110 公務人員升官等薦任 電力工程 電力系統 考古題詳解

110 年・公務人員升官等・薦任・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題20 分

如圖一所示之電力系統，二台發電機分別併入二個匯流排並以輸電線連接。

（一）請推導自匯流排 ii 傳輸至匯流排 jj 之實功率與虛功率公式分別如下：（8 分）

Pij=∣Vi∣2∣Z∣cos⁡γ−∣Vi∣∣Vj∣∣Z∣cos⁡(γ+δi−δj)P_{ij}=\frac{|V_i|^2}{|Z|}\cos\gamma-\frac{|V_i||V_j|}{|Z|}\cos\left(\gamma+\delta_i-\delta_j\right) Qij=∣Vi∣2∣Z∣sin⁡γ−∣Vi∣∣Vj∣∣Z∣sin⁡(γ+δi−δj)Q_{ij}=\frac{|V_i|^2}{|Z|}\sin\gamma-\frac{|V_i||V_j|}{|Z|}\sin\left(\gamma+\delta_i-\delta_j\right)

（二）承（一）小題，假設在輸電系統分析中，忽略線路電阻值（R=0R=0），證明輸電線上的實功率潮流主要受兩端電壓的相角差所支配。（6 分）

（三）承（一）小題，假設在輸電系統分析中，忽略線路電阻值（R=0R=0），證明輸電線上的虛功率潮流主要受兩端電壓的大小差所支配。（6 分）

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核心觀念

以匯流排 ii 至匯流排 jj 為正方向，輸電線電流為

Iij=Vi−VjZ.I_{ij}=\frac{V_i-V_j}{Z}.

匯流排 ii 送入線路的複功率為 Sij=ViIij∗=Pij+jQijS_{ij}=V_i I_{ij}^{*}=P_{ij}+jQ_{ij}。令

Vi=∣Vi∣∠δi,Vj=∣Vj∣∠δj,Z=∣Z∣∠γ.V_i=|V_i|\angle\delta_i,\qquad V_j=|V_j|\angle\delta_j,\qquad Z=|Z|\angle\gamma.

複功率中的共軛電流會使阻抗的相角以 +γ+\gamma 出現在功率公式中。

（一）推導實功率與虛功率公式

由 Iij=(Vi−Vj)/ZI_{ij}=(V_i-V_j)/Z，可得

Sij=ViIij∗=Vi(Vi−VjZ)∗=∣Vi∣2Z∗−ViVj∗Z∗.\begin{aligned} S_{ij} &=V_iI_{ij}^{*}\\ &=V_i\left(\frac{V_i-V_j}{Z}\right)^{*}\\ &=\frac{|V_i|^2}{Z^{*}}-\frac{V_iV_j^{*}}{Z^{*}}. \end{aligned}

因為 Z∗=∣Z∣∠(−γ)Z^{*}=|Z|\angle(-\gamma)，所以 1/Z∗=(1/∣Z∣)∠γ1/Z^{*}=(1/|Z|)\angle\gamma；又 ViVj∗=∣Vi∣∣Vj∣∠(δi−δj)V_iV_j^{*}=|V_i||V_j|\angle(\delta_i-\delta_j)。因此

Sij=∣Vi∣2∣Z∣∠γ−∣Vi∣∣Vj∣∣Z∣∠(γ+δi−δj).S_{ij} = \frac{|V_i|^2}{|Z|}\angle\gamma - \frac{|V_i||V_j|}{|Z|} \angle(\gamma+\delta_i-\delta_j).

取實部與虛部，分別得到

Pij=∣Vi∣2∣Z∣cos⁡γ−∣Vi∣∣Vj∣∣Z∣cos⁡(γ+δi−δj)\boxed{ P_{ij} =\frac{|V_i|^2}{|Z|}\cos\gamma -\frac{|V_i||V_j|}{|Z|} \cos(\gamma+\delta_i-\delta_j) } Qij=∣Vi∣2∣Z∣sin⁡γ−∣Vi∣∣Vj∣∣Z∣sin⁡(γ+δi−δj)\boxed{ Q_{ij} =\frac{|V_i|^2}{|Z|}\sin\gamma -\frac{|V_i||V_j|}{|Z|} \sin(\gamma+\delta_i-\delta_j) }

（二）忽略線路電阻時，實功率主要受相角差支配

令 R=0R=0，且輸電線為感性線路，則 Z=jXZ=jX、∣Z∣=X|Z|=X、γ=90∘\gamma=90^\circ。設 θ=δi−δj\theta=\delta_i-\delta_j，代入實功率公式：

