114 公務人員升官等薦任 電力工程 電機機械 考古題詳解

114 年・公務人員升官等・薦任・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

一、一部 22 極同步發電機的剖面如圖一所示，電機的尺寸及參數如下：

氣隙長度 g=2.5 mmg=2.5\ \mathrm{mm}、極面截面積 Ag=500 cm2A_g=500\ \mathrm{cm}^2、轉子繞組匝數 N=500N=500 匝、轉子繞組電流 i=5 Ai=5\ \mathrm{A}、鐵心的導磁係數 μc→∞\mu_c\to\infty。

真空之導磁係數：μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一)繪出類比於此發電機磁路的等效電路圖。

(二)計算轉子繞組所產生的總磁通量 ϕ\phi、轉子繞組的磁鏈數 λ\lambda、氣隙中的磁通密度 BB、轉子繞組的電感值 LL 及儲存在氣隙中的磁能 WmW_m。

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核心觀念

鐵心導磁係數 μc→∞\mu_c\to\infty，因此鐵心磁阻可視為零。磁通經過兩個氣隙形成串聯磁路；兩個氣隙中的磁通相同，各氣隙的磁阻為

Rg=gμ0Ag\mathcal{R}_g=\frac{g}{\mu_0 A_g}

總磁阻為 Rtot=2Rg\mathcal{R}_{\mathrm{tot}}=2\mathcal{R}_g。轉子繞組提供的磁動勢為 F=Ni\mathcal{F}=Ni，套用磁路的歐姆定律 ϕ=F/Rtot\phi=\mathcal{F}/\mathcal{R}_{\mathrm{tot}}。

解題方法

（一）磁路等效電路

以磁動勢源 NiNi 對應電壓源、磁通 ϕ\phi 對應電流，兩個氣隙磁阻串聯；鐵心磁阻為零：

Ni ⟶ Rg1 ⟶ Rg2 ⟶Rg1=Rg2=gμ0Ag\boxed{\quad Ni\ \longrightarrow\ \mathcal{R}_{g1}\ \longrightarrow\ \mathcal{R}_{g2}\ \longrightarrow\quad} \qquad \mathcal{R}_{g1}=\mathcal{R}_{g2}=\frac{g}{\mu_0 A_g}

其中兩個氣隙承載相同磁通 ϕ\phi，總磁阻為 Rtot=2g/(μ0Ag)\mathcal{R}_{\mathrm{tot}}=2g/(\mu_0 A_g)。

（二）計算各項

先換算極面截面積：

Ag=500 cm2=0.05 m2A_g=500\ \mathrm{cm^2}=0.05\ \mathrm{m^2}

氣隙總磁阻為

Rtot=2gμ0Ag=2(2.5×10−3)(4π×10−7)(0.05)=7.958×104 A/Wb\mathcal{R}_{\mathrm{tot}} =\frac{2g}{\mu_0 A_g} =\frac{2(2.5\times10^{-3})}{(4\pi\times10^{-7})(0.05)} =7.958\times10^4\ \mathrm{A/Wb}

轉子繞組的磁動勢為

Ni=500(5)=2500 A⋅turnNi=500(5)=2500\ \mathrm{A\cdot turn}
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第 二 題20 分

二、一部 25 kVA25\ \mathrm{kVA}、220/440 V220/440\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 之單相變壓器，其開路試驗及短路試驗之測定數據如下：

開路試驗（從低壓側量測）短路試驗（從高壓側量測）
電壓VOC=220 VV_{OC}=220\ \mathrm{V}VSC=37.5 VV_{SC}=37.5\ \mathrm{V}
電流IOC=9.5 AI_{OC}=9.5\ \mathrm{A}ISC=55 AI_{SC}=55\ \mathrm{A}
功率POC=650 WP_{OC}=650\ \mathrm{W}PSC=950 WP_{SC}=950\ \mathrm{W}

此變壓器的近似等效電路如圖二所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一)計算變壓器近似等效電路參數 ReqR_{eq}、XeqX_{eq}、RcR_c、XmX_m 之標么值。

(二)此變壓器供應功率因數 0.7660.766 落後之額定負載時，計算其電壓調整率 VRVR。

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核心觀念

本題用開路試驗求激磁支路參數 Rc、XmR_c、X_m，用短路試驗求串聯等效參數 Req、XeqR_{eq}、X_{eq}。標麼值則以變壓器額定容量 25 kVA25\ \mathrm{kVA}，以及各側額定電壓 220 V220\ \mathrm{V}、440 V440\ \mathrm{V} 分別建立基底。

基底阻抗為：

ZB,L=220225 000=1.936 Ω,ZB,H=440225 000=7.744 ΩZ_{B,L}=\frac{220^2}{25\,000}=1.936\ \Omega,\qquad Z_{B,H}=\frac{440^2}{25\,000}=7.744\ \Omega

