113 民航特考三等 航空通信 通信原理 考古題詳解

113 年・民航特考・三等・航空通信
試題代碼 通信原理

第 一 題25 分

假設一時域信號 x(t)=5cos⁡(200πt)x(t)=5\cos(200\pi t)，請回答以下問題：

(一) 請求出 x(t)x(t) 之傅立葉轉換（Fourier Transform）X(f)X(f)，並繪製其頻譜圖。（5 分）

(二) 若以取樣頻率 fs=400 Hzf_s=400\ \mathrm{Hz} 對 x(t)x(t) 進行取樣，請繪製其取樣後信號 xs(t)x_s(t) 之頻譜圖。（10 分）

(三) 請求出 xs(t)x_s(t) 經過通頻帶（Passband）增益為 1fs\frac{1}{f_s}、截止頻率（Cutoff Frequency）為 600 Hz600\ \mathrm{Hz} 之理想低通濾波器後，再重建之時域信號 xr(t)x_r(t)。（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 連續時間傅立葉轉換中，餘弦波對應於正、負頻率的兩個脈衝。
  2. 理想取樣會使原頻譜以取樣頻率 fsf_s 為週期重複。
  3. 重建時，利用理想低通濾波器保留指定頻率範圍，並以通頻帶增益補償取樣所產生的倍率。

採用傅立葉轉換定義：

X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πft dtX(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt

基本公式為：

cos⁡(2πf0t)  ↔F  12[δ(f−f0)+δ(f+f0)]\cos(2\pi f_0t) \;\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\; \frac{1}{2}\left[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\right]

（一）求 x(t)x(t) 的傅立葉轉換與頻譜

已知：

x(t)=5cos⁡(200πt)x(t)=5\cos(200\pi t)

將角頻率改寫為標準形式：

200πt=2π(100)t200\pi t=2\pi(100)t

因此：

f0=100 Hzf_0=100\ \mathrm{Hz}

利用餘弦波的傅立葉轉換：

X(f)=5⋅12[δ(f−100)+δ(f+100)]X(f)=5\cdot\frac{1}{2} \left[\delta(f-100)+\delta(f+100)\right]

所以：

X(f)=2.5δ(f−100)+2.5δ(f+100)\boxed{ X(f)=2.5\delta(f-100)+2.5\delta(f+100) }

頻譜圖

頻譜為雙邊線頻譜，在 f=+100 Hzf=+100\ \mathrm{Hz} 與 f=−100 Hzf=-100\ \mathrm{Hz} 各有一個權重為 2.52.5 的脈衝：

X(f)
 │ ↑ 2.5 ↑ 2.5
 │ │ │
──┼────────┼─────────────────────────────┼──── f
 -100 Hz +100 Hz

其中：

  • 正頻率 +100 Hz+100\ \mathrm{Hz} 的脈衝權重為 2.52.5。
  • 負頻率 −100 Hz-100\ \mathrm{Hz} 的脈衝權重為 2.52.5。
  • 時域振幅為 55，會平均分配到正、負頻率，因此每條頻譜線為 5/2=2.55/2=2.5。

（二）取樣後信號 xs(t)x_s(t) 的頻譜

取樣模型

取樣頻率為：

fs=400 Hzf_s=400\ \mathrm{Hz}

取樣週期：

Ts=1fs=1400 sT_s=\frac{1}{f_s}=\frac{1}{400}\ \mathrm{s}

以週期性脈衝列取樣：

p(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTs)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)

取樣後信號為：

xs(t)=x(t)p(t)x_s(t)=x(t)p(t)

週期性脈衝列的傅立葉轉換為：

P(f)=fs∑k=−∞∞δ(f−kfs)P(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(f-kf_s)

因此，時域相乘對應到頻域摺積：

Xs(f)=X(f)∗P(f)X_s(f)=X(f)*P(f)

可得：

Xs(f)=fs∑k=−∞∞X(f−kfs)X_s(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(f-kf_s)

代入 X(f)X(f) 與 fs=400f_s=400：

Xs(f)=400∑k=−∞∞[2.5δ(f−400k−100)+2.5δ(f−400k+100)]X_s(f) = 400\sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[ 2.5\delta(f-400k-100) + 2.5\delta(f-400k+100) \right]

