112 年公務人員升官等薦任電力工程考古題與詳解

Question 1

一部三相同步發電機，規格為 $60\ \mathrm{MVA}$、$69.3\ \mathrm{kV}$，同步電抗 $Xs$ 每相為 $15\ \Omega$，假設忽略電樞電阻。（每小題 10 分，共 20 分） （一）若傳遞額定功率（$60\ \mathrm{MVA}$）給無限匯流排，三相同步發電機操作於額定電壓與功率因數 $0.8$ 落後的狀態下，請問三相同步發電機的每相激磁電壓與電力角？ （二）三相同步發電機操作於額定電壓下，若發電機傳遞給無限匯流排 $48\ \mathrm{MW}$，且經由場電流的調整，使得每相激磁電壓為 $46\ \mathrm{kV}$。請問三相同步機的電樞電流與功率因數？

Accepted Answer

核心觀念

本題考同步發電機的相量方程式、功率角與功率因數。忽略電樞電阻時，發電機每相相量關係為

\underline E_f=\underline V_t+jX_s\underline I_a

其中 $\underline E_f$ 為每相激磁電壓， $\underline V_t$ 為每相端電壓， $\underline I_a$ 為電樞電流。發電機功率因數落後時，電流相位落後端電壓。

線電壓與相電壓的關係為 $V_{LL}=\sqrt{3}V_\phi$ ；三相實功率則為

P=\sqrt{3}V_{LL}I_L\cos\phi

本題為星形等效的每相分析，線電流等於相電流。

解題方法

已知額定視在功率 $S=60\ \mathrm{MVA}$ 、額定線電壓 $V_{LL}=69.3\ \mathrm{kV}$ 、每相同步電抗 $X_s=15\ \Omega$ 。

每相端電壓為

V_\phi=\frac{69.3}{\sqrt{3}}=40\ \mathrm{kV}

（一）額定功率、功率因數 0.8 落後

額定電流大小為

I_a=\frac{S}{\sqrt{3}V_{LL}} =\frac{60\times10^6}{\sqrt{3}\times69.3\times10^3} =500\ \mathrm{A}

功率因數為 $0.8$ 落後，因此

\cos\phi=0.8,\qquad \sin\phi=0.6,\qquad \underline I_a=500\angle(-36.87^\circ)\ \mathrm{A}

以端電壓為相位基準， $\underline V_t=40\angle0^\circ\ \mathrm{kV}$ 。同步電抗壓降為

jX_s\underline I_a =15(500)\angle(90^\circ-36.87^\circ) =7.5\angle53.13^\circ\ \mathrm{kV}

轉為直角座標：

jX_s\underline I_a =7.5(0.6+j0.8) =4.5+j6.0\ \mathrm{kV}

因此

\underline E_f =40+(4.5+j6.0) =44.5+j6.0\ \mathrm{kV}

|E_f|=\sqrt{44.5^2+6^2}=44.90\ \mathrm{kV}

\delta=\tan^{-1}\left(\frac{6}{44.5}\right)=7.67^\circ

（二）輸出 48 MW、激磁電壓 46 kV

題目未指定此小題的功率因數，因此由實功率與相量方程式聯立求電樞電流。令

\underline I_a=I_d+jI_q

Question 2

四母線的電力系統單線圖如下，根據以下的發電機、變壓器、輸電線、馬達的規格，其包含額定容量、電壓等級與阻抗，以 $20\ \mathrm{kV}$ 為電壓基準值與 $100\ \mathrm{MVA}$ 為容量基準值。（每小題 10 分，共 20 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

各設備規格如下：

項目	額定容量	電壓等級	阻抗
發電機 G1	$60\ \mathrm{MVA}$	$20\ \mathrm{kV}$	$X=9\%$
變壓器 T1	$50\ \mathrm{MVA}$	$20/200\ \mathrm{kV}$	$X=10\%$
變壓器 T2	$50\ \mathrm{MVA}$	$200/20\ \mathrm{kV}$	$X=10\%$
馬達 M1	$43.2\ \mathrm{MVA}$	$18\ \mathrm{kV}$	$X=8\%$
輸電線 Line1	—	$200\ \mathrm{kV}$	$Z=120+j200\ \Omega$

（一）請繪製該電力系統的阻抗圖，並且以標么值表示。

（二）馬達於 $18\ \mathrm{kV}$ 線電壓時吸收 $45\ \mathrm{MVA}$ 、功率因數 $0.8$ 落後，請問發電機的端電壓與內電勢？請以標么值及 $\mathrm{kV}$ 表示。