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第 二 題20 分

如圖二所示之三個匯流排電力系統單線圖，二台發電機分別併入匯流排 1 及 2。

匯流排 1 之電壓為 V1=1.0∠0∘ puV_1=1.0\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}，匯流排 2 之電壓大小固定在 1.05 pu1.05\ \mathrm{pu}，且發電機輸出實功率為 400 MW400\ \mathrm{MW}。匯流排 3 之負載實、虛功率分別為 500 MW500\ \mathrm{MW} 及 400 Mvar400\ \mathrm{Mvar}。輸電線阻抗之標示係以 100 MVA100\ \mathrm{MVA} 為基準。

（一）試求匯流排導納矩陣 YBusY_{\mathrm{Bus}}（bus admittance matrix）。（6 分）

（二）試列出匯流排 2 之實功率及匯流排 3 之實功率及虛功率的表示式。（6 分）

（三）試利用快速解耦法（fast decoupled method），以起始估計值為

δ2(0)=δ3(0)=0∘\delta_2^{(0)}=\delta_3^{(0)}=0^\circ

以及

∣V3(0)∣=1.0|V_3^{(0)}|=1.0

開始，求解匯流排 2 及 3 電壓（執行到第二次疊代結果）。（8 分）

系統線路導納如下：

y12=−j40 pu,y13=−j20 pu,y23=−j20 puy_{12}=-j40\ \mathrm{pu},\qquad y_{13}=-j20\ \mathrm{pu},\qquad y_{23}=-j20\ \mathrm{pu}

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核心觀念

本題考查三匯流排系統的 YBusY_{\mathrm{Bus}} 建立、潮流方程式，以及快速解耦法（fast decoupled load flow, FDLF）。計算採用 100 MVA100\ \mathrm{MVA} 為基準，因此：

  • 匯流排 2 為 PV 匯流排：P2=400/100=4 puP_2=400/100=4\ \mathrm{pu}、∣V2∣=1.05 pu|V_2|=1.05\ \mathrm{pu}。
  • 匯流排 3 為 PQ 匯流排：P3=−500/100=−5 puP_3=-500/100=-5\ \mathrm{pu}、Q3=−400/100=−4 puQ_3=-400/100=-4\ \mathrm{pu}。負號表示負載消耗功率。
  • 匯流排 1 為平衡匯流排：V1=1∠0∘ puV_1=1\angle0^\circ\ \mathrm{pu}。

（一）求 YBusY_{\mathrm{Bus}}

對角元素為連接至該匯流排的線路導納總和，非對角元素為兩匯流排間導納的負值。因此：

YBus=[y12+y13−y12−y13−y12y12+y23−y23−y13−y23y13+y23]=[−j60j40j20j40−j60j20j20j20−j40] pu.Y_{\mathrm{Bus}}= \begin{bmatrix} y_{12}+y_{13} & -y_{12} & -y_{13}\\ -y_{12} & y_{12}+y_{23} & -y_{23}\\ -y_{13} & -y_{23} & y_{13}+y_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -j60 & j40 & j20\\ j40 & -j60 & j20\\ j20 & j20 & -j40 \end{bmatrix}\ \mathrm{pu}.

（二）列出功率表示式

令 Vi=∣Vi∣∠δiV_i=|V_i|\angle\delta_i。由 YBusY_{\mathrm{Bus}} 的虛部可得：

P2=40∣V2∣∣V1∣sin⁡(δ2−δ1)+20∣V2∣∣V3∣sin⁡(δ2−δ3),P_2=40|V_2||V_1|\sin(\delta_2-\delta_1) +20|V_2||V_3|\sin(\delta_2-\delta_3), P3=20∣V3∣∣V1∣sin⁡(δ3−δ1)+20∣V3∣∣V2∣sin⁡(δ3−δ2),P_3=20|V_3||V_1|\sin(\delta_3-\delta_1) +20|V_3||V_2|\sin(\delta_3-\delta_2), Q3=40∣V3∣2−20∣V3∣∣V1∣cos⁡(δ3−δ1)−20∣V3∣∣V2∣cos⁡(δ3−δ2).Q_3=40|V_3|^2 -20|V_3||V_1|\cos(\delta_3-\delta_1) -20|V_3||V_2|\cos(\delta_3-\delta_2).

其中 δ1=0\delta_1=0、∣V1∣=1|V_1|=1、∣V2∣=1.05|V_2|=1.05，代入後為：

P2=42sin⁡δ2+21∣V3∣sin⁡(δ2−δ3),P_2=42\sin\delta_2+21|V_3|\sin(\delta_2-\delta_3), P3=20∣V3∣sin⁡δ3+21∣V3∣sin⁡(δ3−δ2),P_3=20|V_3|\sin\delta_3+21|V_3|\sin(\delta_3-\delta_2), Q3=40∣V3∣2−20∣V3∣cos⁡δ3−21∣V3∣cos⁡(δ3−δ2).Q_3=40|V_3|^2-20|V_3|\cos\delta_3 -21|V_3|\cos(\delta_3-\delta_2).

