112 公務人員升官等薦任 氣象 大氣動力學 考古題詳解

（一）群速（group velocity）

核心觀念 群速是波包振幅包絡線或波群傳播的速度，通常代表波所攜帶的能量與資訊傳播速度。若波數為 $k$、角頻率為 $\omega$，相速度為 $c_p=\omega/k$，群速定義為

$$c_g=\frac{\partial \omega}{\partial k}.$$

對三維波，群速度向量為 $\mathbf{c}_g=\nabla_{\mathbf{k}}\omega$。

解題方法與物理意義 把一群波視為波數及頻率略有差異、相互疊加的波。各成分的相位形成包絡線，其移動速度即為群速。若介質具有色散性，$\omega$ 與 $k$ 的關係並非線性，群速通常不同於相速度；在大氣波動分析中，可用群速判斷波能量往何處傳播，以及波對背景流、地形或邊界的影響位置。

解題技巧與常見陷阱 群速是頻散關係 $\omega(k)$ 對波數的斜率，不是 $\omega/k$。只有在線性頻散關係下，群速才會與相速度相同。

---

（二）羅士比數（Rossby number）

核心觀念 羅士比數是描述慣性力相對於科氏力大小的無因次參數。取特徵速度 $U$、水平尺度 $L$ 及科氏參數 $f$，其典型定義為

$$Ro=\frac{U}{fL}.$$

此式由水平動量方程中的慣性加速度尺度 $U^2/L$，除以科氏加速度尺度 $fU$ 得到。

解題方法與物理意義 比較 $Ro$ 的大小即可判斷流動中慣性與地球自轉效應的重要性：

• $Ro\ll 1$：科氏力相對重要，流場常接近地轉平衡。
• $Ro\sim 1$：慣性與科氏力皆不可忽略。
• $Ro\gg 1$：慣性效應相對突出，科氏力對流動的影響較弱。

大尺度天氣系統的 $Ro$ 通常較小；小尺度對流或局地流動的 $Ro$ 通常較大。羅士比數也用於尺度分析，判斷動量方程中哪些項可以近似忽略。

解題技巧與常見陷阱 $Ro$ 無因次，且 $f=2\Omega\sin\phi$，隨緯度改變。靠近赤道時 $f$ 很小，標準形式的 $Ro$ 會變大，不能直接套用中高緯度的地轉近似。

---

（三）靜力平衡（hydrostatic balance）

核心觀念 靜力平衡是大氣垂直方向上，向上的氣壓梯度力與向下的重力近似平衡。若 $z$ 向上為正，垂直動量方程中的垂直加速度相較於這兩力可忽略，則

$$\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g,$$

其中 $p$ 為氣壓、$\rho$ 為空氣密度、$g$ 為重力加速度。

解題方法與物理意義 此關係來自垂直動量方程。向上移動時氣壓隨高度降低，氣壓梯度力向上；重力向下。兩者平衡表示大氣層的重量由其下方的氣壓支撐。

核心觀念

本題考查熱力學第一定律在大氣中的表達，以及絕熱氣塊上升時的溫度變化。對單位質量空氣而言，內能的改變來自熱量交換與外界對氣塊所作的功。大氣中常用下列形式表示：

$$\frac{Dq}{Dt} = c_p\frac{DT}{Dt} - \alpha\frac{Dp}{Dt}$$

其中，$D/Dt$ 為隨氣塊移動的物質導數，$q$ 為單位質量空氣吸收的熱量，$c_p$ 為定壓比熱，$T$ 為溫度，$\alpha=1/\rho$ 為比容，$p$ 為氣壓。左側表示氣塊吸收熱量的速率；右側第一項表示內能隨溫度改變的速率，第二項表示氣塊膨脹或壓縮所涉及的功率。

解題方法與物理意義

從單位質量空氣的熱力學第一定律出發：

$$\delta q = du + p\,d\alpha$$

理想氣體的內能變化為 $du=c_v\,dT$，狀態方程為 $p\alpha=RT$。代入並整理，可得焓形式：

$$\delta q = c_p\,dT-\alpha\,dp$$

除以時間，即為前述大氣能量方程式。其物理意義是：氣塊吸收的熱量，一部分改變空氣溫度與內能，另一部分用於克服周圍氣壓所作的膨脹功；若氣塊受壓縮，則外界對氣塊作功。

絕熱上升時溫度下降

核心觀念

本題考查波的頻散關係、相速與群速的差異，以及波包傳播時能量或訊號的傳遞特性。

• 相速 $c$：等相位面（例如波峰）的傳播速度。
• 群速 $c_g$：波包或調變訊號的傳播速度。若角頻率為 $\omega$，則 $c_g=\frac{\partial\omega}{\partial k}.$
• 頻散波：相速隨波數或波長而變，不同波數成分會以不同速度傳播。
• 非頻散波：相速不隨波數而變，各波數成分以相同相速傳播。