因此：

Xs(f)=1000∑k=−∞∞[δ(f−400k−100)+δ(f−400k+100)]\boxed{ X_s(f) = 1000\sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[ \delta(f-400k-100) + \delta(f-400k+100) \right] }

頻譜線位置

取樣後頻譜以 400 Hz400\ \mathrm{Hz} 為週期重複，主要頻率位置如下：

  • k=0k=0：−100, +100 Hz-100,\ +100\ \mathrm{Hz}
  • k=1k=1：300, 500 Hz300,\ 500\ \mathrm{Hz}
  • k=−1k=-1：−500, −300 Hz-500,\ -300\ \mathrm{Hz}
  • k=2k=2：700, 900 Hz700,\ 900\ \mathrm{Hz}
  • k=−2k=-2：−900, −700 Hz-900,\ -700\ \mathrm{Hz}

每一條脈衝的權重均為：

400×2.5=1000400\times 2.5=1000

頻譜圖

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第 二 題10 分

假設一調幅（AM）信號為

x(t)=(1+km(t))cos⁡(1000πt),x(t)=(1+km(t))\cos(1000\pi t),

其中

m(t)=2cos⁡(40πt)，m(t)=2\cos(40\pi t)，

請回答以下問題：

(一) 若要避免過調變（Overmodulated）問題，kk 值之範圍為何？（5 分）

(二) 請說明可否以包跡檢測（Envelope Detector）接收機解調此調幅信號。（5 分）

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核心觀念

調幅（AM）信號可寫成載波乘上振幅包絡：

x(t)=[1+km(t)]cos⁡(ωct)x(t)=[1+k m(t)]\cos(\omega_c t)

本題的包絡為 1+km(t)1+k m(t)。避免過調變的條件是包絡不反相，亦即對所有時間均須滿足：

1+km(t)≥01+k m(t)\geq 0

包跡檢測器（Envelope Detector）則須靠追蹤信號包絡來還原訊息；若包絡穿越零點而反相，檢波器無法正確還原原訊息。

解題方法

已知：

m(t)=2cos⁡(40πt)m(t)=2\cos(40\pi t)

因為 −1≤cos⁡(40πt)≤1-1\leq\cos(40\pi t)\leq1，所以：

−2≤m(t)≤2-2\leq m(t)\leq2

（一）避免過調變的 kk 值範圍

要使 1+km(t)≥01+k m(t)\geq0 對所有 tt 成立，取 m(t)m(t) 的最小可能值進行判斷：

min⁡t[1+km(t)]=1−2∣k∣\min_t[1+k m(t)]=1-2|k|

因此：

1−2∣k∣≥0⟹∣k∣≤121-2|k|\geq0 \quad\Longrightarrow\quad |k|\leq\frac12

故若 kk 未限定正負，範圍為 −12≤k≤12-\frac12\leq k\leq\frac12；

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第 三 題30 分

下圖為四相位偏移調變 QPSK（Quadrature Phase-Shift Keying）之信號星座圖（Signal Constellation）。其中 EbE_b 代表每位元平均能量。假設雜訊為零均值、功率頻譜密度為 N0N_0 之白高斯雜訊（White Gaussian Noise）。

信號星座圖中，四個符元位置為：

  • s1=(Eb,Eb)s_1=(\sqrt{E_b},\sqrt{E_b})
  • s2=(−Eb,Eb)s_2=(-\sqrt{E_b},\sqrt{E_b})
  • s3=(−Eb,−Eb)s_3=(-\sqrt{E_b},-\sqrt{E_b})
  • s4=(Eb,−Eb)s_4=(\sqrt{E_b},-\sqrt{E_b})

其中橫軸為 v1v_1，縱軸為 v2v_2。

(一) 若以等機率傳送此四個符元（Symbol），請以最大概似偵測法（Maximum Likelihood Detection）標示各決策區域（Decision Region）。（10 分）

(二) 請求出平均符元錯誤率以 QQ 函數表示，其中

Q(u)=12π∫u∞e−x22 dx。Q(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_u^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx。

（10 分）

(三) 若提升傳送符元 s1s_1 之機率為 38\frac{3}{8}，其餘符元傳送機率均為 524\frac{5}{24}，請說明使用最大概似偵測法是否還適合。（5 分）