（三）快速解耦法，計算至第二次疊代

本系統無線路電阻與並聯電納，取 B′=−Im⁡(YBus)B'=-\operatorname{Im}(Y_{\mathrm{Bus}})，略去平衡匯流排 1 的列與行：

B′=[60−20−2040],B′′=[40].B'= \begin{bmatrix} 60&-20\\ -20&40 \end{bmatrix}, \qquad B''=[40].

每次疊代依序解有功角度修正與無功電壓修正：

B′[Δδ2Δδ3]=[ΔP2/∣V2∣ΔP3/∣V3∣],B′′Δ∣V3∣=ΔQ3/∣V3∣.B' \begin{bmatrix} \Delta\delta_2\\ \Delta\delta_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Delta P_2/|V_2|\\ \Delta P_3/|V_3| \end{bmatrix}, \qquad B''\Delta |V_3|=\Delta Q_3/|V_3|.

第一次疊代

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第 三 題20 分

試利用匯流排阻抗構建法（ZbusZ_{\mathrm{bus}} building algorithm）求圖三所示網路的匯流排阻抗矩陣。

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核心觀念

匯流排阻抗矩陣 ZbusZ_{\mathrm{bus}} 描述匯流排注入電流與匯流排電壓的關係：

Vbus=ZbusIbus.\boldsymbol V_{\mathrm{bus}}=Z_{\mathrm{bus}}\boldsymbol I_{\mathrm{bus}}.

本題以匯流排阻抗構建法，逐步加入支路。圖中的發電機與變壓器串聯電抗，視為匯流排對參考點的支路：

X1,ref=XG1+XT1=0.05+0.15=0.20 pu,X_{1,\mathrm{ref}}=X_{G1}+X_{T1}=0.05+0.15=0.20\ \text{pu}, X2,ref=XG2+XT2=0.10+0.30=0.40 pu.X_{2,\mathrm{ref}}=X_{G2}+X_{T2}=0.10+0.30=0.40\ \text{pu}.

其他支路為 X12=0.80 puX_{12}=0.80\ \text{pu}、X13=0.40 puX_{13}=0.40\ \text{pu}。

解題方法

以下將純電抗矩陣中的 jj 提出，先以實數電抗矩陣計算，最後再乘回 jj。

1. 建立匯流排 1

匯流排 1 經 j0.20j0.20 支路接至參考點，因此

Zbus(1)=j[0.20].Z_{\mathrm{bus}}^{(1)}=j[0.20].

2. 以支路 1 ⁣− ⁣21\!-\!2 加入匯流排 2

新匯流排 2 經 j0.80j0.80 支路接至既有匯流排 1。新增匯流排與原匯流排的互阻抗等於 Z11Z_{11}；新匯流排的自阻抗為 Z11+j0.80Z_{11}+j0.80：

Zbus(2)=j[0.200.200.201.00].Z_{\mathrm{bus}}^{(2)} =j \begin{bmatrix} 0.20&0.20\\ 0.20&1.00 \end{bmatrix}.

3. 加入匯流排 2 對參考點的支路

匯流排 2 經 j0.40j0.40 支路接至參考點，這是連接既有匯流排與參考點的連結支路。令不含 jj 的矩陣為

X(2)=[0.200.200.201.00],x2=[0.201.00].X^{(2)}= \begin{bmatrix} 0.20&0.20\\ 0.20&1.00 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol x_2= \begin{bmatrix} 0.20\\ 1.00 \end{bmatrix}.
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第 四 題20 分

一 10 MVA10\ \mathrm{MVA}、80 kV/20 kV80\ \mathrm{kV}/20\ \mathrm{kV} 單相雙繞組變壓器採差動電驛（differential relay）保護。

（一）選擇適當比流器（CT）匝數比。（10 分）

CT 標準匝數比：

50:550:5100:5100:5150:5150:5200:5200:5
250:5250:5300:5300:5400:5400:5450:5450:5
500:5500:5550:5550:5600:5600:5800:5800:5

