110 民航特考三等 航空通信 通信原理 考古題詳解

核心觀念

這題考查兩個觀念：取樣會如何改變訊號的頻譜，以及如何用數位取樣、離散時間處理與數位類比轉換，實現連續時間的時間尺度變換 $x(at)$。

令 $x(t)$ 的傅立葉轉換為 $X(f)$，其中 $f$ 的單位為赫茲。若以取樣週期 $T_s$、取樣頻率 $f_s=1/T_s$ 取樣，理想取樣訊號可寫成

$$x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s).$$

其傅立葉轉換為

$$X_s(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(f-kf_s).$$

因此，取樣會使原頻譜以 $f_s$ 為間隔重複排列。若原訊號的最高頻率為 $B$，且 $f_s>2B$，相鄰頻譜副本不重疊，可用理想低通濾波器重建原訊號；若 $f_s<2B$，頻譜副本重疊，不同頻率成分便會混合，產生混疊（aliasing）。

（一）傅立葉轉換與取樣、混疊現象

解題方法

由取樣後的頻譜副本是否重疊，說明取樣率對訊號重建的影響，再以單頻三角函數計算混疊後的表觀頻率。

取單頻餘弦訊號為例：

$$x(t)=\cos(2\pi f_0t).$$

若以頻率 $f_s$ 取樣，樣本為

$$x[n]=x(nT_s) =\cos\left(2\pi f_0\frac{n}{f_s}\right).$$

由於離散時間角頻率以 $2\pi$ 為週期，頻率相差整數倍 $f_s$ 的正弦波，在取樣點上無法區分。若某個頻率 $f_a$ 落在奈奎斯特範圍 $0\le f_a\le f_s/2$，則與它產生相同樣本的頻率可寫成

$$f_0=kf_s\pm f_a,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

這表示取樣資料只能反映折返至 $0$ 至 $f_s/2$ 範圍內的表觀頻率，不能單靠樣本判定原訊號究竟來自哪個頻譜副本。

單頻取樣例

令

$$x(t)=\cos(2\pi\cdot 900t),\qquad f_s=1000\ \text{Hz}.$$

取樣後

$$x[n]=\cos\left(2\pi\frac{900}{1000}n\right) =\cos(1.8\pi n) =\cos(0.2\pi n),$$

其中最後一步利用離散時間頻率的 $2\pi$ 週期性。因此，取樣後的序列與 $100\ \text{Hz}$ 餘弦波取樣所得的序列相同；$900\ \text{Hz}$ 成分折返成 $100\ \text{Hz}$，即為混疊。

若 $f_s=1000\ \text{Hz}$，奈奎斯特頻率為 $500\ \text{Hz}$。因為原訊號的 $900\ \text{Hz}$ 高於 $500\ \text{Hz}$，故取樣率不足以避免混疊。若要避免此單頻訊號混疊，取樣頻率須滿足 $f_s>2(900)=1800\ \text{Hz}$；實際系統通常還會在取樣前加上抗混疊低通濾波器，限制輸入頻寬。

（二）以數位信號處理實現 $x(at)$

核心觀念與解題方法

直接在連續時間訊號上變換時間尺度，會改變其頻率尺度。以赫茲表示頻率時，若 $y(t)=x(at)$，則

$$Y(f)=\frac{1}{|a|}X\left(\frac{f}{a}\right).$$

本題指定 $a>0$，故 $|a|=a$。當 $a>1$，$x(at)$ 是時間壓縮訊號，頻譜展寬；當 $0<a<1$，則是時間擴張訊號，頻譜縮窄。

數位實作的關鍵是依時間尺度改變輸出樣本的取值位置。若輸入取樣序列為 $x[n]=x(nT_i)$，輸出要在 $t=mT_o$ 時產生 $y[m]=x(amT_o)$。當 $aT_o/T_i=L/M$ 時，可用有理數取樣率轉換實現：

核心觀念

角度調變的瞬時相位為

$$\theta(t)=2\pi f_c t+\beta\cos(2\pi f_m t),$$

因此瞬時頻率是

$$f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\theta(t)}{dt} =f_c-\beta f_m\sin(2\pi f_m t).$$

頻率偏移的峰值為 $\Delta f=\beta f_m$，所以調變指數為

$$\beta=\frac{\Delta f}{f_m}.$$

本題的窄頻條件是 $\beta\ll 1$。在此條件下，可將相位中的調變項作小角度近似，保留 $\beta$ 的一次項，忽略 $\beta^2$ 以上的高次項。又因 $f_c\gg f_m$，載波及其鄰近側頻帶可清楚視為位於載波頻率附近。

解題方法與近似式推導

令 $\omega_c=2\pi f_c$、$\omega_m=2\pi f_m$，原式寫成

$$x(t)=A\cos\left(\omega_c t+\beta\cos\omega_m t\right).$$

利用和角公式展開：

$$x(t)=A\left[ \cos\omega_c t\cos(\beta\cos\omega_m t) -\sin\omega_c t\sin(\beta\cos\omega_m t) \right].$$

當 $\beta\ll1$ 時，套用小角度近似 $\cos u\approx1$、$\sin u\approx u$，其中 $u=\beta\cos\omega_m t$：

$$\cos(\beta\cos\omega_m t)\approx1, \qquad \sin(\beta\cos\omega_m t)\approx\beta\cos\omega_m t.$$

