110 公務人員升官等薦任 氣象 大氣動力學 考古題詳解

110 年・公務人員升官等・薦任・氣象
試題代碼 大氣動力學

第 一 題10 分

對於在北半球中緯度靜止的近地平衡氣塊，若突然離開原來的位置：

(一) 說明以速度 VV 向北位移時，氣塊會如何偏轉及運動。（5 分）

(二) 說明以速度 UU 向東位移時，氣塊會如何偏轉及運動。（5 分）

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核心觀念

本題考查北半球中緯度近地面氣塊的慣性偏轉，以及科氏力對南北、東西向運動的作用。取東、北、鉛直向上為 x,y,zx,y,z 正方向，氣塊速度為 (u,v,w)(u,v,w)；在局地平面近似下，科氏加速度為

aC=−2Ω×V,\mathbf{a}_C=-2\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{V},

其水平分量為

ax=fv,ay=−fu,f=2Ωsin⁡ϕ>0,a_x=fv,\qquad a_y=-fu,\qquad f=2\Omega\sin\phi>0,

其中 ϕ\phi 為北半球緯度，ff 是科氏參數。題目所說「靜止的近地平衡氣塊」，表示氣塊原先相對地面靜止，水平壓力梯度力與其他背景力原本平衡；氣塊被推離後，開始有速度，科氏力便隨之產生。

解題方法

將位移方向轉成速度分量，代入科氏加速度公式，判斷加速度相對於運動方向是向右偏或向左偏。北半球的科氏偏向規則是：運動中的氣塊受科氏力作用，偏向其運動方向的右側。

（一）以速度 VV 向北位移

向北速度為 v=V>0v=V>0，向東速度為 u=0u=0。因此

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第 二 題15 分

(一) 在慣性絕對坐標（absolute frame coordinate）與旋轉坐標中，三維向量 A\mathbf{A} 對時間的全導數具有下列關係：

(dAdt)a=dAdt+Ω×A\left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\right)_a=\frac{d\mathbf{A}}{dt}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{A}

其中下標 aa 表示絕對坐標，Ω\boldsymbol{\Omega} 為旋轉坐標的固定轉動角速度。試利用此式推導出兩個坐標的運動方程式具有下列關係：

DVaDta=DVDt+2Ω×V−Ω2R\frac{D\mathbf{V}_a}{Dt_a}=\frac{D\mathbf{V}}{Dt}+2\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{V}-\Omega^2\mathbf{R}

其中 Va\mathbf{V}_a 為絕對坐標下的三維速度，V\mathbf{V} 為相對於旋轉坐標中心的三維速度，R\mathbf{R} 為垂直於旋轉軸（Ω\Omega 為其量值）的位置向量。（10 分）

(二) 由此運動方程式，說明地球自轉下的運動如何滿足地轉平衡以及靜力平衡。（5 分）

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核心觀念

本題考查旋轉坐標與慣性絕對坐標中的時間導數轉換，以及由此得到的運動方程式。關鍵是區分：

  • V\mathbf{V}：相對於旋轉坐標系的速度。
  • Va\mathbf{V}_a：慣性絕對坐標中的速度。
  • Ω\boldsymbol{\Omega}：旋轉坐標系的角速度向量。
  • R\mathbf{R}：位置向量在垂直旋轉軸方向上的分量。

旋轉坐標中的加速度會比相對加速度多出科氏項 2Ω×V2\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{V} 與離心項 −Ω2R-\Omega^2\mathbf{R}。

解題方法與推導

設位置向量為 r\mathbf{r}。由題目給定的時間導數轉換式，絕對速度為

Va=(drdt)a=drdt+Ω×r=V+Ω×r.\mathbf{V}_a =\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_a =\frac{d\mathbf{r}}{dt}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r} =\mathbf{V}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}.

再對 Va\mathbf{V}_a 取絕對時間導數，並對向量 V+Ω×r\mathbf{V}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r} 使用同一轉換式：

(dVadt)a=ddt(V+Ω×r)+Ω×(V+Ω×r).\left(\frac{d\mathbf{V}_a}{dt}\right)_a = \frac{d}{dt}\left(\mathbf{V}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}\right) +\boldsymbol{\Omega}\times \left(\mathbf{V}+\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}\right).

題設中 Ω\boldsymbol{\Omega} 固定，因此

ddt(Ω×r)=Ω×V.\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}\right) =\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{V}.

