112 年民航特考三等航空通信考古題與詳解

Question 1

請回答下列問題： （一）假設 $m(t)=a\cos 2\pi fm t$ 以及 $c(t)=Ac\cos 2\pi fc t$，其中 $Ac$ 以及 $a$ 為常數，請求 $u(t)=m(t)c(t)$ 的功率頻譜密度（Power Spectral Density, PSD）$Su(f)$ 以及功率（Power）$Pu$。 （二）接續（一），假設 $fc=10^5\ \mathrm{Hz}$，且 $$ m(t)=a\cos^2(2\pi	imes10^3t)+b\sin^2(4\pi	imes10^3t), $$ 其中 $a$ 以及 $b$ 為常數。假設 $U(f)$ 為 $u(t)=m(t)c(t)$ 的傅立葉轉換（Fourier Transform），請求 $U(f)$ 中包含的所有頻率成分。又根據奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem），請求 $u(t)=m(t)c(t)$ 的奈奎斯特取樣頻率。

Accepted Answer

核心觀念

本題考察正弦訊號相乘後的頻譜平移，以及功率頻譜密度與總功率的關係。

採用傅立葉轉換定義 $X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 。對功率訊號，功率頻譜密度 $S_x(f)$ 為自相關函數 $R_x(\tau)$ 的傅立葉轉換，總平均功率為

P_x=R_x(0)=\int_{-\infty}^{\infty}S_x(f)\,df.

其中純量正弦波的傅立葉轉換以狄拉克脈衝表示；頻率成分的功率則由 PSD 脈衝的權重給出。

解題方法

（一）求 $S_u(f)$ 與 $P_u$

由積化和差公式，

\begin{aligned} u(t) &=aA_c\cos(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t)\\ &=\frac{aA_c}{2}\cos\bigl(2\pi(f_c+f_m)t\bigr) +\frac{aA_c}{2}\cos\bigl(2\pi(f_c-f_m)t\bigr). \end{aligned}

因此， $u(t)$ 含有 $f_c+f_m$ 與 $f_c-f_m$ 兩個頻率的餘弦波。利用

B\cos(2\pi f_0t) \quad\longleftrightarrow\quad \frac{B}{2}\bigl[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigr],

可得 $u(t)$ 的雙邊 PSD：

\boxed{ S_u(f)=\frac{a^2A_c^2}{16} \left[ \delta\bigl(f-(f_c+f_m)\bigr) +\delta\bigl(f+(f_c+f_m)\bigr) +\delta\bigl(f-(f_c-f_m)\bigr) +\delta\bigl(f+(f_c-f_m)\bigr) \right]. }

此式假設兩個側頻分量不重合；若頻率重合，重合的脈衝應合併計算。

每個側頻餘弦波的振幅為 $aA_c/2$ ，平均功率為振幅平方的一半。因此

P_u=2\left[\frac{(aA_c/2)^2}{2}\right] =\boxed{\frac{a^2A_c^2}{4}}.

這也等於訊號 $m(t)$ 與載波 $c(t)$ 相乘後的平均平方值： $\overline{u^2(t)}=a^2A_c^2/4$ 。

（二）求 $U(f)$ 的頻率成分與奈奎斯特取樣頻率

先將訊號中的平方函數展開：

\begin{aligned} m(t) &=a\cos^2(2\pi\times10^3t)+b\sin^2(4\pi\times10^3t)\\ &=\frac{a+b}{2} +\frac{a}{2}\cos(2\pi\times2\times10^3t) -\frac{b}{2}\cos(2\pi\times8\times10^3t). \end{aligned}

因此， $m(t)$ 含有直流、 $2\,\mathrm{kHz}$ 與 $8\,\mathrm{kHz}$ 成分。

由 $c(t)=A_c\cos(2\pi\times100\,\mathrm{kHz}\,t)$ ，各基頻分量與載波相乘後，會平移至載波頻率兩側：

Question 2

下圖分別為 4-PSK、8-PSK 以及 8-QAM 的訊號星座點（Signal constellation）圖，請回答下列問題：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）假設在 8-QAM 訊號星座點圖中，訊號間的最短距離（Minimum Distance）為 $A$ ，請以 $A$ 表示 $c$ 以及 $d$ 的計算式。