（二）若電驛允許 I1I_1 與 I2I_2 之間最高誤差為 25%25\%，求差動電驛 KK 值。

∣I1−I2∣>K∣I1+I22∣\left|I_1-I_2\right|>K\left|\frac{I_1+I_2}{2}\right|

（跳脫）

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核心觀念

差動保護比較變壓器兩側 CT 的二次電流。正常負載時，經 CT 變比換算後的兩側電流應相等；因此要依變壓器兩側額定電流，選出能使 CT 二次電流相同的標準變比。

單相變壓器額定電流為：

I=SVI=\frac{S}{V}

本題的差動電驛以兩側電流差相對於平均電流的比例作為動作判據：

∣I1−I2∣>K∣I1+I22∣\left|I_1-I_2\right|> K\left|\frac{I_1+I_2}{2}\right|

解題方法

（一）選擇 CT 匝數比

高壓側額定電流：

IH=10 MVA80 kV=125 AI_H=\frac{10\ \mathrm{MVA}}{80\ \mathrm{kV}}=125\ \mathrm{A}

低壓側額定電流：

IL=10 MVA20 kV=500 AI_L=\frac{10\ \mathrm{MVA}}{20\ \mathrm{kV}}=500\ \mathrm{A}

兩側額定電流比為 125:500=1:4125:500=1:4。在題目提供的標準 CT 變比中，選擇 150:5150:5 與 600:5600:5，兩者一次側額定電流比為 1:41:4，且均不低於變壓器額定電流。

在額定負載下，兩側 CT 二次電流分別為：

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第 五 題20 分

如圖四所示之電力系統單線圖，發電機經由一台變壓器和雙迴路傳輸線連接到無限匯流排。

發電機送出 1.0 pu1.0\ \mathrm{pu} 的實功率到匯流排 1，匯流排 1 上電壓大小為 1.05 pu1.05\ \mathrm{pu}，而無限匯流排電壓為 V=1.0∠0∘ puV=1.0\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}。假設 H=5 MJ/MVAH=5\ \mathrm{MJ/MVA}，系統頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz}。試求：

（一）功率角方程式。（10 分）

（二）搖擺方程式。（10 分）

系統參數如下：

  • 雙迴路傳輸線各回路電抗：XL1=j1.0 puX_{L1}=j1.0\ \mathrm{pu}
  • 變壓器電抗：XTr=j0.15 puX_{\mathrm{Tr}}=j0.15\ \mathrm{pu}
  • 發電機次暫態電抗：Xd′′=j0.25 puX_d''=j0.25\ \mathrm{pu}

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核心觀念

本題考發電機內電勢經串聯電抗向無限匯流排送電的功率角關係，以及同步機的搖擺方程式。兩回傳輸線並聯，因此先將線路化為等效電抗，再以匯流排 1 的已知電壓與送出功率求線路電流，進而算出發電機次暫態內電勢 E′′E''。

解題方法

令無限匯流排電壓為 V2=1∠0∘ puV_2=1\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}，匯流排 1 電壓為 V1=1.05∠δ1 puV_1=1.05\angle\delta_1\ \mathrm{pu}。兩回線路並聯的等效電抗為

XL=j1.0∥j1.0=j0.5 pu.X_L=j1.0\parallel j1.0=j0.5\ \mathrm{pu}.

匯流排 1 向無限匯流排送出 P=1.0 puP=1.0\ \mathrm{pu}，由無損線路功率公式

P=∣V1∣∣V2∣XLsin⁡δ1P=\frac{|V_1||V_2|}{X_L}\sin\delta_1

得

sin⁡δ1=1.0×0.51.05×1.0=1021,δ1≈28.44∘.\sin\delta_1=\frac{1.0\times0.5}{1.05\times1.0} =\frac{10}{21}, \qquad \delta_1\approx28.44^\circ.

因此

V1=1.05∠28.44∘≈0.92331+j0.50000 pu.V_1=1.05\angle28.44^\circ \approx0.92331+j0.50000\ \mathrm{pu}.

由線路電流

I=V1−V2j0.5≈1+j0.15338 pu.I=\frac{V_1-V_2}{j0.5} \approx1+j0.15338\ \mathrm{pu}.

發電機次暫態內電勢位於發電機次暫態電抗及變壓器電抗後方，故

E′′=V1+j(Xd′′+XTr)I=V1+j(0.25+0.15)I≈0.86196+j0.90000.E''=V_1+j(X_d''+X_{\mathrm{Tr}})I =V_1+j(0.25+0.15)I \approx0.86196+j0.90000.

所以

∣E′′∣≈1.2462 pu,δ0=∠E′′≈46.23∘.|E''|\approx1.2462\ \mathrm{pu}, \qquad \delta_0=\angle E''\approx46.23^\circ.

從 E′′E'' 至無限匯流排的總電抗為

Xeq=Xd′′+XTr+XL=0.25+0.15+0.50=0.90 pu.X_{\mathrm{eq}}=X_d''+X_{\mathrm{Tr}}+X_L =0.25+0.15+0.50=0.90\ \mathrm{pu}.
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