代入並整理：

(dVadt)a=dVdt+Ω×V+Ω×V+Ω×(Ω×r),\left(\frac{d\mathbf{V}_a}{dt}\right)_a = \frac{d\mathbf{V}}{dt} +\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{V} +\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{V} +\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}),

所以

(dVadt)a=dVdt+2Ω×V+Ω×(Ω×r).\left(\frac{d\mathbf{V}_a}{dt}\right)_a = \frac{d\mathbf{V}}{dt} +2\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{V} +\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}).

將位置分解為平行與垂直旋轉軸的部分。由向量三重積，

Ω×(Ω×r)=Ω(Ω⋅r)−Ω2r=−Ω2R,\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}) = \boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{r}) -\Omega^2\mathbf{r} =-\Omega^2\mathbf{R},
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第 三 題15 分

強烈颱風的軸對稱平均流場，處於梯度風（gradient wind）平衡及熱力風（thermal wind）平衡，而觀測指出颱風的絕對角動量由近地面向上遞減。請解釋為何低對流層的颱風中心必須是暖心低壓。（15 分）

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核心觀念

本題考查軸對稱颱風的梯度風平衡、熱力風平衡，以及絕對角動量隨高度的變化如何指示徑向溫度梯度。令 rr 為距颱風中心的半徑、vv 為切向風速、ff 為科氏參數，絕對角動量為

M=rv+12fr2.M=rv+\frac{1}{2}fr^2.

在固定半徑 rr 上，ff 與高度無關，因此觀測到 MM 向上遞減，表示切向風 vv 隨高度減弱。

解題方法

採用「角動量垂直變化 → 切向風垂直變化 → 梯度風壓力梯度垂直變化 → 溫度徑向梯度」的推導。

梯度風平衡可寫成

1ρ∂p∂r=v2r+fv.\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} =\frac{v^2}{r}+fv.

對應的位勢梯度關係為 ∂Φ/∂r=v2/r+fv\partial\Phi/\partial r=v^2/r+fv。在靜力平衡下，以氣壓為垂直座標有

∂Φ∂p=−RTp.\frac{\partial\Phi}{\partial p}=-\frac{RT}{p}.

將兩式交叉微分，得到軸對稱熱力風關係：

∂∂ln⁡p(v2r+fv)=−R∂T∂r.\frac{\partial}{\partial\ln p} \left(\frac{v^2}{r}+fv\right) =-R\frac{\partial T}{\partial r}.
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第 四 題15 分

(一) 請說明 Ertel 位渦的定義。絕熱、無摩擦力的氣塊運動須保守此位渦，但也須保守位溫，試說明為何需要利用前者才能決定氣流過山運動。（10 分）

(二) 說明颱風眼牆的雲對流潛熱加熱如何造成此位渦的改變。（5 分）

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核心觀念

本題考查 Ertel 位渦（Ertel potential vorticity, PV）的定義、絕熱無摩擦運動下的守恆性，以及位渦與位溫在描述地形上空氣流時的差異；第二小題則考查眼牆對流潛熱加熱如何改變位渦。

在旋轉座標系中，Ertel 位渦定義為

q=1ρηa⋅∇θ=1ρ(∇×u+2Ω)⋅∇θ,q=\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\eta}_a\cdot\nabla\theta =\frac{1}{\rho}\left(\nabla\times\mathbf{u}+2\boldsymbol{\Omega}\right)\cdot\nabla\theta ,

其中 ρ\rho 是空氣密度、θ\theta 是位溫、u\mathbf{u} 是相對地球的風場，而 ηa=∇×u+2Ω\boldsymbol{\eta}_a=\nabla\times\mathbf{u}+2\boldsymbol{\Omega} 是絕對渦度。位渦可視為絕對渦度在位溫梯度方向的投影，並按密度加權。

對絕熱、無摩擦的氣塊，位溫與 Ertel 位渦皆沿氣塊軌跡守恆：

DθDt=0,DqDt=0.\frac{D\theta}{Dt}=0,\qquad \frac{Dq}{Dt}=0.

