112 公務人員升官等薦任 電力工程 電機機械 考古題詳解

112 年・公務人員升官等・薦任・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題8 分

如圖一所示之電機，定子平均路徑 ℓs=50 cm\ell_s=50\ \mathrm{cm}，截面積 As=12 cm2A_s=12\ \mathrm{cm^2}。轉子平均路徑 ℓr=5 cm\ell_r=5\ \mathrm{cm}，其截面積假設同定子之截面積。轉子和定子間上下之氣隙長度各為 g=0.05 cmg=0.05\ \mathrm{cm}，而氣隙之截面積（考量邊緣效應）為 14 cm214\ \mathrm{cm^2}。空氣導磁率為 μ0=4π×10−7 Wb/(A⋅m)\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{Wb/(A\cdot m)}，磁路鐵芯之相對導磁係數為 μr=2000\mu_r=2000，繞組 N=200N=200 匝。此時，若有 10 A10\ \mathrm{A} 之電流通過線圈時：

（一）試計算電機磁路總磁阻。（8 分）

（二）試計算氣隙磁通。（7 分）

（三）試計算氣隙磁通密度。（5 分）

註：答案應標註單位。

圖一標示：AsA_s、gg、ℓr\ell_r、NN、ℓs\ell_s。

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核心觀念

磁路的磁阻為

R=ℓμA\mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu A}

其中鐵芯磁導率為 μ0μr\mu_0\mu_r，氣隙磁導率為 μ0\mu_0。依圖示，磁通依序通過定子鐵芯、兩個氣隙及轉子鐵芯，因此總磁阻是各段磁阻串聯相加。磁通由磁動勢與總磁阻求得：

Φ=NIR總\Phi=\frac{NI}{\mathcal{R}_{\text{總}}}

解題方法與計算

先將尺寸換算為 SI 制：

ℓs=0.50 m,ℓr=0.05 m,g=0.0005 m\ell_s=0.50\ \mathrm{m},\quad \ell_r=0.05\ \mathrm{m},\quad g=0.0005\ \mathrm{m} As=Ar=12×10−4=1.2×10−3 m2A_s=A_r=12\times10^{-4}=1.2\times10^{-3}\ \mathrm{m^2} Ag=14×10−4=1.4×10−3 m2A_g=14\times10^{-4}=1.4\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

鐵芯磁導率為

μ鐵=μ0μr=(4π×10−7)(2000) H/m\mu_{\text{鐵}}=\mu_0\mu_r =(4\pi\times10^{-7})(2000)\ \mathrm{H/m}

鐵芯磁阻包含定子與轉子兩段：

R鐵=ℓs+ℓrμ0μrAs=0.50+0.05(4π×10−7)(2000)(1.2×10−3)≈1.824×105 A⋅turn/Wb\mathcal{R}_{\text{鐵}} =\frac{\ell_s+\ell_r}{\mu_0\mu_r A_s} =\frac{0.50+0.05}{(4\pi\times10^{-7})(2000)(1.2\times10^{-3})} \approx 1.824\times10^5\ \mathrm{A\cdot turn/Wb}

兩個氣隙串聯，且各自長度為 gg：

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第 二 題10 分

一台 50 kVA50\ \mathrm{kVA}、6.6 kV/220 V6.6\ \mathrm{kV}/220\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 單相變壓器，轉換至二次側等效電阻和電抗值為 Req2=0.015 ΩR_{\mathrm{eq2}}=0.015\ \Omega、Xeq2=0.02 ΩX_{\mathrm{eq2}}=0.02\ \Omega。若不考慮磁化支路效應，且滿載時二次側負載端電壓為 220 V220\ \mathrm{V}，功率因數 0.80.8 落後：

（一）試計算一次側端電壓。

（二）試計算電壓調整率。

（每小題 10 分，共 20 分）

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核心觀念

本題考查變壓器滿載時的等效電路與電壓調整率。忽略磁化支路後，可將變壓器視為理想變壓器串聯二次側等效阻抗：

Zeq2=Req2+jXeq2=0.015+j0.02 ΩZ_{\mathrm{eq2}}=R_{\mathrm{eq2}}+jX_{\mathrm{eq2}} =0.015+j0.02\ \Omega

