110 專利師高等考試 專利師(選試專業日文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

110 年・專利師・高等考試・專利師(選試專業日文及工程力學)
試題代碼 工程力學

第 一 題20 分

如圖所示之簡支樑（simply supported beam）ABAB，樑之BCBC段承受如圖所示的三角形分佈負載（distributed loading）作用。若不計樑本身的重量，試以xx的函數表示沿樑縱軸方向的內部剪力（internal shear）V(x)V(x)與彎矩（bending moment）M(x)M(x)，並分別畫出對應之剪力圖與彎矩圖。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

以 xx 自支承點 AA 向右量，令正剪力滿足 V′(x)=−w(x)V'(x)=-w(x)，正彎矩為使樑產生正彎曲（下凹）的彎矩。剪力是分佈負載的累積效果，彎矩則是剪力的累積效果：

dVdx=−w(x),dMdx=V(x)\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)

圖中 AB=6 mAB=6\,\text{m}、AC=3 mAC=3\,\text{m}；三角形負載由 CC 的 00 線性增加至 BB 的 4 kN/m4\,\text{kN/m}。因此在 3≤x≤63\le x\le6：

w(x)=43(x−3) kN/mw(x)=\frac{4}{3}(x-3)\ \text{kN/m}

解題方法

先以整體平衡求支承反力。三角形負載的合力為其面積，作用點距零負載端 CC 為底長的 2/32/3，即距 CC 2 m2\,\text{m}、距 AA 5 m5\,\text{m}：

W=12(3)(4)=6 kNW=\frac12(3)(4)=6\ \text{kN} ∑MA=0:RB(6)−6(5)=0⟹RB=5 kN\sum M_A=0:\quad R_B(6)-6(5)=0 \quad\Longrightarrow\quad R_B=5\ \text{kN} ∑Fy=0:RA+RB−6=0⟹RA=1 kN\sum F_y=0:\quad R_A+R_B-6=0 \quad\Longrightarrow\quad R_A=1\ \text{kN}

分段取樑截面：

  • **0≤x≤30\le x\le3：**截面左側只有 RAR_A，所以 V(x)=1V(x)=1。由 M(0)=0M(0)=0 積分，得 M(x)=xM(x)=x。
  • **3≤x≤63\le x\le6：**令 u=x−3u=x-3。截面左側負載合力為 ∫3xw(s) ds=23u2\int_3^x w(s)\,ds=\frac23u^2，故
V(x)=1−23(x−3)2V(x)=1-\frac23(x-3)^2

彎矩由 M(3)=3 kN⋅mM(3)=3\,\text{kN}\cdot\text{m} 起算，對剪力積分：

M(x)=3+∫3xV(s) ds=3+(x−3)−29(x−3)3M(x)=3+\int_3^x V(s)\,ds =3+(x-3)-\frac29(x-3)^3

剪力圖與彎矩圖

剪力與彎矩的關鍵值如下：

位置VV（kN）MM（kN·m）
AA，x=0x=01100
CC，x=3x=31133
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

如圖所示之質量4 kg4\ \mathrm{kg}的球AA在左端由靜止釋放，沿半徑為5 m5\ \mathrm{m}的1/41/4圓形光滑滑道滑下，於θ=90∘\theta=90^\circ時與BB球碰撞。若BB球質量為2 kg2\ \mathrm{kg}，且兩球間的恢復係數（coefficient of restitution）e=0.5e=0.5，試求碰撞後球AA與球BB的速度，和碰撞期間的能量損失。以及當球AA滑至θ=45∘\theta=45^\circ時，求滑道作用在球AA的正向力（球的尺寸大小忽略不計，且均不考慮摩擦力；重力加速度g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題分成三個階段：

  1. 球 AA 沿光滑圓弧下滑，以機械能守恆求碰撞前速度。
  2. 兩球碰撞時，沿碰撞方向使用動量守恆與恢復係數求碰撞後速度，再比較碰撞前後動能求能量損失。
  3. 球 AA 在圓弧上滑至 θ=45∘\theta=45^\circ 時，使用能量守恆求速度，再以徑向運動方程求滑道正向力。

由圖可知，球 BB 初始靜止；碰撞發生於圓弧底端，兩球的碰撞方向為水平方向。

解題方法

一、求碰撞前球 AA 的速度

球 AA 從圓弧左端靜止釋放，到 θ=90∘\theta=90^\circ 時下降高度為圓弧半徑 R=5 mR=5\ \mathrm{m}。因滑道光滑，機械能守恆：

mAgR=12mAuA2m_AgR=\frac12m_Au_A^2

因此

uA=2gR=2(9.81)(5)=9.905 m/su_A=\sqrt{2gR} =\sqrt{2(9.81)(5)} =9.905\ \mathrm{m/s}