因此

$$x(t)\approx A\cos\omega_c t-A\beta\cos\omega_m t\sin\omega_c t.$$

再用積化和差公式

$$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right],$$

得到窄頻近似式：

核心觀念

本題考查 AWGN 通道中的數位訊號判決，以及 MAP、ML 判決準則的關係；最後要求畫出以匹配濾波器實現的 ML-PSK 接收器。

令傳送訊號為 $s_i(t)$，接收訊號為

$$r(t)=s_i(t)+n(t),\qquad 0\le t\le T$$

其中 $n(t)$ 為加性白色高斯雜訊（AWGN），且雙邊功率頻譜密度為 $N_0/2$。接收器要根據觀察到的 $r(t)$，從候選訊號集合中判定最可能傳送的訊號。

（一）AWGN 模型與 MAP 接收器

傳輸模型

 傳送訊號 s_i(t)
 │
 ▼
 ┌──────────┐
 │ 相加器 ├────────► 接收訊號 r(t)
 └─────┬────┘
 ▲
 │
 AWGN n(t)

MAP 判決原理

最大後機率接收器選擇在已觀察到 $r(t)$ 的條件下，後驗機率最大的訊號：

$$\hat{s}_{\text{MAP}} =\arg\max_{s_i} P(s_i\mid r)$$

由貝氏定理，

$$P(s_i\mid r)=\frac{p(r\mid s_i)P(s_i)}{p(r)}$$

對所有候選訊號而言，$p(r)$ 相同，因此 MAP 判決可寫成

$$\hat{s}_{\text{MAP}} =\arg\max_{s_i} p(r\mid s_i)P(s_i)$$

其中 $p(r\mid s_i)$ 是接收訊號在傳送 $s_i$ 時的條件機率密度，$P(s_i)$ 是 $s_i$ 的先驗機率。MAP 接收器同時考慮通道觀察結果與各訊號原本的發生機率。

對 AWGN 通道，可用訊號與接收波形的平方距離表示條件似然：

$$p(r\mid s_i)\propto \exp\left[-\frac{1}{N_0}\int_0^T \bigl(r(t)-s_i(t)\bigr)^2\,dt\right]$$

因此，MAP 判決等價於選擇使下式最小的訊號：

$$\hat{s}_{\text{MAP}} =\arg\min_{s_i} \left\{ \int_0^T \bigl(r(t)-s_i(t)\bigr)^2\,dt -N_0\ln P(s_i) \right\}$$

此式顯示 MAP 判決包含兩部分：接收波形與候選訊號的距離，以及先驗機率造成的偏移。先驗機率較大的訊號，在其他條件相同時較容易被選中。

（二）ML 接收器及其與 MAP 的關係

最大可能性接收器選擇使觀察到的接收訊號最可能出現的傳送訊號：

$$\hat{s}_{\text{ML}}=\arg\max_{s_i}p(r\mid s_i)$$

在 AWGN 通道中，代入條件機率密度，可得

$$\hat{s}_{\text{ML}} =\arg\min_{s_i}\int_0^T\bigl(r(t)-s_i(t)\bigr)^2\,dt$$

因此，ML 接收器會選擇與接收波形歐氏距離最小的訊號，也就是最小距離判決。

比較兩種準則：

$$\text{MAP：}\quad \arg\max_{s_i} p(r\mid s_i)P(s_i)$$ $$\text{ML：}\quad \arg\max_{s_i} p(r\mid s_i)$$

核心觀念

衰減通道描述無線電波傳播時，接收訊號因反射、繞射、散射等現象，經由多條路徑抵達接收端，造成訊號振幅與相位隨時間、位置或頻率改變的現象。多條路徑的訊號在接收端相加，可能互相增強，也可能互相抵銷。

常用複數基頻等效模型表示接收訊號：

$$r(t)=h(t)s(t)+n(t)$$

其中 $s(t)$ 為發射訊號、$h(t)$ 為通道複數增益、$n(t)$ 為雜訊。$|h(t)|$ 表示通道振幅衰減或增益，$\arg h(t)$ 表示通道造成的相位偏移。

Rayleigh 與 Rician 模型，主要依據「接收訊號由哪些傳播路徑構成」來描述通道增益振幅的統計分布；兩者也都伴隨通道相位變化。

（一）Rayleigh 衰減通道

概念與物理意義

Rayleigh 衰減適用於接收端沒有明顯直視路徑（Line-of-Sight, LOS）的情況。接收訊號主要由許多經反射、散射或繞射而來的非直視多重路徑組成。

將各路徑訊號表示成複數向量相加，當路徑數量多、各路徑相位近似獨立且沒有單一路徑特別強時，通道的同相與正交分量可近似為獨立、同分布的高斯隨機變數。其複數增益可寫為

$$h=X+jY$$

其中 $X,Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ 且彼此獨立。因此，振幅 $R=|h|=\sqrt{X^2+Y^2}$ 服從 Rayleigh 分布：

$$f_R(r)=\frac{r}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right),\qquad r\ge 0$$

所以 Rayleigh 模型特別針對**接收訊號振幅（通道增益的包絡）**進行界定；接收功率則是振幅平方，因而具有相應的指數分布。

相位的機率密度函數

令 $\Theta=\arg h$。由於 $X,Y$ 的聯合機率密度只與 $x^2+y^2$ 有關，複數平面上沒有偏好的方向，故相位在 $[-\pi,\pi)$ 上均勻分布：

$$f_\Theta(\theta)=\frac{1}{2\pi},\qquad -\pi\le\theta<\pi$$

若相位範圍改用 $[0,2\pi)$，其密度同樣為 $1/(2\pi)$。Rayleigh 衰減不只代表振幅隨多重路徑而起伏，也代表通道相位會隨各路徑的相位合成而改變。

（二）Rician 衰減通道

概念與物理意義