Accepted Answer

核心觀念

本題考兩個觀念：設備阻抗換算至共同標麼基準，以及利用負載複功率求電流，再沿系統阻抗計算電壓降。

標麼阻抗換算公式為

Z_{\mathrm{pu,new}} =Z_{\mathrm{pu,rated}} \left(\frac{S_{\mathrm{base}}}{S_{\mathrm{rated}}}\right) \left(\frac{V_{\mathrm{rated}}}{V_{\mathrm{base}}}\right)^2

三相系統的阻抗基準為

Z_{\mathrm{base}}=\frac{V_{\mathrm{base}}^2}{S_{\mathrm{base}}}

其中電壓基準採線電壓，容量基準採三相總容量。各母線電壓基準依變壓器變比設定為 $20\ \mathrm{kV}$ 、 $200\ \mathrm{kV}$ 、 $200\ \mathrm{kV}$ 、 $20\ \mathrm{kV}$ 。

（一）標麼阻抗圖

系統容量基準為 $100\ \mathrm{MVA}$ 。各設備阻抗換算如下。

發電機 G1：

X_{G1}=0.09\left(\frac{100}{60}\right)=0.15\ \mathrm{pu}

變壓器 T1、T2：

X_{T1}=X_{T2}=0.10\left(\frac{100}{50}\right)=0.20\ \mathrm{pu}

輸電線 Line1：

在 $200\ \mathrm{kV}$ 母線側，

Z_{\mathrm{base}}=\frac{200^2}{100}=400\ \Omega

因此

Z_{\mathrm{Line1}}=\frac{120+j200}{400} =0.30+j0.50\ \mathrm{pu}

馬達 M1：

馬達額定電壓為 $18\ \mathrm{kV}$ ，系統該側電壓基準為 $20\ \mathrm{kV}$ ，因此

X_{M1}=0.08\left(\frac{100}{43.2}\right) \left(\frac{18}{20}\right)^2 =0.15\ \mathrm{pu}

故標麼阻抗圖可表示為：

E_{G1} \;-\;j0.15 \;-\;\mathrm{Bus1} \;-\;j0.20 \;-\;\mathrm{Bus2} \;-\;(0.30+j0.50) \;-\;\mathrm{Bus3} \;-\;j0.20 \;-\;\mathrm{Bus4} \;-\;j0.15 \;-\;E_{M1}

其中發電機與馬達的內部電勢分別位於其電抗後方；變壓器與輸電線位於母線間。

（二）發電機端電壓與內電勢

以馬達端電壓作為相角參考。馬達端線電壓為 $18\ \mathrm{kV}$ ，在該側 $20\ \mathrm{kV}$ 電壓基準下：

V_4=\frac{18}{20}=0.90\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}

Question 3

求解電力潮流問題時：

（一）請說明於求解電力潮流問題時，根據母線的電壓大小、電壓相角、實功率與虛功率，說明搖擺母線（Swing Bus）、負載母線（Load Bus）與電壓控制母線（Voltage Controlled Bus）的定義。（6 分）

（二）二母線的電力系統單線圖如下，假設母線 1 定義為搖擺母線，並且輸電線阻抗為

$Z_{12}=0.12+j0.16\ \mathrm{pu}$

母線 2 的負載為 $100\ \mathrm{MW}$ 與 $50\ \mathrm{Mvar}$ 。請利用牛頓－拉佛森法，假設以 $100\ \mathrm{MVA}$ 為基準，母線 1 的電壓為 $1.0\angle 0^\circ$ ，起始估計值 $|V_2^{(0)}|=1.0$ ，以及 $\delta_2^{(0)}=0^\circ$ ，求解母線 2 的電壓大小及相角？請執行兩次疊代。（14 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

潮流分析依各母線已知與未知的電氣量分類。每一母線的四個量為電壓大小 $|V|$ 、電壓相角 $\delta$ 、實功率 $P$ 與虛功率 $Q$ 。

母線類型	已知量	求解量	說明
搖擺母線（Swing Bus）	$	V	,\delta$
負載母線（Load Bus，PQ Bus）	$P,Q$	$	V
電壓控制母線（Voltage Controlled Bus，PV Bus）	$P,	V	$

解題方法

母線 1 為搖擺母線，故 $V_1=1\angle0^\circ$ 。母線 2 為負載母線，採用 $100\ \mathrm{MVA}$ 為基準，負載換算為

P_{2,\mathrm{spec}}=-\frac{100}{100}=-1.0\ \mathrm{pu}, \qquad Q_{2,\mathrm{spec}}=-\frac{50}{100}=-0.5\ \mathrm{pu}.

負號表示母線 2 消耗功率。線路導納為

y_{12}=\frac{1}{0.12+j0.16}=3-j4\ \mathrm{pu}.

因此 $Y_{\mathrm{bus}}$ 的對角項為 $3-j4$ ，非對角項為 $-3+j4$ 。令 $V=|V_2|$ 、 $\delta=\delta_2$ ，母線 2 的計算功率為

P_2=3V^2+V(-3\cos\delta+4\sin\delta),

Q_2=4V^2+V(-3\sin\delta-4\cos\delta).