球 AA 碰撞前速度為向右 9.905 m/s9.905\ \mathrm{m/s}，球 BB 靜止。

二、求碰撞後兩球速度

令向右為正，碰撞期間沿水平方向的動量守恆：

4uA=4vA+2vB4u_A=4v_A+2v_B

恢復係數關係為

e=vB−vAuA−0=0.5e=\frac{v_B-v_A}{u_A-0}=0.5

代入 uA=9.905 m/su_A=9.905\ \mathrm{m/s}，聯立可得

vA=0.5uA=4.952 m/sv_A=0.5u_A=4.952\ \mathrm{m/s} vB=uA=9.905 m/sv_B=u_A=9.905\ \mathrm{m/s}

兩球碰撞後皆向右運動。

三、求碰撞期間的能量損失

碰撞前總動能為

T前=12(4)uA2=98.10 JT_{\text{前}}=\frac12(4)u_A^2=98.10\ \mathrm{J}

碰撞後總動能為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題20 分

如圖所示之連桿ABAB以ωAB=10 rad/s\omega_{AB}=10\ \mathrm{rad/s}的角速度及αAB=1 rad/s2\alpha_{AB}=1\ \mathrm{rad/s^2}的角加速度作順時針轉動，試求圖中滑塊CC的速度、連桿BCBC之角速度、BB點的速度大小、BB點的加速度大小。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查平面連桿機構的相對速度，以及定軸轉動剛體上各點的速度、加速度。

取 xx 軸向右、yy 軸向上，逆時針為正。圖中 AB=BC=1 mAB=BC=1\ \mathrm m，兩桿與水平線的夾角皆為 45∘45^\circ。連桿 ABAB 順時針轉動，因此

ωAB=−10 rad/s,αAB=−1 rad/s2.\omega_{AB}=-10\ \mathrm{rad/s},\qquad \alpha_{AB}=-1\ \mathrm{rad/s^2}.

解題方法

1. 求 BB 點速度

由 AA 點固定，且

rB/A=(cos⁡45∘,sin⁡45∘)=(12,12) m.\mathbf r_{B/A}=(\cos45^\circ,\sin45^\circ) =\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)\ \mathrm m.

定軸轉動的速度關係為 vB=ωAB×rB/A\mathbf v_B=\boldsymbol\omega_{AB}\times\mathbf r_{B/A}，故

vB=(102,−102)=(7.071,−7.071) m/s.\mathbf v_B =\left(\frac{10}{\sqrt2},-\frac{10}{\sqrt2}\right) =(7.071,-7.071)\ \mathrm{m/s}.

因此 BB 點速度大小為

∣vB∣=∣ωAB∣ AB=10(1)=10 m/s.|\mathbf v_B|=|\omega_{AB}|\,AB=10(1)=10\ \mathrm{m/s}.

2. 求滑塊 CC 的速度及連桿 BCBC 的角速度

由 BB 指向 CC 的位置向量為

rC/B=(cos⁡45∘,−sin⁡45∘)=(12,−12) m.\mathbf r_{C/B} =(\cos45^\circ,-\sin45^\circ) =\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}\right)\ \mathrm m.

滑塊 CC 只能沿水平軌道運動，因此 vCy=0v_{Cy}=0。使用相對速度式

vC=vB+ωBC×rC/B,\mathbf v_C=\mathbf v_B+\boldsymbol\omega_{BC}\times\mathbf r_{C/B},

其中 ωBC\omega_{BC} 以逆時針為正。展開分量：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題20 分

如圖所示之某種材料製成的纜繩ABAB和CDCD支撐一個重量7000 N7000\ \mathrm{N}的物體。若纜繩原來的長度均為1 m1\ \mathrm{m}、直徑均為4 mm4\ \mathrm{mm}，且纜繩的應力－應變曲線亦顯示於圖中。試求支撐此7000 N7000\ \mathrm{N}的物體時，纜繩ABAB和CDCD的伸長量，以及卸下此7000 N7000\ \mathrm{N}的物體後，纜繩ABAB和CDCD的應變量。重力加速度g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查懸吊節點的力平衡、軸向應力與應變，以及材料卸載後的永久應變。

