109 專利師高等考試 專利師(選試專業日文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

109 年・專利師・高等考試・專利師(選試專業日文及工程力學)
試題代碼 工程力學

第 一 題20 分

如圖所示之招牌質量為 100 kg100\ \mathrm{kg}，重心位於 GG 點，由位於 AA 點處之球窩接頭（ball-and-socket joint）及兩根連接於 BB 處之纜繩支撐，試求 AA 處之反力及纜繩 BCBC、BDBD 之張力。

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核心觀念

本題考查三維剛體靜力平衡。球窩接頭在 AA 點可提供三個方向的反力分量，但不提供力偶；纜繩只能沿各自方向施加拉力。對 AA 點取力矩，可先消去 AA 點反力，求出兩條纜繩的張力，再用力平衡求 AA 點反力。

解題方法

依圖取 AA 為原點，x,y,zx,y,z 軸如圖所示。由尺寸可得各點座標：

A=(0,0,0),B=(0,2,0),C=(1,0,2),D=(−2,0,1),G=(0,1,0) mA=(0,0,0),\quad B=(0,2,0),\quad C=(1,0,2),\quad D=(-2,0,1),\quad G=(0,1,0)\ \mathrm{m}

招牌重量為

W=mg=100(9.81)=981 NW=mg=100(9.81)=981\ \mathrm{N}

纜繩方向向量及單位向量為

BC→=(1,−2,2),uBC=13(1,−2,2)\overrightarrow{BC}=(1,-2,2),\qquad \mathbf{u}_{BC}=\frac{1}{3}(1,-2,2) BD→=(−2,−2,1),uBD=13(−2,−2,1)\overrightarrow{BD}=(-2,-2,1),\qquad \mathbf{u}_{BD}=\frac{1}{3}(-2,-2,1)

令兩纜繩張力分別為 TBCT_{BC}、TBDT_{BD}。由於纜繩連接於 BB 點，合纜繩力為

FB=TBCuBC+TBDuBD\mathbf{F}_B =T_{BC}\mathbf{u}_{BC}+T_{BD}\mathbf{u}_{BD}

對 AA 點取力矩。位置向量為 rB=(0,2,0)\mathbf{r}_B=(0,2,0)、rG=(0,1,0)\mathbf{r}_G=(0,1,0)，平衡方程為

rB×FB+rG×(0,0,−981)=0\mathbf{r}_B\times\mathbf{F}_B +\mathbf{r}_G\times(0,0,-981)=\mathbf{0}

比較 xx、zz 分量：

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第 二 題20 分

如圖所示之桿件（質量可忽略）兩端分別安裝質量 4 kg4\ \mathrm{kg} 與 2 kg2\ \mathrm{kg} 之質量塊（可視為質點），在 θ=60∘\theta=60^\circ 時從靜止釋放，並在垂直平面上繞 OO 點轉動（無摩擦），試求 2 kg2\ \mathrm{kg} 質量塊撞擊彈簧前一瞬間之速度及撞擊後彈簧之最大壓縮變形量（假設此次撞擊變形極小，桿件仍可視為維持水平）。

圖示尺寸與資料如下：

  • OO 點至 4 kg4\ \mathrm{kg} 質量塊之距離為 300 mm300\ \mathrm{mm}。
  • OO 點至 2 kg2\ \mathrm{kg} 質量塊之距離為 450 mm450\ \mathrm{mm}。
  • 彈簧常數為 k=35 kN/mk=35\ \mathrm{kN/m}。

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核心觀念

本題考剛體繞固定軸轉動的能量守恆。桿件質量可忽略，轉動慣量只由兩端質點構成：

IO=∑miri2I_O=\sum m_i r_i^2

由靜止釋放至碰到彈簧前，重力位能的減少轉為轉動動能；彈簧壓縮期間，轉動動能再轉為彈簧位能。

解題方法

取 OO 點為高度基準。圖示的 θ=60∘\theta=60^\circ 是桿件與水平線的夾角；桿件轉至水平時，兩個質量塊都位於 OO 點高度。

初始時，4 kg4\ \mathrm{kg} 質量塊位於 OO 點上方，2 kg2\ \mathrm{kg} 質量塊位於下方。由初始位置轉至水平時，系統位能變化為

ΔV=4g(0−0.300sin⁡60∘)+2g(0+0.450sin⁡60∘)\Delta V =4g(0-0.300\sin60^\circ) +2g(0+0.450\sin60^\circ)

因此重力位能減少量為

−ΔV=(4×0.300−2×0.450)gsin⁡60∘=2.55 J-\Delta V =(4\times0.300-2\times0.450)g\sin60^\circ =2.55\ \mathrm{J}

轉動慣量為

IO=4(0.300)2+2(0.450)2=0.765 kg m2I_O=4(0.300)^2+2(0.450)^2 =0.765\ \mathrm{kg\,m^2}

碰到彈簧前，由能量守恆：

12IOω2=2.55\frac12 I_O\omega^2=2.55 ω=2(2.55)0.765=2.58 rad/s\omega=\sqrt{\frac{2(2.55)}{0.765}} =2.58\ \mathrm{rad/s}
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第 三 題20 分

如圖所示之均質圓盤（質量 mm）在邊緣 OO 點處由一軸承（無摩擦）懸掛。當此圓盤由圖示水平位置從靜止釋放，試求圓盤釋放瞬間之角加速度與軸承之反力。

圖示圓盤半徑為 rr，圓心為 CC。

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核心觀念

圓盤繞固定軸承點 OO 作定軸轉動。釋放瞬間由靜止開始，因此角速度 ω=0\omega=0，圓心的向心加速度 ω2r\omega^2r 為零，只有切向加速度。

均質圓盤對圓心 CC 的轉動慣量為 IC=12mr2I_C=\frac12mr^2。由平行軸定理，對軸承點 OO 的轉動慣量為

IO=IC+mr2=32mr2.I_O=I_C+mr^2=\frac32mr^2.