牛頓－拉佛森法使用功率不平衡量

\begin{bmatrix}\Delta P\\\Delta Q\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{\mathrm{spec}}-P_{\mathrm{calc}}\\ Q_{\mathrm{spec}}-Q_{\mathrm{calc}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial P}{\partial\delta}&\frac{\partial P}{\partial V}\\ \frac{\partial Q}{\partial\delta}&\frac{\partial Q}{\partial V} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta\delta\\\Delta V\end{bmatrix},

其中

\begin{aligned} \frac{\partial P}{\partial\delta}&=V(3\sin\delta+4\cos\delta),& \frac{\partial P}{\partial V}&=6V-3\cos\delta+4\sin\delta,\\ \frac{\partial Q}{\partial\delta}&=V(-3\cos\delta+4\sin\delta),& \frac{\partial Q}{\partial V}&=8V-3\sin\delta-4\cos\delta. \end{aligned}

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Question 4

四母線的電力系統單線圖如下，發電機、變壓器與饋線的電抗皆以相同的基準標么值表示，假設發電機相同電位下，故障前假設為 $1.0\ \mathrm{pu}$ 。若母線 1 發生三相短路故障，並且故障阻抗為

$Z_f=j0.05$

（每小題 10 分，共 20 分）

系統元件參數如下：

發電機 G1： $j0.15$
變壓器 T1： $j0.15$
發電機 G2： $j0.15$
變壓器 T2： $j0.15$
母線 1 與母線 2 間線路： $j0.6$
母線 1 與母線 3 間線路： $j0.2$
母線 2 與母線 3 間線路： $j0.4$
母線 3 與母線 4 間線路： $j0.19$

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試用戴維寧定理求得故障點的阻抗與故障電流？

（二）請問故障期間的母線電壓與線路電流？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查三相短路故障分析，使用戴維寧等效求故障電流，再用故障前電壓與 $Z_{\text{bus}}$ 的轉移阻抗求故障期間各母線電壓，最後由線路阻抗計算線路電流。

三相平衡故障可用單相正序網路分析。發電機與變壓器串聯，因此每一側電源支路電抗為

jX_G+jX_T=j0.15+j0.15=j0.30\ \text{pu}

依題意，故障前發電機電壓相同且為 $1.0\angle 0^\circ$ pu；系統未給負載，故障前各母線電壓均為 $1.0\angle 0^\circ$ pu。

（一）戴維寧阻抗與故障電流

1. 求故障點戴維寧電壓

故障前無線路電流，故線路上沒有電壓降，因此母線 1 的故障前電壓即為戴維寧電壓：

V_{\text{th}}=1.0\angle 0^\circ\ \text{pu}

2. 求故障點戴維寧阻抗

將兩個電壓源短路後，母線 1、母線 2 各有 $j0.30$ pu 電抗接地。母線 4 僅經母線 3 相連，沒有其他電源或接地支路，因此母線 3 至母線 4 的線路不影響母線 1 的等效阻抗。

以 $K$ 表示電抗倒數所構成的節點矩陣，取母線 1 至母線 3：

K= \begin{bmatrix} 10 & -\frac{5}{3} & -5\\ -\frac{5}{3} & \frac{15}{2} & -\frac{5}{2}\\ -5 & -\frac{5}{2} & \frac{15}{2} \end{bmatrix}

其中各項由電抗倒數組成，例如母線 1 的對角項為

\frac{1}{0.30}+\frac{1}{0.60}+\frac{1}{0.20}=10

解得 $K^{-1}$ 第一欄為

K^{-1}_{(:,1)} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5}\\[2pt] \frac{1}{10}\\[2pt] \frac{1}{6} \end{bmatrix}

由於實際阻抗矩陣為 $jK^{-1}$ ，故

Z_{\text{th}}=Z_{11}=j0.20\ \text{pu}

3. 求故障電流

故障阻抗為 $Z_f=j0.05$ pu，因此

I_f=\frac{V_{\text{th}}}{Z_{\text{th}}+Z_f} =\frac{1\angle0^\circ}{j0.20+j0.05} =\frac{1}{j0.25} =-j4 =4\angle-90^\circ\ \text{pu}

（二）故障期間母線電壓與線路電流

1. 求故障期間母線電壓

由 $Z_{\text{bus}}$ 第一欄可得各母線對母線 1 的轉移阻抗：

\begin{bmatrix} Z_{11}\\ Z_{21}\\ Z_{31}\\ Z_{41} \end{bmatrix} = j \begin{bmatrix} \frac{1}{5}\\[2pt] \frac{1}{10}\\[2pt] \frac{1}{6}\\[2pt] \frac{1}{6} \end{bmatrix}