位溫是單一純量，只標示氣塊所在的熱力學等熵面；位渦則結合了絕對渦度與位溫面的空間排列，保留氣流的旋轉結構資訊。

解題方法

（一）氣流過山：為何須用位渦

把氣流過山視為氣塊沿地形抬升、再下降的近似絕熱無摩擦運動。位溫守恆能指出氣塊仍沿同一位溫面移動，卻不能單獨決定它的風速或旋轉如何改變。不同的風場可以具有相同位溫，因此只知道 θ\theta，資訊不足以解出過山前後的氣流狀態。

位渦守恆提供了另一項動力限制。以局地近似、垂直位渦與水平位溫梯度主導的情形為例，

q≃1ρ(ζ+f)∂θ∂z,q \simeq \frac{1}{\rho}(\zeta+f)\frac{\partial\theta}{\partial z},
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第 五 題15 分

請說明斜壓對稱不穩定（baroclinic symmetric instability），並利用絕對動量面及等位溫面，以繪圖說明其發生機制（等熵面的慣性不穩定）。（15 分）

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核心觀念

斜壓對稱不穩定（baroclinic symmetric instability, SI）是斜壓流中的一種斜向不穩定。它考驗的是：氣塊沿著斜向路徑移動時，位溫與絕對動量的回復作用是否仍能維持穩定。

以 xx 軸沿鋒面、yy 軸跨鋒面、zz 軸向上，並考慮沿鋒面均勻的二維擾動。若氣塊近似無摩擦、絕熱移動，則其位溫 θ\theta 與絕對動量 MM 近似守恆。在直角座標與 ff 平面近似下，可寫成

M=u−fy,M=u-fy,

其中 uu 為沿鋒面風速，ff 為科氏參數。

判斷對稱穩定性，可比較等位溫面與等絕對動量面：

  • 靜力穩定：位溫隨高度增加，N2>0N^2>0。
  • 慣性穩定：氣塊沿水平面作跨鋒面位移時，科氏力與壓力梯度力能提供回復作用。
  • 斜向穩定：氣塊沿斜向位移時，靜力與慣性回復作用的合成仍能使其回到平衡位置。

若環境雖靜力穩定、也具慣性穩定，但等位溫面比等絕對動量面更陡，氣塊沿等絕對動量面作斜向位移時，會進入較低位溫的環境，因而受到浮力加速，形成斜向不穩定。此時氣塊在等熵面上的慣性穩定性為負，故也可稱為「等熵面的慣性不穩定」。

解題方法與發生機制

本題要求以絕對動量面與等位溫面說明機制，最直接的作法是在跨鋒面—高度剖面上標出兩類等值線，再沿氣塊守恆的等絕對動量面追蹤其位移。

以下示意北半球情況，水平軸向右為北、垂直軸向上；線條斜率僅表示相對陡峭程度：

高度 z
 ↑
 │ ／ 等位溫面 θ 高
 │ ／
 │ ／ 等位溫面較陡
 │ ／
 │ ／ ··········· 等絕對動量面 M
 │ ／ ···········
 │ A ─────────→ B 沿 M 面斜向位移
 └────────────────────→ 北（跨鋒面方向）
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第 六 題15 分

(一) 試以正壓大氣運動位渦保守，說明中緯度 Rossby 波產生的機制。（10 分）

(二) 說明強烈颱風亦可產生類似的 Rossby 波（稱 vortex Rossby 波）。（5 分）

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核心觀念

本題考的是位渦守恆與背景位渦梯度如何造成波動。正壓、無輻散的大氣中，氣塊的絕對渦度（亦即此模型中的位渦）守恆：

DDt(ζ+f)=0,\frac{D}{Dt}(\zeta+f)=0,

其中 ζ\zeta 為相對渦度，f=2Ωsin⁡ϕf=2\Omega\sin\phi 為行星渦度。中緯度的 β\beta 平面近似寫成 f=f0+βyf=f_0+\beta y，且 β=∂f/∂y>0\beta=\partial f/\partial y>0。

（一）中緯度 Rossby 波的產生機制

解題方法與推導

以平均西風 UU 為背景流，令小擾動流函數為 ψ′\psi'，則擾動風與相對渦度為

u′=−∂ψ′∂y,v′=∂ψ′∂x,ζ′=∇2ψ′.u'=-\frac{\partial\psi'}{\partial y},\qquad v'=\frac{\partial\psi'}{\partial x},\qquad \zeta'=\nabla^2\psi'.

在平均流均勻、忽略非線性擾動項的條件下，線性化位渦方程得

(∂∂t+U∂∂x)ζ′+βv′=0.\left(\frac{\partial}{\partial t} +U\frac{\partial}{\partial x}\right)\zeta' +\beta v'=0.