二次側端電壓為 220 V220\ \mathrm{V}，功率因數 0.80.8 落後，表示負載電流落後端電壓，故以端電壓為相位基準時，電流相角為 −cos⁡−1(0.8)-\cos^{-1}(0.8)。

解題方法

滿載二次電流為

I2=SratedV2=50 000220=227.27 AI_2=\frac{S_{\mathrm{rated}}}{V_2} =\frac{50\,000}{220} =227.27\ \mathrm{A}

功率因數角為

ϕ=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ

因此

V‾2=220∠0∘ V,I‾2=227.27∠−36.87∘ A\underline V_2=220\angle 0^\circ\ \mathrm{V},\qquad \underline I_2=227.27\angle -36.87^\circ\ \mathrm{A}

由等效電路，二次側感應電壓為

E‾2=V‾2+I‾2Zeq2\underline E_2=\underline V_2+\underline I_2 Z_{\mathrm{eq2}}

將電流寫成直角座標：

I‾2=227.27(0.8−j0.6)=181.82−j136.36 A\underline I_2=227.27(0.8-j0.6) =181.82-j136.36\ \mathrm{A}

阻抗壓降為

I‾2Zeq2=(181.82−j136.36)(0.015+j0.02)=5.455+j1.364 V\begin{aligned} \underline I_2Z_{\mathrm{eq2}} &=(181.82-j136.36)(0.015+j0.02)\\ &=5.455+j1.364\ \mathrm{V} \end{aligned}

故

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第 三 題8 分

圖二所示為一直流短分路複激發電機，分激場繞組電阻 Rf=100 ΩR_f=100\ \Omega，串激場繞組電阻 Rs=0.05 ΩR_s=0.05\ \Omega，電樞電阻 Ra=0.1 ΩR_a=0.1\ \Omega。滿載時端電壓 Vt=200 VV_t=200\ \mathrm{V}，負載電流 IL=100 AI_L=100\ \mathrm{A}：

（一）試計算電樞電流 IaI_a。（8 分）

（二）試計算串激場繞組之消耗功率。（6 分）

（三）試計算電樞感應電壓 EaE_a。（6 分）

圖二電路標示：IaI_a、RaR_a、VfV_f、RsR_s、LsL_s、EaE_a、IfI_f、RfR_f、ILI_L、LfL_f、VtV_t。

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核心觀念

短分路複激發電機的分激場繞組並聯在電樞端，因此分激場電流 IfI_f 由電樞電流 IaI_a 分流；串激場繞組位於負載回路，電流等於負載電流 ILI_L。

依圖中電路：

Ia=IL+IfI_a=I_L+I_f

分激場繞組兩端電壓 VfV_f 比端電壓 VtV_t 高出串激場繞組的壓降，因此：

Vf=Vt+ILRs,If=VfRfV_f=V_t+I_LR_s,\qquad I_f=\frac{V_f}{R_f}

發電機的電樞感應電壓須補足電樞電阻壓降：

Ea=Vf+IaRaE_a=V_f+I_aR_a

解題方法

（一）電樞電流 IaI_a

串激場電流就是負載電流，故串激場壓降為：

ILRs=100×0.05=5 VI_LR_s=100\times0.05=5\ \mathrm{V}

短分路接法的分激場電壓為：

Vf=Vt+ILRs=200+5=205 VV_f=V_t+I_LR_s=200+5=205\ \mathrm{V}

因此分激場電流：

If=VfRf=205100=2.05 AI_f=\frac{V_f}{R_f}=\frac{205}{100}=2.05\ \mathrm{A}

由電樞電流分流關係：

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第 四 題10 分

一部三相 Y 接、220 V220\ \mathrm{V}、45 kVA45\ \mathrm{kVA}、44 極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 汽輪發電機，同步電抗 1.5 Ω1.5\ \Omega。若轉速為同步轉速，激磁電流調整至滿載時，功率因數 0.80.8 落後，忽略電樞電阻：

