂z−g≃0,∂p∂z≃−ρg.-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g \simeq 0, \qquad \frac{\partial p}{\partial z}\simeq-\rho g .

不考慮摩擦力時，垂直動量控制方程式為

DwDt=−1ρ∂p∂z−g,\frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g ,

其中 ww 是垂直速度，D/DtD/Dt 是隨體導數，包含局地變化與平流。若垂直加速度相較於氣壓梯度力、重力很小，便可採用靜力近似；若不可忽略，則須使用非靜力方程式。

解題方法與尺度分析

令擾動場的水平尺度為 LL、垂直尺度為 HH、水平風速為 UU、垂直速度為 WW、特徵時間為 TT。垂直加速度的尺度可估為

DwDt∼WT+UWL+W2H.\frac{Dw}{Dt} \sim \frac{W}{T}+\frac{UW}{L}+\frac{W^2}{H}.

其中三項分別代表局地加速度、水平平流造成的垂直加速度，以及垂直平流造成的垂直加速度。垂直動量方程式中的重力尺度為 gg；若以氣壓垂直尺度 HH 估算，氣壓梯度加速度尺度約為 p/(ρH)p/(\rho H)，在近似靜力的背景態中與 gg 同階。因此，可用無因次比值衡量垂直加速度相對於主要垂直力的大小：

ϵ∼W/T+UW/L+W2/Hg.\epsilon \sim \frac{W/T+UW/L+W^2/H}{g}.
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第 二 題20 分

試由大氣熱力能量方程式，推導出飽和濕空氣的相當位溫及說明其物理意義，同時證明在運動時其為近乎保守量（假設無其他非絕熱過程）。

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核心觀念

本題考查飽和濕空氣的熱力能量方程式，以及如何把水氣凝結釋放的潛熱納入位溫定義。推導的核心是：飽和空氣上升時，水氣凝結釋熱會抵銷一部分膨脹冷卻；在近似絕熱的運動中，將這項潛熱效應納入後，可定義一個近乎不變的量，稱為相當位溫 θe\theta_e。

以下採用常見的氣象近似：空氣視為理想氣體，水氣混合比 rsr_s 相對小，且在積分時將比熱 cpc_p 與汽化潛熱 LL 視為常數。

解題方法與推導

令 TT 為氣溫、pp 為氣壓、rsr_s 為飽和水氣混合比。飽和濕空氣的熱力能量方程式可寫成

cp dT−α dp=−L drs,c_p\,dT-\alpha\,dp=-L\,dr_s,

其中 α\alpha 是比體積。式中的負號表示：飽和水氣混合比減少，即 drs<0dr_s<0 時，凝結釋放潛熱，使空氣增暖。

利用理想氣體關係 α=RdT/p\alpha=R_dT/p，並定義

κ=Rdcp,θ=T(p0p)κ,\kappa=\frac{R_d}{c_p}, \qquad \theta=T\left(\frac{p_0}{p}\right)^\kappa,

可得位溫的微分關係

dln⁡θ=dTT−κdpp=−LcpT drs.d\ln\theta =\frac{dT}{T}-\kappa\frac{dp}{p} =-\frac{L}{c_pT}\,dr_s.

這個式子顯示，飽和水氣凝結時 drs<0dr_s<0，位溫 θ\theta 會增加；因此，單獨的位溫並非飽和濕絕熱運動中的守恆量。

若在潛熱項中以代表性溫度 T∗T_* 取代變動的 TT，則

dln⁡θ≃−LcpT∗ drs.d\ln\theta \simeq-\frac{L}{c_pT_*}\,dr_s.

整理為

d(ln⁡θ+LrscpT∗)≃0.d\left(\ln\theta+\frac{Lr_s}{c_pT_*}\right)\simeq 0.

因此可定義飽和濕空氣的相當位溫為

θe=θexp⁡(LrscpT∗)\boxed{ \theta_e =\theta\exp\left(\frac{Lr_s}{c_pT_*}\right) }

常見的近似寫法取 T∗=TT_*=T：

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第 三 題20 分

由氣壓座標之基本方程，導出熱力風方程式，由此說明在北半球的地轉風向隨高度轉變與冷、暖平流的關係，並由此說明在非洲撒哈拉沙漠如何在低對流層形成東風噴流。

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核心觀念

本題考查氣壓座標下，如何由靜力平衡與地轉風定義推導熱力風方程式，再用地轉風的垂直切變判斷冷、暖平流，最後解釋撒哈拉沙漠低對流層東風噴流。

熱力風不是一個獨立的風，而是上下兩層地轉風的向量差；它反映水平溫度梯度造成的地轉風垂直切變。令 xx 向東、yy 向北，地轉風為

ug=−1f∂Φ∂y,vg=1f∂Φ∂x,u_g=-\frac{1}{f}\frac{\partial \Phi}{\partial y}, \qquad v_g=\frac{1}{f}\frac{\partial \Phi}{\partial x},

其中 f>0f>0 表示北半球科氏參數，Φ=gZ\Phi=gZ 為位勢，ZZ 為等壓面高度。氣壓座標下的靜力平衡式為

∂Φ∂ln⁡p=−RT,\frac{\partial \Phi}{\partial \ln p}=-RT,

其中 RR 為乾空氣氣體常數，TT 為溫度。

解題方法與推導

對地轉風的兩個分量分別取 ln⁡p\ln p 偏微分，並使用靜力平衡式：

∂ug∂ln⁡p=−1f∂∂y(∂Φ∂ln⁡p)=Rf∂T∂y,∂vg∂ln⁡p=1f∂∂x(∂Φ∂ln⁡p)=−Rf∂T∂x.\begin{aligned} \frac{\partial u_g}{\partial \ln p} &=-\frac{1}{f}\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial \ln p}\right) =\frac{R}{f}\frac{\partial T}{\partial y},\\[4pt] \frac{\partial v_g}{\partial \ln p} &=\frac{1}{f}\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial \ln p}\right) =-\frac{R}{f}\frac{\partial T}{\partial x}. \end{aligned}

