108 關務特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

108 年・關務特考・三等・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題20 分

如圖所示之機架結構，其中半圓結構件上承受 280 N280\ \mathrm{N} 之負載，試求在 θ=30∘\theta=30^\circ 處之 JJ 點位置截面的內部彎矩。

圖中尺寸包括：AA 至半圓中心線之水平距離為 160 mm160\ \mathrm{mm}，半圓中心線至 BB 之水平距離為 160 mm160\ \mathrm{mm}，AA 至 JJ 之垂直距離為 160 mm160\ \mathrm{mm}，JJ 至 DD 之垂直距離為 120 mm120\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

本題考查平面剛架的支承反力，以及曲線構件截面內力矩的求法。先把斜桿 CDCD 視為二力構件，再對整個機架列平衡式求出 CC 點作用力；接著在 JJ 點截開，取 JJ 至 BB 的右側構件作自由體，對 JJ 點取矩。

依原圖，半圓半徑為 160 mm160\ \mathrm{mm}；標示的垂直 160 mm160\ \mathrm{mm} 是 AA 至 CC 的高差，JJ 點則由 θ=30∘\theta=30^\circ 的半徑位置決定。

解題方法

取 AA 為原點，xx 軸向右、yy 軸向上。由圖得

A=(0,0),B=(320,0),C=(160,−160),D=(0,−280) mm.A=(0,0),\quad B=(320,0),\quad C=(160,-160),\quad D=(0,-280)\ \mathrm{mm}.

1. 求 CC 點作用力

CDCD 為二力構件，且

DC→=(160,120) mm,DC→∣DC∣=(0.8,0.6).\overrightarrow{DC}=(160,120)\ \mathrm{mm}, \qquad \frac{\overrightarrow{DC}}{|DC|}=(0.8,0.6).

設 CC 點作用力為 FC=T(0.8,0.6)\mathbf F_C=T(0.8,0.6)。對整個機架取 AA 點力矩，逆時針為正：

∑MA=0:160(0.6T)+160(0.8T)−280(320)=0.\sum M_A=0: \quad 160(0.6T)+160(0.8T)-280(320)=0.

因此

T=400 N,FC=(320,240) N.T=400\ \mathrm{N},\qquad \mathbf F_C=(320,240)\ \mathrm{N}.

2. 求 JJ 點位置及截面彎矩

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第 二 題20 分

有一 800 kg800\ \mathrm{kg} 質量之汽車駛過一具拋物線輪廓之山丘，如圖所示。當汽車於 AA 點處，其速度為 9 m/s9\ \mathrm{m/s}、加速度為 3 m/s23\ \mathrm{m/s^2}。假設汽車可視為一質點，試求當下汽車與山丘地面間分別之正向作用力與切線摩擦力。

山丘輪廓方程式為：

y=20(1−x26400)y=20\left(1-\frac{x^2}{6400}\right)

AA 點位於 x=80 mx=80\ \mathrm{m} 處。

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核心觀念

汽車沿曲線行駛時，使用切線—法線座標分析：

∑Ft=mat,∑Fn=mv2ρ\sum F_t=ma_t,\qquad \sum F_n=m\frac{v^2}{\rho}

其中 tt 軸沿運動切線，nn 軸指向曲率中心；ρ\rho 為曲率半徑。正向力垂直於山丘表面，切線摩擦力則沿坡面作用。

解題方法

先由山丘輪廓求 AA 點的切線斜率與曲率半徑。輪廓為

y=20(1−x26400)y=20\left(1-\frac{x^2}{6400}\right)

因此

y′=−x160,y′′=−1160y'=-\frac{x}{160},\qquad y''=-\frac{1}{160}

在 x=80 mx=80\ \mathrm{m} 處，y′=−0.5y'=-0.5，故坡面傾角 θ\theta 滿足

tan⁡θ=0.5,sin⁡θ=0.4472,cos⁡θ=0.8944\tan\theta=0.5,\qquad \sin\theta=0.4472,\qquad \cos\theta=0.8944