（一）試計算滿載時的相感應電壓。（10 分）

（二）若每相之漏電抗為 0.15 Ω0.15\ \Omega，試計算每相之氣隙電壓。（10 分）

（每小題 10 分，共 20 分）

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核心觀念

本題考同步發電機的相量電壓方程，以及端電壓、感應電壓與氣隙電壓的關係。三相 Y 接時，線電壓須換算為相電壓；功率因數落後則代表電樞電流落後端電壓。

忽略電樞電阻時，每相同步發電機的電壓方程為

E‾f=V‾t+jXsI‾a\underline E_f=\underline V_t+jX_s\underline I_a

其中 EfE_f 為滿載相感應電壓，VtV_t 為端電壓相量，XsX_s 為同步電抗。同步電抗包含電樞反應與漏電抗；因此氣隙電壓相量為

E‾g=V‾t+j(Xs−Xℓ)I‾a\underline E_g=\underline V_t+j(X_s-X_\ell)\underline I_a

其中 XℓX_\ell 為每相漏電抗。

解題方法

（一）滿載時的相感應電壓

Y 接時，相電壓為線電壓除以 3\sqrt{3}：

Vt=2203=127.02 VV_t=\frac{220}{\sqrt{3}}=127.02\ \mathrm{V}

滿載線電流由三相視在功率求得：

IL=45 0003×220=118.09 AI_L=\frac{45\,000}{\sqrt{3}\times220}=118.09\ \mathrm{A}

Y 接時線電流等於相電流，故 Ia=118.09 AI_a=118.09\ \mathrm{A}。功率因數為 0.80.8 落後，電流落後端電壓的角度為

ϕ=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ

以端電壓為相位基準：

V‾t=127.02∠0∘ V,I‾a=118.09∠−36.87∘ A\underline V_t=127.02\angle 0^\circ\ \mathrm{V},\qquad \underline I_a=118.09\angle -36.87^\circ\ \mathrm{A}

同步電抗壓降為

jXsI‾a=1.5(118.09)∠(90∘−36.87∘)=177.14∠53.13∘ VjX_s\underline I_a =1.5(118.09)\angle(90^\circ-36.87^\circ) =177.14\angle 53.13^\circ\ \mathrm{V}

轉成直角座標：

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第 五 題10 分

一部 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、三相、44 極、Δ\Delta 接、2 HP2\ \mathrm{HP} 的感應電動機，當電動機轉差率為 0.250.25 時可產生最大轉矩 40 N⋅m40\ \mathrm{N\cdot m}。若電動機的定子阻抗忽略不計：

（一）試計算轉差率為 0.020.02 時之轉矩。（10 分）

（二）試計算啟動轉矩。（10 分）

（每小題 10 分，共 20 分）

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核心觀念

本題考感應電動機的轉矩－轉差率關係，以及最大轉矩與啟動轉矩的計算。定子阻抗忽略時，轉矩可寫成

T(s)=KsR2R22+(sX2)2T(s)=K\frac{sR_2}{R_2^2+(sX_2)^2}

其中 R2R_2、X2X_2 為折算至定子側的轉子電阻與漏抗，KK 為與電源及機器參數有關的常數。題目未提供這些參數，但可用已知的最大轉矩條件消去它們。

最大轉矩發生於

sm=R2X2s_m=\frac{R_2}{X_2}

因此，轉矩亦可改寫成只含最大轉矩與最大轉矩轉差率的形式：

T(s)Tmax⁡=2(s/sm)1+(s/sm)2\frac{T(s)}{T_{\max}} =\frac{2(s/s_m)}{1+(s/s_m)^2}

題目給定 sm=0.25s_m=0.25、Tmax⁡=40 N⋅mT_{\max}=40\ \mathrm{N\cdot m}。

解題方法

（一）轉差率 s=0.02s=0.02 時的轉矩

先計算實際轉差率與最大轉矩轉差率之比：

ssm=0.020.25=0.08\frac{s}{s_m}=\frac{0.02}{0.25}=0.08

代入轉矩比公式：

T(0.02)40=2(0.08)1+(0.08)2=0.161.0064\frac{T(0.02)}{40} =\frac{2(0.08)}{1+(0.08)^2} =\frac{0.16}{1.0064}

所以

T(0.02)=40(0.161.0064)≈6.36 N⋅mT(0.02)=40\left(\frac{0.16}{1.0064}\right) \approx 6.36\ \mathrm{N\cdot m}

（二）啟動轉矩

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