  • 圓纜截面積：A=πd24A=\dfrac{\pi d^2}{4}
  • 正向應力：σ=TA\sigma=\dfrac{T}{A}
  • 軸向應變：ε=ΔLL0\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_0}
  • 卸載時依應力－應變圖初始直線段的斜率回復，彈性模數為 E=Δσ/ΔεE=\Delta\sigma/\Delta\varepsilon。

解題方法

圖中 ABAB 與鉛直方向夾角為 45∘45^\circ，CDCD 與鉛直方向夾角為 30∘30^\circ。在兩纜繩交會處列水平、鉛直方向力平衡：

TABsin⁡45∘=TCDsin⁡30∘T_{AB}\sin45^\circ=T_{CD}\sin30^\circ TABcos⁡45∘+TCDcos⁡30∘=7000T_{AB}\cos45^\circ+T_{CD}\cos30^\circ=7000

由水平平衡得 TCD=2 TABT_{CD}=\sqrt{2}\,T_{AB}，代入鉛直平衡：

TAB=7000cos⁡45∘+2cos⁡30∘=3623.5 NT_{AB}=\frac{7000}{\cos45^\circ+\sqrt{2}\cos30^\circ} =3623.5\ \mathrm{N} TCD=2 TAB=5124.4 NT_{CD}=\sqrt{2}\,T_{AB}=5124.4\ \mathrm{N}

纜繩直徑 d=4 mmd=4\ \mathrm{mm}，所以截面積為

A=π(4)24=12.566 mm2A=\frac{\pi(4)^2}{4}=12.566\ \mathrm{mm^2}

因此兩纜繩的應力為

σAB=3623.512.566=288.35 MPa\sigma_{AB}=\frac{3623.5}{12.566}=288.35\ \mathrm{MPa} σCD=5124.412.566=407.78 MPa\sigma_{CD}=\frac{5124.4}{12.566}=407.78\ \mathrm{MPa}

由圖可得初始直線段從 (ε,σ)=(0,0)(\varepsilon,\sigma)=(0,0) 到 (0.002,350 MPa)(0.002,350\ \mathrm{MPa})，故

E=3500.002=175000 MPaE=\frac{350}{0.002}=175000\ \mathrm{MPa}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 五 題20 分

如圖所示之某平面應力狀態以應力分量σx\sigma_x、σy\sigma_y及τxy\tau_{xy}所定義。試繪出對應於如圖所示之平面應力狀態莫耳圓（Mohr’s Circle），圖中須標示出圓心位置座標及圓半徑。並利用此莫耳圓求最大主應力（maximum principal stress）、最大剪應力（maximum shear stress）及作用在圖中斜面ABAB上之剪應力（shear stress）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

此題考平面應力的莫耳圓、主應力、最大剪應力，以及斜面上的剪應力。圖中右側為 650 MPa650\text{ MPa} 拉應力，頂面為 400 MPa400\text{ MPa} 壓應力，且沒有剪應力，因此

σx=650 MPa,σy=−400 MPa,τxy=0\sigma_x=650\text{ MPa},\qquad \sigma_y=-400\text{ MPa},\qquad \tau_{xy}=0

拉應力取正、壓應力取負。莫耳圓的圓心與半徑為

C=(σx+σy2,0),R=(σx−σy2)2+τxy2C=\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\right),\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}

解題方法

先以 xx 面與 yy 面的應力狀態作為莫耳圓上的兩點：

(σx,τxy)=(650,0),(σy,−τxy)=(−400,0)(\sigma_x,\tau_{xy})=(650,0),\qquad (\sigma_y,-\tau_{xy})=(-400,0)

因此圓心及半徑為

C=(650−4002,0)=(125,0) MPaC=\left(\frac{650-400}{2},0\right)=(125,0)\text{ MPa} R=(650−(−400)2)2=525 MPaR=\sqrt{\left(\frac{650-(-400)}{2}\right)^2} =525\text{ MPa}

莫耳圓方程式為

(σ−125)2+τ2=5252(\sigma-125)^2+\tau^2=525^2

圓與正應力軸的交點為 (−400,0)(-400,0) 與 (650,0)(650,0)，所以最大主應力為

σ1=125+525=650 MPa\sigma_1=125+525=650\text{ MPa}

最大剪應力等於莫耳圓半徑：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

專利師(選試專業日文及工程力學)《工程力學》其他年度

115114113112111109108

110 年專利師高等考試・其他類科的《工程力學》

專利師(選試專業英文及工程力學)