解題方法

一、串聯等效參數的標麼值

短路試驗從高壓側量測，因此直接以高壓側數據計算：

Req=PSCISC2=950552=0.31405 ΩR_{eq}=\frac{P_{SC}}{I_{SC}^2} =\frac{950}{55^2}=0.31405\ \Omega ∣Zeq∣=VSCISC=37.555=0.68182 Ω|Z_{eq}|=\frac{V_{SC}}{I_{SC}} =\frac{37.5}{55}=0.68182\ \Omega Xeq=∣Zeq∣2−Req2=0.681822−0.314052=0.60519 ΩX_{eq}=\sqrt{|Z_{eq}|^2-R_{eq}^2} =\sqrt{0.68182^2-0.31405^2} =0.60519\ \Omega

換算成標麼值：

Req,pu=0.314057.744=0.04055R_{eq,\mathrm{pu}}=\frac{0.31405}{7.744}=0.04055 Xeq,pu=0.605197.744=0.07815X_{eq,\mathrm{pu}}=\frac{0.60519}{7.744}=0.07815

二、激磁支路參數的標麼值

開路試驗從低壓側量測。鐵損電阻為：

Rc=VOC2POC=2202650=74.4615 ΩR_c=\frac{V_{OC}^2}{P_{OC}} =\frac{220^2}{650}=74.4615\ \Omega

激磁電流的有功分量為：

Ic=POCVOC=650220=2.9545 AI_c=\frac{P_{OC}}{V_{OC}} =\frac{650}{220}=2.9545\ \mathrm{A}

由電流相量關係，激磁電流為：

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第 三 題20 分

三、一部額定 24 kW24\ \mathrm{kW}、240 V240\ \mathrm{V} 之他激式直流電動機，其電樞電阻 Ra=0.06 ΩR_a=0.06\ \Omega，以 240 V240\ \mathrm{V} 之直流電壓供電，電樞反應及機械損失均可忽略。

(一)若輸入電流為 90 A90\ \mathrm{A} 時，轉速為 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}。計算輸出轉矩。

(二)若輸出轉矩為 280 N⋅m280\ \mathrm{N\cdot m} 時，激磁條件與電源電壓均不變，計算此直流電動機之轉速與電樞電流。

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核心觀念

他激式直流電動機的激磁條件不變時，磁通 Φ\Phi 可視為定值。忽略電樞反應與機械損失，使用下列關係：

Ea=Vt−IaRaE_a=V_t-I_aR_a Pconv=EaIa=Tω且Ea=kΦω,T=kΦIaP_{\mathrm{conv}}=E_aI_a=T\omega \qquad\text{且}\qquad E_a=k\Phi\omega,\quad T=k\Phi I_a

其中 EaE_a 為電樞反電勢，VtV_t 為端電壓，IaI_a 為電樞電流，TT 為輸出轉矩，ω\omega 為角速度。本題忽略機械損失，因此轉換功率視為輸出機械功率。

解題方法

(一) 輸入電流 90 A90\ \mathrm{A} 時的輸出轉矩

他激式電動機的輸入電流包含電樞電流與激磁電流；題目未提供激磁電流，依此類題型的計算慣例，將 90 A90\ \mathrm{A} 視為電樞電流。故

Ia=90 AI_a=90\ \mathrm{A}

電樞反電勢為

Ea=240−(90)(0.06)=234.6 VE_a=240-(90)(0.06)=234.6\ \mathrm{V}

電磁轉換功率為

Pconv=EaIa=(234.6)(90)=21 114 WP_{\mathrm{conv}}=E_aI_a =(234.6)(90)=21\,114\ \mathrm{W}

將轉速換算為角速度：

ω=1200(2π60)=40π rad/s\omega=1200\left(\frac{2\pi}{60}\right) =40\pi\ \mathrm{rad/s}

因此輸出轉矩為

T=Pconvω=21 11440π≈167.9 N⋅mT=\frac{P_{\mathrm{conv}}}{\omega} =\frac{21\,114}{40\pi} \approx 167.9\ \mathrm{N\cdot m}

(二) 輸出轉矩 280 N⋅m280\ \mathrm{N\cdot m} 時的轉速與電樞電流

磁通不變，因此 T=kΦIaT=k\Phi I_a，轉矩與電樞電流成正比。先由第一小題求出比例常數：

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第 四 題20 分

四、一部三相 YY 接之同步電動機，每相同步電抗 0.850.85 標么，操作於額定電壓及頻率下，忽略電樞電阻及一切損失。此電動機之轉軸輸出半載時（Pm=0.5P_m=0.5 標么），調整激磁電流使其功率因數為 0.90.9 落後，保持激磁電流不變。

(一)試求此時之電樞電流 IaI_a 及內部生成電勢 EaE_a 之標么值。

(二)當電動機之轉軸輸出滿載時（Pm=1.0P_m=1.0 標么），計算其轉矩角 δ\delta 及功率因數。

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核心觀念

同步電動機忽略電樞電阻時，每相相量方程式為

Vϕ=Ea+jXsIa\mathbf V_\phi=\mathbf E_a+jX_s\mathbf I_a

其中 Xs=0.85X_s=0.85 標么。採用電動機慣例，功率因數落後代表電樞電流落後端電壓；轉軸輸出忽略損失時，輸入實功率等於輸出功率。

同步電動機的功率與轉矩角關係為

Pm=VϕEaXssin⁡δP_m=\frac{V_\phi E_a}{X_s}\sin\delta

此處 δ\delta 定義為內部生成電勢 Ea\mathbf E_a 落後端電壓 Vϕ\mathbf V_\phi 的角度。額定電壓下取 Vϕ=1V_\phi=1 標么。