因高度增加時氣壓降低，故垂直座標 zz 增加相當於 ln⁡p\ln p 減少。因此，以氣壓座標表示的熱力風方程式為

∂ug∂ln⁡p=Rf∂T∂y,∂vg∂ln⁡p=−Rf∂T∂x\boxed{ \frac{\partial u_g}{\partial \ln p} =\frac{R}{f}\frac{\partial T}{\partial y}, \qquad \frac{\partial v_g}{\partial \ln p} =-\frac{R}{f}\frac{\partial T}{\partial x} }

亦可合併為向量式：

∂Vg∂ln⁡p=−Rf k×∇pT\boxed{ \frac{\partial \mathbf{V}_g}{\partial \ln p} =-\frac{R}{f}\,\mathbf{k}\times\nabla_p T }

積分於上下兩個等壓面 p1>p2p_1>p_2（p1p_1 較低、p2p_2 較高）之間，得到

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第 四 題20 分

請由高度座標的水平動量方程式（忽略摩擦力），推導出垂直渦度方程式，並討論其各項物理過程如何造成氣塊的絕對渦度隨運動的變化率，由此說明為何其非保守量，但位渦可為保守量，並解釋其原因。

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核心觀念

本題考查由高度座標水平動量方程式取水平旋度，推導垂直渦度方程式，並辨認絕對渦度的改變來源。

定義水平風向量、相對垂直渦度與水平散度為

Vh=(u,v),ζ=∂v∂x−∂u∂y,δ=∂u∂x+∂v∂y.\mathbf V_h=(u,v),\qquad \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},\qquad \delta=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.

絕對垂直渦度為 η=ζ+f\eta=\zeta+f，其中 ff 是科氏參數。高度座標下，忽略摩擦力的水平動量方程式可寫為

DuDt−fv=−1ρ∂p∂x,DvDt+fu=−1ρ∂p∂y,\frac{Du}{Dt}-fv=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}, \qquad \frac{Dv}{Dt}+fu=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y},

其中

DDt=∂∂t+u∂∂x+v∂∂y+w∂∂z.\frac{D}{Dt} =\frac{\partial}{\partial t} +u\frac{\partial}{\partial x} +v\frac{\partial}{\partial y} +w\frac{\partial}{\partial z}.

解題方法與推導

對第二個動量方程取 xx 偏微分，對第一個取 yy 偏微分，再相減。也就是對水平動量方程取垂直分量的旋度。

左側的平流項展開後包含水平渦度的平流、散度造成的伸展，以及垂直風切造成的傾斜效應：

∂∂x(DvDt)−∂∂y(DuDt)=DζDt+ζδ+∂v∂z∂w∂x−∂u∂z∂w∂y.\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Dv}{Dt}\right) -\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{Du}{Dt}\right) = \frac{D\zeta}{Dt} +\zeta\delta +\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial y}.

科氏力項的旋度為

−∂(fu)∂x−∂(fv)∂y=−fδ−v∂f∂y.-\frac{\partial(fu)}{\partial x} -\frac{\partial(fv)}{\partial y} =-f\delta-v\frac{\partial f}{\partial y}.

若採用 ff 平面近似，ff 為常數，最後一項為零。右側壓力梯度力的旋度則為

∂∂x(−1ρ∂p∂y)−∂∂y(−1ρ∂p∂x)=1ρ2(∂ρ∂x∂p∂y−∂ρ∂y∂p∂x).\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}\right) -\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}\right) = \frac{1}{\rho^2} \left( \frac{\partial \rho}{\partial x}\frac{\partial p}{\partial y} -\frac{\partial \rho}{\partial y}\frac{\partial p}{\partial x} \right).

因此，ff 平面上垂直渦度方程式為

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第 五 題20 分

北半球中緯度地轉平衡的近地西風氣流（速度 UU），若突然向北位移，依絕對角動量守恆，說明其會如何繼續運動。

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核心觀念

本題考查地轉平衡西風受到南北向位移後，依絕對角動量守恆產生的緯向運動。北半球中緯度地轉西風的速度為 U>0U>0，代表氣流向東；若氣流被突然向北移動，角動量守恆會使其東西向速度改變，進而造成南北向的科氏力偏轉。

解題方法

以地球自轉軸為基準，單位質量空氣的絕對角動量可寫成

M=(Ωacos⁡ϕ+u) acos⁡ϕ,M=(\Omega a\cos\phi+u)\,a\cos\phi,

其中 Ω\Omega 為地球自轉角速度、aa 為地球半徑、ϕ\phi 為緯度，uu 為相對地面的東向風速。空氣向北移動時，ϕ\phi 增大、cos⁡ϕ\cos\phi 減小；在 MM 守恆下，空氣必須增加相對東向速度 uu，以補償地球自轉部分的角動量減少。

也可在小幅南北位移下用局地座標說明。令北向位移為 y>0y>0，北半球科氏參數為 f>0f>0，初始東向速度為 UU。相對於地面的絕對角動量變化近似滿足

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