(四) 若接收機之內部溫度上升，對符元錯誤率有何影響？（5 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. AWGN 下的最大概似偵測法（ML Detection）。
  2. QPSK 星座圖與最短歐氏距離判決。
  3. 符元錯誤率與位元錯誤率的關係。
  4. 先驗機率不相等時，應由 ML 改採最大後驗機率偵測法（MAP Detection）。
  5. 接收機溫度與熱雜訊、訊雜比及錯誤率的關係。

每個 QPSK 符元包含 22 個位元，因此題目給定每位元平均能量為 EbE_b 時，每個符元的能量為

Es=2Eb。E_s=2E_b。

每一個正交軸上的訊號分量為 ±Eb\pm\sqrt{E_b}。AWGN 的雙側功率頻譜密度為 N0/2N_0/2，因此每一軸的雜訊變異數為

σn2=N02。\sigma_n^2=\frac{N_0}{2}。

（一）最大概似偵測與決策區域

解題方法

在四個符元等機率傳送，且雜訊為高斯白雜訊時，最大概似偵測等同於選擇與接收向量最近的星座點：

s^=arg⁡min⁡si∥r−si∥2。\hat{s}=\arg\min_{s_i}\|\mathbf{r}-\mathbf{s}_i\|^2。

四個星座點為

s1=(Eb,Eb),s_1=(\sqrt{E_b},\sqrt{E_b}), s2=(−Eb,Eb),s_2=(-\sqrt{E_b},\sqrt{E_b}), s3=(−Eb,−Eb),s_3=(-\sqrt{E_b},-\sqrt{E_b}), s4=(Eb,−Eb).s_4=(\sqrt{E_b},-\sqrt{E_b}).

以 s1s_1 與 s2s_2 為例，兩點的等距邊界滿足

(v1−Eb)2+(v2−Eb)2=(v1+Eb)2+(v2−Eb)2。(v_1-\sqrt{E_b})^2+(v_2-\sqrt{E_b})^2 = (v_1+\sqrt{E_b})^2+(v_2-\sqrt{E_b})^2。

化簡得

v1=0。v_1=0。

同理，水平軸方向的判決邊界為 v1=0v_1=0；垂直軸方向的判決邊界為 v2=0v_2=0。

決策區域

因此四個決策區域為：

R1={(v1,v2):v1>0, v2>0},\mathcal{R}_1=\{(v_1,v_2):v_1>0,\ v_2>0\}, R2={(v1,v2):v1<0, v2>0},\mathcal{R}_2=\{(v_1,v_2):v_1<0,\ v_2>0\}, R3={(v1,v2):v1<0, v2<0},\mathcal{R}_3=\{(v_1,v_2):v_1<0,\ v_2<0\}, R4={(v1,v2):v1>0, v2<0}.\mathcal{R}_4=\{(v_1,v_2):v_1>0,\ v_2<0\}.

位於 v1=0v_1=0 或 v2=0v_2=0 的點屬於邊界，因為連續型雜訊使接收點恰落在邊界上的機率為零，邊界歸屬不影響錯誤率。

（二）平均符元錯誤率

解題方法

以傳送 s1=(Eb,Eb)s_1=(\sqrt{E_b},\sqrt{E_b}) 為例，接收訊號為

r1=Eb+n1,r2=Eb+n2,r_1=\sqrt{E_b}+n_1, \qquad r_2=\sqrt{E_b}+n_2,

其中

n1,n2∼N(0,N02)。n_1,n_2\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{N_0}{2}\right)。

正確判決 s1s_1 的條件是

r1>0,r2>0。r_1>0,\qquad r_2>0。

單一軸判決錯誤的機率為

P(r1<0)=P(n1<−Eb).P(r_1<0) = P(n_1<-\sqrt{E_b}).