曲率半徑為

ρ=[1+(y′)2]3/2∣y′′∣=(1+0.52)3/21/160=223.6 m\rho=\frac{\left[1+(y')^2\right]^{3/2}}{|y''|} =\frac{(1+0.5^2)^{3/2}}{1/160} =223.6\ \mathrm{m}

法向加速度指向曲率中心，大小為

an=v2ρ=92223.6=0.362 m/s2a_n=\frac{v^2}{\rho}=\frac{9^2}{223.6}=0.362\ \mathrm{m/s^2}

圖中未標示加速度方向。依常見命題慣例，以下將題給的 3 m/s23\ \mathrm{m/s^2} 視為切線加速度，並取汽車沿坡面向右下行且速度增加。

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第 三 題20 分

如圖所示之纜繩承受一固定之拉力 P=300 NP=300\ \mathrm{N}，而使捲軸從靜止開始滾動而不滑動。捲軸總質量為 100 kg100\ \mathrm{kg}，對質心 OO 之迴轉半徑為 275 mm275\ \mathrm{mm}。試求當捲軸質心 OO 前進 1.5 m1.5\ \mathrm{m} 時，捲軸之角速度。

圖中捲軸尺寸標註為 400 mm400\ \mathrm{mm} 與 200 mm200\ \mathrm{mm}，纜繩拉力為 P=300 NP=300\ \mathrm{N}。

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核心觀念

本題考查剛體純滾動、轉動慣量與功－能原理。捲軸的轉動慣量由迴轉半徑 kk 求得：

IO=mk2I_O=mk^2

捲軸在地面上無滑動滾動，質心平移速度 vOv_O 與角速度 ω\omega 的關係為：

vO=Rωv_O=R\omega

其中外半徑 R=0.400 mR=0.400\ \mathrm{m}。纜繩繞在內半徑 r=0.200 mr=0.200\ \mathrm{m} 上，拉力施加於內軸上方的切點。

解題方法

捲軸由靜止開始，使用功－能原理。先求拉力作用點的位移：捲軸質心前進 s=1.5 ms=1.5\ \mathrm{m} 時，轉過的角度為

θ=sR=1.50.4=3.75 rad\theta=\frac{s}{R}=\frac{1.5}{0.4}=3.75\ \mathrm{rad}

內軸上方的切點隨捲軸平移前進 ss，又因捲軸順時針轉動，該切點相對質心也向右移動 rθr\theta。因此纜繩受力點的總位移為

sP=s+rθ=1.5+0.2(3.75)=2.25 ms_P=s+r\theta =1.5+0.2(3.75) =2.25\ \mathrm{m}

拉力所作的功為

WP=PsP=300(2.25)=675 JW_P=Ps_P=300(2.25)=675\ \mathrm{J}

由迴轉半徑求得捲軸對質心的轉動慣量：

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第 四 題20 分

如圖所示之兩塊平板由 4 顆直徑 20 mm20\ \mathrm{mm} 鉚釘連接，假設力量由 4 顆鉚釘平均承擔，且此接頭材料中的剪應力（shear stress）、拉伸應力（tensile stress）、承壓應力（bearing stress）分別都不能超過 80 MPa80\ \mathrm{MPa}、100 MPa100\ \mathrm{MPa}、120 MPa120\ \mathrm{MPa}，則此接頭所能承受之最大負載 PP 為多少？

圖中尺寸包括：上方平板厚度為 15 mm15\ \mathrm{mm}，下方平板厚度為 10 mm10\ \mathrm{mm}；平板寬度標註為 80 mm80\ \mathrm{mm}、100 mm100\ \mathrm{mm} 及 120 mm120\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

本題檢核鉚接接頭的三種破壞：鉚釘剪斷、平板淨截面拉斷，以及鉚釘與平板間的承壓破壞。接頭的最大負載 PP 取三種容許負載中的最小值。

圖示為單搭接接頭，故每顆鉚釘承受單剪；題目並指定四顆鉚釘平均承擔負載，因此每顆鉚釘受力為 P/4P/4。

解題方法

取鉚釘直徑 d=20 mmd=20\ \mathrm{mm}。因為 1 MPa=1 N/mm21\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}，以下可直接用毫米與 MPa 計算。