（二）接續（一），假設經由 AWGN 通道，利用 4-PSK、8-PSK 與 8-QAM 星座點圖調變後的三種數位訊號達到相同的錯誤機率，請以 $A$ 表示 $b$ 以及 $a$ 的計算式。

（三）接續（二），請計算三種不同數位調變系統的平均傳送器功率（Average transmitter power），並比較三種不同的調變系統。假設在每一星座點圖中，每一個訊號點的機率都均等。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查數位調變星座圖中的： 1. 訊號點最短距離 $d{\min}$。 2. PSK 星座點之間的弦長公式。 3. AWGN 通道中，在相同錯誤機率下，可視為具有相同的最短距離。 4. 平均傳送功率等於各星座點能量的平均值。 以下採用圖中 $8$-QAM 的幾何配置：內圈四點位於座標軸上，半徑為 $c$；外圈四點位於對角線方向，半徑為 $d$。 --- （一）以 $A$ 表示 $c$ 與 $d$ 1. 求 $c$ $8$-QAM 內圈相鄰兩點，例如 $(0,c)$ 與 $(-c,0)$，其距離為 $$ d{	ext{inner}}=\sqrt{c^2+c^2}=c\sqrt{2}. $$ 題圖中最短距離為 $A$，因此 $$ c\sqrt{2}=A, $$ 得到 $$ \boxed{c=\frac{A}{\sqrt{2}}}. $$ 2. 求 $d$ 取外圈左上方訊號點與內圈上方訊號點。兩點距離為 $A$，由餘弦定理： $$ A^2=c^2+d^2-2cd\cos45^\circ. $$ 因為 $\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以 $$ A^2=c^2+d^2-\sqrt{2}cd. $$ 代入 $c=\frac{A}{\sqrt{2}}$： $$ A^2=\frac{A^2}{2}+d^2-Ad. $$ 整理為 $$ d^2-Ad-\frac{A^2}{2}=0. $$ 解此二次方程： $$ d=\frac{A+\sqrt{A^2+2A^2}}{2} =\frac{1+\sqrt{3}}{2}A. $$ 取正值，故 $$ \boxed{d=\frac{1+\sqrt{3}}{2}A}. $$ --- （二）以 $A$ 表示 $b$ 與 $a$ 在 AWGN 通道中，三種調變達到相同錯誤機率時，令三者的最短距離均為 $A$。 1. $8$-PSK 的振幅 $b$ $8$-PSK 相鄰兩點的相位差為 $$ \frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}. $$ 兩相鄰星座點之距離為 $$ d{\min}=2b\sin\left(\frac{\pi}{8}ight). $$ 令其等於 $A$： $$ 2b\sin\left(\frac{\pi}{8}ight)=A. $$ 因此 $$ \boxed{b=\frac{A}{2\sin(\pi/8)}}. $$ 利用 $$ \sin^2\frac{\pi}{8}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}, $$ 亦可寫成 $$ \boxed{b=\frac{A}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}}. $$ 2. $4$-PSK 的振幅 $a$ $4$-PSK 相鄰兩點的相位差為 $$ \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}. $…

Question 3

請考慮以下四個訊號 $S1(t)$、$S2(t)$、$S3(t)$、$S4(t)$，並回答下列問題： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （一）請決定該組訊號 $\{S1(t),S2(t),S3(t),S4(t)\}$ 的維度（Dimension）$n$，並利用一組基底函數（Basis Functions）$\psii(t)$，$1\leq i\leq n$，來表示該組訊號，也就是 $$ Sm(t)=\sum{i=1}^{n}s{mi}\psii(t),\qquad m=1,2,3,4。 $$ （二）接續（一），利用一組基底函數我們可利用向量 $$ \mathbf{s}m=(s{m1},s{m2},\ldots,s{mn}) $$ 來表示訊號 $Sm(t)$，$m=1,2,3,4$。請計算該組向量 $\{\mathbf{s}1,\mathbf{s}2,\mathbf{s}3,\mathbf{s}4\}$ 間的最短距離（Minimum Distance）。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查訊號空間表示法。若訊號只在 $0\leq t<4$ 內改變，且切換點為 $t=1,2,3$ ，可將時間軸分成四個互不重疊的區間：

[0,1),\quad [1,2),\quad [2,3),\quad [3,4).

