114 公務人員升官等薦任 衛生檢驗 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題比較兩個獨立群體中「飲用地下水」的比例：罹患霍亂者與未罹患霍亂者各自的地下水飲用比例。適用兩獨立母體比例差的檢定，並以常態近似計算比例差的 95% 信賴區間。

令：

• $p_1$：罹患霍亂者飲用地下水的母體比例。
• $p_2$：未罹患霍亂者飲用地下水的母體比例。
• 關注的比例差為 $p_1-p_2$。

（一）兩組飲用地下水比例是否有差異？

解題方法

設雙尾檢定：

樣本比例為：

在虛無假設下，兩組比例相同，使用合併比例估計共同比例：

檢定統計量為：

代入數值：

雙尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下的臨界值為 $\pm1.96$。因 $|z|=11.71>1.96$，拒絕 $H_0$；$p$ 值遠小於 $0.05$。

**結論：**罹患霍亂者與未罹患霍亂者飲用地下水的比例有顯著差異。樣本中，罹患霍亂者飲用地下水的比例較低。

（二）比例差的 95% 信賴區間

解題方法

估計 $p_1-p_2$ 的信賴區間時，使用兩組各自的樣本比例估計標準誤，不使用檢定時的合併比例：

核心觀念

本題比較兩組獨立受試者的平均血壓改變值。病人以隨機方式分派服用 A 或 B 藥物，且題目假設兩組母群體變異數相等，因此使用獨立樣本合併變異數 $t$ 檢定，並以合併變異數估計兩組平均數差的標準誤。

令 $\mu_A$、$\mu_B$ 分別為服用 A、B 藥物後的母群體平均血壓改變值。以「前後血壓改變」的正值代表血壓下降，檢定：

採雙尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。

解題方法

樣本摘要如下：

（一）檢定兩種藥物效果是否有差異

先計算合併變異數：

代入數值：

因此 $s_p=\sqrt{117.81125}\approx10.854$。兩組平均數差的標準誤為：

檢定統計量為：

自由度為：

核心觀念

本題考驗 $2\times2$ 列聯表中兩個類別變項是否有關聯，適用 Pearson 卡方獨立性檢定。虛無假設為「吸菸與肺癌彼此獨立」，對立假設為「兩者不獨立、具有關聯」，顯著水準 $\alpha=0.05$。

解題方法

觀察值如下：

在虛無假設成立時，各格的期望次數為「列合計 $\times$ 欄合計 $\div$ 總人數」：

各格期望次數皆大於 5，符合 Pearson 卡方檢定的常用近似條件。檢定統計量為：

自由度為：

核心觀念

本題為同一批患者接受飲食改善介入前後的測量，應分析每位患者的「前後差值」，屬於成對樣本平均差檢定。題目已給差值「試驗前－試驗後」的平均數與標準差，因此以差值為分析單位，使用單一樣本 t 檢定。

令 $d_i=\text{試驗前白蛋白濃度}-\text{試驗後白蛋白濃度}$。檢定母體平均差 $\mu_d$ 是否為 0：

採雙尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。樣本數 $n=15$，母體標準差未知，故使用 t 分配，自由度為 $n-1=14$。

解題方法與計算

已知 $\bar d=-0.26$、$s_d=0.57$。平均差的標準誤為：

（一）平均差是否有統計上顯著差異

檢定統計量為：

自由度 $df=14$。雙尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下，臨界值為 $t_{0.975,14}\approx 2.145$。由於 $|t|=1.77<2.145$，不拒絕虛無假設；雙尾 $p$ 值約為 $0.098$，大於 $0.05$。