解題方法

重力作用於圓心 CC，其作用線與軸承點 OO 的水平距離為 rr，所以重力對 OO 的力矩大小為 mgrmgr，方向為順時針。由定軸轉動方程式：

∑MO=IOα\sum M_O=I_O\alpha mgr=32mr2α⟹α=2g3r.mgr=\frac32mr^2\alpha \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\frac{2g}{3r}.

因此，圓盤釋放瞬間的角加速度大小為 2g3r\frac{2g}{3r}，方向順時針。此時圓心的切向加速度大小為

aC=αr=2g3,a_C=\alpha r=\frac{2g}{3},

方向向下。

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第 四 題20 分

如圖所示之組合桿件由鋼（Steel）製與黃銅（Brass）製實心圓柱所串接組成，在不受力下剛好可塞入固定長度之剛性間隙 AEAE 內並於兩端焊接固定。鋼及黃銅材料之楊氏係數分別為 Es=200 GPaE_s=200\ \mathrm{GPa}、Eb=105 GPaE_b=105\ \mathrm{GPa}，試求在 BB、DD 處施加圖中所示負載後，AA、EE 處分別之反力及 CC 點處之變形位移量。

圖示尺寸與資料如下：

  • AB=180 mmAB=180\ \mathrm{mm}。
  • BC=120 mmBC=120\ \mathrm{mm}。
  • CD=100 mmCD=100\ \mathrm{mm}。
  • DE=100 mmDE=100\ \mathrm{mm}。
  • ABAB 至 CC 為鋼製實心圓柱，直徑為 40 mm40\ \mathrm{mm}。
  • CC 至 EE 為黃銅製實心圓柱，直徑為 30 mm30\ \mathrm{mm}。
  • BB 點施加向右之 60 kN60\ \mathrm{kN} 負載。
  • DD 點施加向右之 40 kN40\ \mathrm{kN} 負載。

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核心觀念

此題是兩端固定的軸向桿件，屬於一次靜不定問題。平衡方程式不足以單獨求出兩端反力，還要使用兩端間總長度不變的變形相容條件：

∑δi=∑NiLiAiEi=0\sum \delta_i=\sum \frac{N_iL_i}{A_iE_i}=0

其中拉力取正、壓力取負。鋼與黃銅的截面積分別為：

As=π(40)24=400π mm2,Ab=π(30)24=225π mm2A_s=\frac{\pi(40)^2}{4}=400\pi\ \mathrm{mm^2}, \qquad A_b=\frac{\pi(30)^2}{4}=225\pi\ \mathrm{mm^2}

彈性模數換算為 Es=200,000 N/mm2E_s=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}、Eb=105,000 N/mm2E_b=105{,}000\ \mathrm{N/mm^2}。

解題方法

令向右為正，設 A 點反力為 RAR_A、E 點反力為 RER_E。沿桿件由左向右分段取截面，可得各段軸力：

NAB=−RA,NBC=NCD=−(RA+60,000),NDE=−(RA+100,000)N_{AB}=-R_A,\quad N_{BC}=N_{CD}=-(R_A+60{,}000),\quad N_{DE}=-(R_A+100{,}000)

單位均為 N。C 點只是材料交界，沒有外力，因此 BC、CD 的軸力相同；兩段因材料與直徑不同，變形量仍須分別計算。

由 A 至 E 的總變形為零：

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第 五 題20 分

如圖所示之簡支梁承受集中負載，試求在 nn-nn 截面上之最大橫向剪應力。

圖示梁件與截面尺寸如下：

  • 簡支梁支承於 AA、BB 兩端。
  • 梁跨度為 1000 mm1000\ \mathrm{mm}，集中負載 180 kN180\ \mathrm{kN} 作用於跨距中央，距離 AA、BB 各為 500 mm500\ \mathrm{mm}。
  • nn-nn 截面位於 AA 點右側。
  • nn-nn 截面為圖示之組合截面：上翼板寬度為 160 mm160\ \mathrm{mm}、厚度為 20 mm20\ \mathrm{mm}；總高度為 100 mm100\ \mathrm{mm}；左右兩側腹板之寬度各為 30 mm30\ \mathrm{mm}，中央間隔為 20 mm20\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

本題考簡支梁的剪力，以及非矩形組合截面的最大橫向剪應力。使用公式

τ=VQIt\tau=\frac{VQ}{It}

其中 VV 為截面剪力、QQ 為中性軸一側面積對中性軸的一次矩、II 為整個截面對中性軸的慣性矩，tt 為該處截面的總寬度。

解題方法

由對稱性，兩端支承反力相等：

RA=RB=1802=90 kNR_A=R_B=\frac{180}{2}=90\ \mathrm{kN}

nn-nn 截面位於集中力左側，因此該處剪力大小為

V=90 kN=90,000 NV=90\ \mathrm{kN}=90{,}000\ \mathrm{N}

截面由上翼板 160×20 mm160\times20\ \mathrm{mm} 與兩片腹板組成；每片腹板寬 30 mm30\ \mathrm{mm}，高度為 100−20=80 mm100-20=80\ \mathrm{mm}。

以截面頂部為基準，求中性軸位置：

yˉ=(160×20)(10)+2(30×80)(60)(160×20)+2(30×80)=40 mm\bar y =\frac{(160\times20)(10)+2(30\times80)(60)} {(160\times20)+2(30\times80)} =40\ \mathrm{mm}

中性軸位於頂部下方 40 mm40\ \mathrm{mm}，落在兩片腹板內。

依平行軸定理，截面對中性軸的慣性矩為

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