標準化後：

P(r1<0)=Q(EbN0/2)=Q(2EbN0)。P(r_1<0) = Q\left( \frac{\sqrt{E_b}}{\sqrt{N_0/2}} \right) = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)。

令

a=2EbN0。a=\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}。

由於兩個正交軸的雜訊相互獨立，正確判決整個符元的機率為

Pc=[1−Q(a)]2。P_c = \left[1-Q(a)\right]^2。

所以條件符元錯誤率為

Pe=1−Pc=1−[1−Q(a)]2。P_e = 1-P_c = 1-\left[1-Q(a)\right]^2。

代入 aa 得

Ps=1−[1−Q(2EbN0)]2\boxed{ P_s = 1-\left[ 1-Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) \right]^2 }

亦可寫成

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第 四 題35 分

在無線通信系統中，通道會對接收信號造成影響，因此不同通信系統必須考慮通道因素而進行設計，請回答以下問題：

(一) 通信系統之同步信號作用為何？（5 分）

(二) 何謂頻率平坦衰落通道（Frequency Flat Fading）與頻率選擇衰落通道（Frequency Selective Fading）？有何方法可以處理衰落通道問題？（15 分）

(三) 脈衝整形濾波器（Pulse Shaping Filter）之功用為何？（5 分）

(四) 請說明何謂分時多重接取（Time Division Multiple Access）方法與分頻多重接取（Frequency Division Multiple Access）方法，並比較其優缺點。（10 分）

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核心觀念

本題考查無線通信中的同步、衰落通道與補償方式、脈衝整形，以及多重接取。作答時先掌握各名詞的判別基準，再說明它們對通信品質或系統資源的影響。

解題方法

（一）通信系統之同步信號作用

同步信號提供接收端判定訊號時序與參考基準，使接收端能在正確的時間與相位位置解調資料。同步功能主要包括：

  1. 位元或符元同步：確定每個位元或符元的取樣時刻，避免在轉換邊緣取樣而造成判決錯誤。
  2. 載波同步：估測並校正載波的頻率與相位，讓相干解調能使用正確的參考載波。
  3. 訊框或時槽同步：辨識資料訊框、時槽的起點與邊界，確保接收端能將資料分組並正確解讀。

同步信號本身不一定承載使用者資料，但能協助接收端建立時間、頻率及相位基準，提升解調與資料判決的正確性。

（二）頻率平坦衰落、頻率選擇衰落與處理方法

多重路徑傳播會使不同延遲的訊號在接收端疊加，造成振幅與相位隨時間、頻率改變。判斷衰落類型的關鍵，是比較通道相干頻寬 BcB_c 與訊號頻寬 BsB_s，也可比較通道延遲擴散與符元時間。

1. 頻率平坦衰落（Frequency Flat Fading）

當訊號頻寬遠小於通道相干頻寬，即 Bs≪BcB_s \ll B_c，通道在訊號所占頻帶內的增益近似相同，整個訊號頻帶受到近似一致的衰減與相位旋轉。此時主要是訊號振幅降低，通常不會因頻率響應差異而產生嚴重的符元間干擾。

等價地說，若通道延遲擴散遠小於符元時間，則可近似視為平坦衰落通道。

2. 頻率選擇衰落（Frequency Selective Fading）

當訊號頻寬大於通道相干頻寬，即 Bs≳BcB_s \gtrsim B_c，訊號不同頻率成分受到的增益與相位影響不同，因此部分頻率可能深度衰落。多重路徑延遲擴散若與符元時間相當或更大，接收訊號也會出現符元間干擾（ISI）。

頻率選擇衰落可用頻域觀點描述：通道頻率響應在訊號頻帶內不再近似平坦。

3. 衰落通道的處理方法

  • 分集技術：使用天線、時間或頻率分集，接收多個相對獨立的通道版本，再選擇或合併訊號，降低所有版本同時深度衰落的機率。
  • 等化器：估測通道效應並補償失真；頻率選擇通道常採線性等化、判決回授等化或最大概似序列估計，以減輕 ISI。
  • 錯誤更正編碼與交錯：編碼增加錯誤更正能力；交錯將連續突發錯誤分散，使解碼器較容易修正。
  • 自適應調變與編碼、功率控制：依通道狀態調整調變階數、編碼率或發射功率，以兼顧傳輸速率與錯誤率。
  • 正交分頻多工（OFDM）：將高速資料分配至多個低速子載波，搭配循環字首可降低多重路徑造成的 ISI，並以子載波等化補償頻率響應差異。

（三）脈衝整形濾波器之功用

脈衝整形濾波器將符元序列轉換為適合通道傳輸的波形，主要功用如下：

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其他考古題

航空通信《通信原理》其他年度

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