代入 v′=∂ψ′/∂xv'=\partial\psi'/\partial x 與 ζ′=∇2ψ′\zeta'=\nabla^2\psi'：

(∂∂t+U∂∂x)∇2ψ′+β∂ψ′∂x=0.\left(\frac{\partial}{\partial t} +U\frac{\partial}{\partial x}\right)\nabla^2\psi' +\beta\frac{\partial\psi'}{\partial x}=0.

設波動解為

ψ′=ψ^exp⁡ ⁣[i(kx+ly−ωt)],\psi'=\hat{\psi}\exp\!\left[i(kx+ly-\omega t)\right],

可得色散關係

ω=kU−βkk2+l2,cx=ωk=U−βk2+l2.\omega=kU-\frac{\beta k}{k^2+l^2}, \qquad c_x=\frac{\omega}{k} =U-\frac{\beta}{k^2+l^2}.

因此相對於平均流的相速為

cx−U=−βk2+l2<0.c_x-U=-\frac{\beta}{k^2+l^2}<0.

也就是 Rossby 波相對於背景流向西傳播；若平均西風足夠強，波相對地面仍可向東移動。

位渦守恆的物理圖像

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第 七 題15 分

試以緯向平均的準地轉運動，解釋觀測到中緯度的熱力直接環流（Hadley cell）及間接環流（Ferrel cell），並說明其環流型式。（15 分）

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核心觀念

本題考查緯向平均的大氣環流，以及準地轉近似下平均環流與渦旋（eddy）輸送如何共同維持熱力直接與間接環流。

緯向平均是對經度取平均，將風場分為平均量與渦旋擾動，例如 v=vˉ+v′v=\bar v+v'；平均環流描述南北向與垂直方向的整體空氣運動，渦旋輸送則包括中緯度斜壓波等天氣系統造成的熱量與動量輸送。

「直接」或「間接」是依環流相對於平均溫度場的升降方向判定：

  • 熱力直接環流：暖空氣上升、冷空氣下沉，環流方向與熱力穩定分層下的浮力作用一致。
  • 熱力間接環流：冷空氣上升、暖空氣下沉，環流方向與浮力作用相反，須由動力作用維持。

準地轉理論以地轉平衡為主，並考慮較小的南北向與垂直次級環流。其重要關係為熱成風平衡：

f∂uˉg∂p=Rp∂Tˉ∂yf\frac{\partial \bar u_g}{\partial p} = \frac{R}{p}\frac{\partial \bar T}{\partial y}

緯向平均的緯向動量與熱力方程，分別呈現平均環流、渦旋動量通量及渦旋熱通量的作用。以壓力座標表示，其結構可概括為：

∂uˉ∂t−fvˉ≈−∇⋅u′u′‾+Xˉ\frac{\partial \bar u}{\partial t}-f\bar v \approx -\nabla\cdot\overline{\boldsymbol{u}'u'}+\bar X ∂θˉ∂t+vˉa∂θˉ∂ϕ+ωˉ∂θˉ∂p≈Qˉ−∇⋅u′θ′‾\frac{\partial \bar\theta}{\partial t} +\frac{\bar v}{a}\frac{\partial\bar\theta}{\partial\phi} +\bar\omega\frac{\partial\bar\theta}{\partial p} \approx \bar Q-\nabla\cdot\overline{\boldsymbol{u}'\theta'}

其中 vˉ\bar v、ωˉ\bar\omega 是緯向平均的南北向風與垂直速度，Qˉ\bar Q 代表平均加熱，Xˉ\bar X 代表摩擦等外力；右側的渦旋通量散度表示渦旋對平均動量與熱量的輸送作用。

解題方法

先標出兩個環流的上升、下沉與水平支流方向，再依平均溫度場判斷其熱力性質；接著指出熱帶環流主要受緯向平均加熱驅動，中緯度環流主要由斜壓渦旋的熱量與動量輸送維持。

1. 熱力直接環流：Hadley cell

理想化的 Hadley 環流位於熱帶至副熱帶。赤道附近受強烈日照加熱，暖空氣上升；上層空氣向極地方向流動，在副熱帶下沉；近地面氣流再向赤道流回，形成閉合環流。

其經向剖面為：

  • 赤道附近：暖空氣上升。
  • 對流層上層：向極流動。
  • 副熱帶：空氣下沉。
  • 近地面：向赤道回流。
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