題目給定的淺水波與羅士比波頻散關係，分別呈現重力波的傳播特性與行星渦度梯度對波動的影響。

解題方法與物理特性

（一）淺水波與羅士比波的物理特性

淺水波

$c=u\pm\sqrt{gH}$

相速由背景風速 $u$ 與淺水重力波速 $\sqrt{gH}$ 組成。正負號代表波相對於背景流向東或向西傳播：

• $c=u+\sqrt{gH}$：相對背景流向東傳播。
• $c=u-\sqrt{gH}$：相對背景流向西傳播。

在 $g$、$H$ 與 $u$ 固定時，式中沒有波數 $k$，因此淺水波的相速不依波長而變。淺水重力波能以有限速度傳遞，且其波速受水深控制。

羅士比波

$c=u-\frac{\beta}{k^2}$

羅士比波受背景風速 $u$ 與科氏參數的緯向梯度 $\beta=df/dy$ 影響。相速相對背景流有 $-\beta/k^2$ 的修正；若 $\beta>0$，此項為負，表示波相對背景流向西傳播。背景流向東時，波的絕對相速仍取決於兩項合成，例如 $u>\beta/k^2$ 時 $c>0$，而 $u<\beta/k^2$ 時 $c<0$。

由於相速含有波數 $k$，羅士比波的傳播速度會隨波長改變；波數愈小（波長愈長），$1/k^2$ 愈大，西向相速修正的幅度愈大。

（二）群速推導、頻散性與訊號減弱

由 $c=\omega/k$，可得 $\omega=kc$，再對 $k$ 微分求群速。

淺水波群速

對應的角頻率為

$\omega=kc=k\left(u\pm\sqrt{gH}\right).$

在 $u$、$g$、$H$ 固定時，

核心觀念

本題考「固定地點觀測到的氣溫變化」與「移動觀測船量到的氣溫變化」之間的關係。氣溫的全微分可分解為局地變化率與水平平流變化率：

$$\frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{U}\cdot\nabla T$$

其中，$\frac{dT}{dt}$ 是隨著觀測者移動所量到的氣溫變化率；$\frac{\partial T}{\partial t}$ 是固定地點的局地氣溫變化率；$\mathbf{U}\cdot\nabla T$ 是觀測者移動穿越水平溫度梯度所造成的變化率。

（一）小島氣溫變化公式

以小島為固定地點，氣溫的時間變化率為局地變化率，因此：

$$\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{\text{小島}} = \left.\frac{dT}{dt}\right|_{\text{觀測船}} - \mathbf{U}_{\text{船}}\cdot\nabla T$$

也就是說，船上量到的氣溫變化包含兩部分：小島所在地本身隨時間的變化，以及觀測船向前航行、穿越水平溫度梯度所造成的變化。扣除後者，才能估算小島的局地氣溫變化。

（二）小島氣溫每小時的變化

觀測船量到氣溫每 3 小時下降 $1.5^\circ\mathrm{C}$，所以船上觀測的變化率為

$$\left.\frac{dT}{dt}\right|_{\text{觀測船}} = -\frac{1.5}{3} = -0.5^\circ\mathrm{C\,h^{-1}}$$

航道往東每 $100\ \mathrm{km}$ 氣溫下降 $3^\circ\mathrm{C}$，故東西向溫度梯度為

核心觀念

本題考查位渦守恆與地形越山氣流的關係。採用淺水模式的位渦，可寫為

$$q=\frac{\zeta+f}{h},$$

其中 $\zeta$ 是相對渦度，$f$ 是科氏參數，$h$ 是流體柱厚度。若假設流動絕熱、無摩擦，且沒有其他位渦源匯，則氣塊的位渦隨流守恆：

$$\frac{Dq}{Dt}=0, \qquad\text{亦即}\qquad \frac{D}{Dt}\left(\frac{\zeta+f}{h}\right)=0.$$

這表示氣塊移動時，絕對渦度與流體柱厚度的比值保持不變。因此，若流體柱厚度改變，絕對渦度 $\zeta+f$ 也必須相應改變。

解題方法

以青康藏高原為地形障礙，追蹤氣流越山前後的流體柱厚度變化。西風是由西向東吹，越過高原後的下風側在東側；東風則由東向西吹，下風側在西側。對北半球而言，$f>0$，氣旋式相對渦度為 $\zeta<0$。

（一）位渦守恆方程與物理意義

在淺水、絕熱、無摩擦近似下：

$$q=\frac{\zeta+f}{h}=\text{常數}, \qquad \frac{D}{Dt}\left(\frac{\zeta+f}{h}\right)=0.$$

其中 $\zeta+f$ 為絕對渦度，$h$ 為流體柱厚度。物理上，氣塊若進入較淺的流體柱，為了維持位渦不變，其絕對渦度須減小；若進入較深的流體柱，絕對渦度則須增大。此處「增大或減小」指絕對渦度的代數值變化。

（二）西風與東風越山後的渦度變化

令越山前流體柱厚度為 $h_1$，絕對渦度為 $\eta_1=\zeta_1+f$；越山後為 $h_2$、$\eta_2=\zeta_2+f$。位渦守恆給出

$$\frac{\eta_1}{h_1}=\frac{\eta_2}{h_2}, \qquad \eta_2=\eta_1\frac{h_2}{h_1}.$$

西風過山：下風側易形成氣旋式環流。 西風由高原西側吹向東側，下坡進入下風側時，流體柱厚度增加，亦即 $h_2>h_1$。因此