各區間的矩形指示函數可作為基底函數。由於四個訊號在四個區間上的振幅組合具有四個線性獨立方向，因此訊號空間維度為 $n=4$ 。

（一）維度與基底函數

定義基底函數

\psi_1(t)= \begin{cases} 1,&0\leq t<1\\ 0,&\text{其他} \end{cases}

\psi_2(t)= \begin{cases} 1,&1\leq t<2\\ 0,&\text{其他} \end{cases}

\psi_3(t)= \begin{cases} 1,&2\leq t<3\\ 0,&\text{其他} \end{cases}

\psi_4(t)= \begin{cases} 1,&3\leq t<4\\ 0,&\text{其他} \end{cases}

各基底函數的能量皆為 $1$ ，彼此正交，因此本身即為正交歸一基底。

依照圖中的訊號波形，各訊號在四個區間上的振幅如下：

訊號	$[0,1)$	$[1,2)$	$[2,3)$	$[3,4)$
$S_1(t)$	$2$	$-1$	$-1$	$-1$
$S_2(t)$	$1$	$-1$	$1$	$-1$
$S_3(t)$	$-2$	$1$	$1$	$0$
$S_4(t)$	$1$	$-2$	$-2$	$2$

因此：

S_1(t)=2\psi_1(t)-\psi_2(t)-\psi_3(t)-\psi_4(t)

S_2(t)=\psi_1(t)-\psi_2(t)+\psi_3(t)-\psi_4(t)

S_3(t)=-2\psi_1(t)+\psi_2(t)+\psi_3(t)

S_4(t)=\psi_1(t)-2\psi_2(t)-2\psi_3(t)+2\psi_4(t)

所以訊號向量為

\mathbf{s}_1=(2,-1,-1,-1)

\mathbf{s}_2=(1,-1,1,-1)

\mathbf{s}_3=(-2,1,1,0)

\mathbf{s}_4=(1,-2,-2,2)

檢查四個向量線性獨立，例如令

a\mathbf{s}_1+b\mathbf{s}_2+c\mathbf{s}_3+d\mathbf{s}_4=\mathbf{0},

由四個分量聯立可得

a=b=c=d=0.

因此四個訊號線性獨立，故

\boxed{n=4}.

（二）最短距離

訊號向量間的歐氏距離定義為

d_{ij}=\|\mathbf{s}_i-\mathbf{s}_j\| =\sqrt{\sum_{k=1}^{4}(s_{ik}-s_{jk})^2}.

逐一計算：

Question 4

假設 $m(t)$ 為輸入訊號，$xr(t)=m(t)\cos(2\pi fct+\phi0)$ 為調幅（Amplitude Modulation, AM）調變器的輸出訊號，其中 $\phi0$ 為常數。如下圖所示，將 $xr(t)$ 通過一調幅解調變器可得解調變訊號 $yD(t)$： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 該解調變器所使用的載波為 $2\cos(2\pi fct+	heta0)$，其中 $	heta0=\omega0t$ 為相位誤差，請求該調幅解調變器輸出訊號的均方誤差（Mean-Square Error, MSE）。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「同步解調」的乘法器分析，以及載波相位誤差對解調訊號的影響。

輸入調幅訊號為

x_r(t)=m(t)\cos(2\pi f_ct+\phi_0)

解調器乘上

2\cos(2\pi f_ct+\theta_0)