Question 5

一獨立系統的額定頻率為 $60\ \mathrm{Hz}$，系統具有兩機組，假設兩機組皆以額定頻率作為頻率的調控基準，以及系統沒有隨頻率變化的負載。 | 項目 | 發電機 G1 | 發電機 G2 | |---|---:|---:| | 額定容量 | $S1=400\ \mathrm{MVA}$ | $S2=500\ \mathrm{MVA}$ | | 調速機速度調整率 | $R1=0.04$ | $R2=0.05$ | | 慣性常數 | $H1=4\ \mathrm{s}$ | $H2=5\ \mathrm{s}$ | （一）假設系統僅有發電機 G1 獨立運行，請問系統的頻率從 $60\ \mathrm{Hz}$ 降至 $59.76\ \mathrm{Hz}$ 之穩態值時，機組發電量增加多少？ （二）假設兩機組併聯運行，系統目前供應的負載量為 $700\ \mathrm{MVA}$，發電機 G1 供應 $300\ \mathrm{MW}$，發電機 G2 供應 $400\ \mathrm{MW}$。若負載突然降低 $150\ \mathrm{MW}$，請問系統穩態時的頻率偏移量，以及機組的各別新發電量？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查調速機的速度調整率（下垂特性），以及多部機組併聯時的穩態負載分攤。

速度調整率定義為頻率相對變化量與機組輸出功率相對變化量的比值：

R_i=\frac{\Delta f/f_{\mathrm{base}}}{\Delta P_i/S_i}

因此，頻率變動時，機組有功輸出變化為：

\Delta P_i=-\frac{S_i}{R_i}\frac{\Delta f}{f_{\mathrm{base}}}

其中 $S_i$ 是機組額定容量， $f_{\mathrm{base}}=60\ \mathrm{Hz}$ 。負號表示：頻率下降時機組增加輸出；頻率上升時機組減少輸出。

題目已指定系統沒有隨頻率變化的負載，因此穩態時，發電機輸出總變化必須等於負載變化。慣性常數 $H_i$ 影響頻率變化的暫態過程，不影響此題所求的穩態頻率與穩態輸出。

解題方法

（一）僅 G1 運行

頻率由 $60\ \mathrm{Hz}$ 降至 $59.76\ \mathrm{Hz}$ ，所以：

\Delta f=59.76-60=-0.24\ \mathrm{Hz}

代入 G1 的額定容量 $S_1=400\ \mathrm{MVA}$ 、速度調整率 $R_1=0.04$ ：

\Delta P_1 =-\frac{400}{0.04}\frac{-0.24}{60} =40\ \mathrm{MW}

所以 G1 的發電量增加 $40\ \mathrm{MW}$ 。

（二）兩機組併聯運行

負載降低 $150\ \mathrm{MW}$ ，穩態時兩部機組的發電量合計也須降低 $150\ \mathrm{MW}$ ：

\Delta P_1+\Delta P_2=-150\ \mathrm{MW}

由於負載下降，頻率上升。將兩部機組的下垂響應相加：

\Delta P_1+\Delta P_2 =-\left(\frac{400}{0.04}+\frac{500}{0.05}\right)\frac{\Delta f}{60}

兩機組的功率響應係數相同：

112 公務人員升官等薦任電力工程電力系統考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

（一）額定功率、功率因數 0.8 落後

（二）輸出 48 MW、激磁電壓 46 kV

第二題20 分

核心觀念

（一）標麼阻抗圖

（二）發電機端電壓與內電勢

第三題20 分

核心觀念

解題方法

第四題20 分

核心觀念

（一）戴維寧阻抗與故障電流

1. 求故障點戴維寧電壓

2. 求故障點戴維寧阻抗

3. 求故障電流

（二）故障期間母線電壓與線路電流

1. 求故障期間母線電壓

第五題20 分

核心觀念

解題方法

（一）僅 G1 運行

（二）兩機組併聯運行

其他考古題

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電力工程《電力系統》其他年度

112 公務人員升官等薦任 電力工程 電力系統 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）額定功率、功率因數 0.8 落後

（二）輸出 48 MW、激磁電壓 46 kV

第 二 題20 分

核心觀念

（一）標麼阻抗圖

（二）發電機端電壓與內電勢

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

第 四 題20 分

核心觀念

（一）戴維寧阻抗與故障電流

1. 求故障點戴維寧電壓

2. 求故障點戴維寧阻抗

3. 求故障電流

（二）故障期間母線電壓與線路電流

1. 求故障期間母線電壓

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）僅 G1 運行

（二）兩機組併聯運行

其他考古題

112 年電力工程的其他科目

電力工程《電力系統》其他年度

112 公務人員升官等薦任電力工程電力系統考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分