解題方法

（一）半載時的電樞電流與內部生成電勢

半載輸出 Pm=0.5P_m=0.5 標么，功率因數為 0.90.9 落後，因此

cos⁡ϕ=0.9,ϕ=cos⁡−1(0.9)=25.842∘\cos\phi=0.9,\qquad \phi=\cos^{-1}(0.9)=25.842^\circ

電樞電流大小由實功率求得：

Pm=VIacos⁡ϕP_m=VI_a\cos\phi Ia=0.51×0.9=0.5556 puI_a=\frac{0.5}{1\times0.9}=0.5556\ \text{pu}

以端電壓為相角基準，Ia=0.5556∠−25.842∘\mathbf I_a=0.5556\angle -25.842^\circ。由同步電動機相量方程式：

Ea=Vϕ−jXsIa\mathbf E_a=\mathbf V_\phi-jX_s\mathbf I_a jXsIa=0.85(0.5556)∠(90∘−25.842∘)=0.4722∠64.158∘jX_s\mathbf I_a =0.85(0.5556)\angle(90^\circ-25.842^\circ) =0.4722\angle64.158^\circ

故

Ea=1∠0∘−0.4722∠64.158∘=0.7933−j0.4256\mathbf E_a =1\angle0^\circ-0.4722\angle64.158^\circ =0.7933-j0.4256 Ea=0.9003∠−28.2∘ pu\boxed{\mathbf E_a=0.9003\angle-28.2^\circ\ \text{pu}}

因此電樞電流與內部生成電勢的標么值分別為

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第 五 題20 分

五、某工廠有三部並聯運轉的三相交流電動機（兩部感應機及一部同步機），經一條輸電線連接至三相 480 V480\ \mathrm{V} 的無窮母線。每一部電動機消耗的有效功率及功率因數均標示在圖三中，輸電線的壓降可忽略不計。

圖三資料如下：

  • 感應電動機一：100 kW100\ \mathrm{kW}，PF1=0.7PF_1=0.7 落後。
  • 感應電動機二：150 kW150\ \mathrm{kW}，PF2=0.8PF_2=0.8 落後。
  • 同步電動機：200 kW200\ \mathrm{kW}，PF3=?PF_3=?。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一)若同步電動機的功率因數 PF3=0.85PF_3=0.85 落後，試計算輸電線之電流 ItrI_{tr}。

(二)調整同步電動機的激磁電流以改變其功率因數，試計算使輸電線電流 ItrI_{tr} 為最小的 PF3PF_3 之值及此最小電流值。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

三相負載並聯時，有效功率 PP 與虛功率 QQ 分別相加。以感性負載吸收虛功率為正、容性負載提供虛功率為負，則總視在功率為

Stot=Ptot2+Qtot2S_{\text{tot}}=\sqrt{P_{\text{tot}}^2+Q_{\text{tot}}^2}

三相線電流為

Itr=Stot3VLI_{tr}=\frac{S_{\text{tot}}}{\sqrt{3}V_L}

其中 VL=480 VV_L=480\ \mathrm{V}。各負載的虛功率可由功率因數求得：

Q=Ptan⁡ϕ=Ptan⁡(cos⁡−1PF)Q=P\tan\phi =P\tan(\cos^{-1}PF)

解題方法

先計算兩部感應電動機的虛功率，再與同步電動機的虛功率合成。同步電動機的功率因數落後時，Q3Q_3 為正；功率因數超前時，Q3Q_3 為負。

兩部感應電動機的虛功率為

Q1=100tan⁡(cos⁡−10.7)=1001−0.720.7≈102.02 kvarQ_1=100\tan(\cos^{-1}0.7) =100\frac{\sqrt{1-0.7^2}}{0.7} \approx102.02\ \mathrm{kvar} Q2=150tan⁡(cos⁡−10.8)=1501−0.820.8=112.50 kvarQ_2=150\tan(\cos^{-1}0.8) =150\frac{\sqrt{1-0.8^2}}{0.8} =112.50\ \mathrm{kvar}

因此兩部感應電動機合計吸收

Q1+Q2=214.52 kvarQ_1+Q_2=214.52\ \mathrm{kvar}

總有效功率固定為

Ptot=100+150+200=450 kWP_{\text{tot}}=100+150+200=450\ \mathrm{kW}

（一）PF3=0.85PF_3=0.85 落後時的輸電線電流

同步電動機吸收的虛功率為

Q3=200tan⁡(cos⁡−10.85)=2001−0.8520.85≈123.95 kvarQ_3=200\tan(\cos^{-1}0.85) =200\frac{\sqrt{1-0.85^2}}{0.85} \approx123.95\ \mathrm{kvar}

總虛功率為

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