再經過低通濾波器，濾除 $2f_c$ 附近的高頻項，保留基頻訊號。

均方誤差定義為

\mathrm{MSE} =\overline{[y_D(t)-m(t)]^2}

其中橫線表示時間平均；若以隨機訊號表示，則為期望值。

解題方法與推導

乘法器輸出為

\begin{aligned} d(t) &=2m(t)\cos(2\pi f_ct+\phi_0) \cos(2\pi f_ct+\theta_0)\\ &=m(t)\left[ \cos(\phi_0-\theta_0) +\cos(4\pi f_ct+\phi_0+\theta_0) \right]. \end{aligned}

低通濾波器去除第二項高頻成分，因此解調器輸出為

y_D(t)=m(t)\cos(\phi_0-\theta_0).

故解調誤差為

e(t)=y_D(t)-m(t) =m(t)\left[\cos(\phi_0-\theta_0)-1\right].

因此均方誤差為

\boxed{ \mathrm{MSE} =\overline{ m^2(t) \left[\cos(\phi_0-\theta_0)-1\right]^2 } }

若相位誤差與 $m(t)$ 無關，且令輸入訊號平均功率為

P_m=\overline{m^2(t)},

則

\boxed{ \mathrm{MSE} =P_m\left[1-\cos(\phi_0-\theta_0)\right]^2 }

也可寫成

\boxed{ \mathrm{MSE} =4P_m\sin^4\left(\frac{\phi_0-\theta_0}{2}\right) }.

題目給定 $\theta_0=\omega_0t$ 的情形

依題目圖中文字，解調載波的相位誤差為

\theta_0=\omega_0t.

因此輸出訊號為

y_D(t)=m(t)\cos(\phi_0-\omega_0t),

均方誤差的完整表示式為

112 民航特考三等航空通信通信原理考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

（一）求 $S_u(f)$ 與 $P_u$

（二）求 $U(f)$ 的頻率成分與奈奎斯特取樣頻率

第二題30 分

核心觀念

（一）以 $A$ 表示 $c$ 與 $d$

1. 求 $c$

2. 求 $d$

（二）以 $A$ 表示 $b$ 與 $a$

1. $8$ -PSK 的振幅 $b$

2. $4$ -PSK 的振幅 $a$

（三）平均傳送器功率與比較

1. $4$ -PSK

2. $8$ -PSK

第三題20 分

核心觀念

（一）維度與基底函數

（二）最短距離

第四題25 分

核心觀念

解題方法與推導

題目給定 $\theta_0=\omega_0t$ 的情形

其他考古題

112 年航空通信的其他科目

航空通信《通信原理》其他年度

112 民航特考三等 航空通信 通信原理 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）求 Su(f)S_u(f)Su​(f) 與 PuP_uPu​

（二）求 U(f)U(f)U(f) 的頻率成分與奈奎斯特取樣頻率

第 二 題30 分

核心觀念

（一）以 AAA 表示 ccc 與 ddd

1. 求 ccc

2. 求 ddd

（二）以 AAA 表示 bbb 與 aaa

1. 888-PSK 的振幅 bbb

2. 444-PSK 的振幅 aaa

（三）平均傳送器功率與比較

1. 444-PSK

2. 888-PSK

第 三 題20 分

核心觀念

（一）維度與基底函數

（二）最短距離

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法與推導

題目給定 θ0=ω0t\theta_0=\omega_0tθ0​=ω0​t 的情形

其他考古題

112 年航空通信的其他科目

航空通信《通信原理》其他年度

112 民航特考三等航空通信通信原理考古題詳解

第一題25 分

（一）求 $S_u(f)$ 與 $P_u$

（二）求 $U(f)$ 的頻率成分與奈奎斯特取樣頻率

第二題30 分

（一）以 $A$ 表示 $c$ 與 $d$

1. 求 $c$

2. 求 $d$

（二）以 $A$ 表示 $b$ 與 $a$

1. $8$ -PSK 的振幅 $b$

2. $4$ -PSK 的振幅 $a$

1. $4$ -PSK

2. $8$ -PSK

第三題20 分

第四題25 分

題目給定 $\theta_0=\omega_0t$ 的情形