113 專利師高等考試 專利師(選試專業日文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面桁架的支承反力、截面法與零力桿判斷。桁架各接點視為理想鉸接，桿件只承受軸力；拉力以正值表示，壓力以負值表示。

支承反力先由整體平衡求得；桿件 $TH$ 用截面法取矩消去其他未知桿力；桿件 $SJ$ 則可利用未受外力接點 $C$ 的零力桿判斷。

解題方法

一、求支承點反作用力

令底部水平座標為 $A=0,\ G=2,\ H=4,\ I=8,\ J=10,\ D=12$（單位：m）。

依圖示桿長及桁架幾何，$T、S$ 的水平座標分別為 $6、9$ m。外力均向下，故整體平衡式為

因此

再由垂直力平衡：

兩支承反力皆向上。

二、求桿件 $TH$ 受力

在桿件 $TH、TI、HI$ 處作截面，取左側桁架為自由體，並對接點 $I$ 取矩。$TI$ 與 $HI$ 的作用線通過 $I$，對 $I$ 的力矩為零。

由圖中幾何，$TH$ 的方向向量為 $(2,2\sqrt3)$，長度為 $4$ m，其單位方向向量為

假設 $TH$ 為拉力，對 $I$ 取矩：

核心觀念

本題考查理想繩索的張力相等、不可伸長繩索的運動約束，以及牛頓第二定律。圖中繩索一端連接 $P$，繞過左側固定滑輪、再繞過連接 $P$ 的動滑輪，最後經右側固定滑輪連接 $Q$。因此，$P$ 受到三段繩索張力向上的作用力。

解題方法

令 $P$ 向下加速度為 $a_P$，$Q$ 向左加速度為 $a_Q$。繩長不變；$P$ 下移時，三段隨 $P$ 移動的繩長都增加，因此 $Q$ 必須向左移動以補償：

$P$ 的受力方程式為

$Q$ 水平方向的動摩擦力大小為

張力拉 $Q$ 向左，摩擦力向右，故

代入 $m_P=25\ \text{kg}$，聯立兩式：

核心觀念

薄壁圓筒承受內壓時，筒壁主要有兩個互相垂直的膜應力：

• 環向應力：$\sigma_\theta=\dfrac{pD}{2t}$
• 縱向應力：$\sigma_z=\dfrac{pD}{4t}$

銲道與容器縱軸成 $45^\circ$，因此須將縱向、環向應力轉換至「垂直銲道」與「平行銲道」方向，求出銲道上的正應力與剪應力。

解題方法

由圖得容器直徑 $D=2.5\ \mathrm{m}=2500\ \mathrm{mm}$，鋼板厚度 $t=15\ \mathrm{mm}$，內壓力 $p=4\ \mathrm{MPa}=4\ \mathrm{N/mm^2}$。

先計算圓筒膜應力：

以縱向、環向為平面應力座標，銲道方向相對縱軸為 $45^\circ$。在垂直銲道方向取正應力、沿銲道方向取剪應力，應力轉換式為：

核心觀念

本題考空心圓軸受扭時，彈性—完全塑性材料的剪應力分布。截面上的剪應力沿半徑變化，扭矩由各微小面積上的剪力矩積分得到：

對半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的環形面積，$dA=2\pi r\,dr$，因此：

本題 $r_i=20\ \mathrm{mm}$、$r_o=30\ \mathrm{mm}$，剪降伏強度 $\tau_Y=120\ \mathrm{MPa}$。

解題方法

先求外表面初降伏扭矩。彈性階段有 $\tau=Tr/J$，其中：

因此，$4\ \mathrm{kN\,m}<T_Y$，第一小題全截面仍為彈性；$4.5\ \mathrm{kN\,m}>T_Y$，第二小題外側已有塑性區，但尚未全塑性。

（一）$T=4\ \mathrm{kN\,m}$

剪應力沿半徑呈線性分布：

內、外表面的剪應力分別為：

外表面尚未達到 $120\ \mathrm{MPa}$，故整個材料環形截面均保持彈性。下圖表示剪應力大小隨半徑的變化；$0\le r<20\ \mathrm{mm}$ 為中空部分，沒有材料，也沒有剪應力。

τ (MPa)
120 |
 | ● 117.53
 | ／
 | ／
 78 | ●
 | ／
 0 +───────────┬──────────────── r (mm)
 0 20 30
 中空 材料：線性增加

（二）$T=4.5\ \mathrm{kN\,m}$