一、鉚釘剪應力

四顆鉚釘的總剪切面積為 4(πd2/4)4(\pi d^2/4)，因此：

P剪=4(πd24)(80)=4(π(20)24)(80)=100 531 N≈100.5 kNP_{\text{剪}} =4\left(\frac{\pi d^2}{4}\right)(80) =4\left(\frac{\pi(20)^2}{4}\right)(80) =100\,531\ \mathrm{N} \approx 100.5\ \mathrm{kN}

二、平板淨截面拉伸應力

淨截面拉力面積為「截面寬度扣除該截面上的鉚釘孔寬度，再乘板厚」。

圖示中，15 mm15\ \mathrm{mm} 厚板的 100 mm100\ \mathrm{mm} 寬截面穿過兩個鉚釘孔；10 mm10\ \mathrm{mm} 厚板的 120 mm120\ \mathrm{mm} 寬截面也穿過兩個孔。因此：

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第 五 題20 分

如圖之外伸樑，其樑截面如右側所示，試求此樑中之最大橫向剪力與橫向剪應力（transverse shear stress）。

樑上載重及尺寸如下：

  • CC 點承受向下集中力 20 kN20\ \mathrm{kN}。
  • AA 至 DD 間承受均佈載重 25 kN/m25\ \mathrm{kN/m}。
  • EE 點承受向下集中力 10 kN10\ \mathrm{kN}。
  • CC 至 AA 距離為 1 m1\ \mathrm{m}。
  • AA 至 DD 距離為 2 m2\ \mathrm{m}。
  • DD 至 EE 距離為 1 m1\ \mathrm{m}。
  • EE 至 BB 距離為 1 m1\ \mathrm{m}。

樑截面尺寸如下：

  • 上翼板寬度為 120\ \mathrm{mm}，厚度為，厚度為 40\ \mathrm{mm}$。
  • 腹板厚度為 20 mm20\ \mathrm{mm}，高度為 120 mm120\ \mathrm{mm}。
  • 下翼板厚度為 20 mm20\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

本題分兩步：先由樑的平衡方程式求支承反力，再由剪力圖找出最大內部剪力；接著將最大剪力代入樑的橫向剪應力公式：

τ=VQIt\tau=\frac{VQ}{It}

其中 VV 為截面剪力，QQ 為中性軸一側面積對中性軸的面積一次矩，II 為全截面對中性軸的慣性矩，tt 為剪應力所在位置的截面厚度。

解題方法

以 CC 點為座標原點，則 A=1 mA=1\text{ m}、D=3 mD=3\text{ m}、E=4 mE=4\text{ m}、B=5 mB=5\text{ m}。均佈載重合力為

25(2)=50 kN25(2)=50\text{ kN}

作用於 ADAD 中點，距 AA 點 1 m1\text{ m}。

對 AA 點取矩，逆時針為正：

20(1)−50(1)−10(3)+RB(4)=020(1)-50(1)-10(3)+R_B(4)=0

因此

RB=15 kNR_B=15\text{ kN}

由垂直力平衡：

RA+RB−20−50−10=0R_A+R_B-20-50-10=0 RA=65 kNR_A=65\text{ kN}

最大剪力

沿樑由左向右計算剪力：

  • CC 至 AA：V=−20 kNV=-20\text{ kN}。
  • 越過 AA 點，剪力增加 65 kN65\text{ kN}，故 V=45 kNV=45\text{ kN}。
  • AA 至 DD 間剪力受均佈載重影響，線性降至 V=−5 kNV=-5\text{ kN}。
  • DD 至 EE：V=−5 kNV=-5\text{ kN}；越過 EE 點後降至 −15 kN-15\text{ kN}。
  • 越過 BB 點後，剪力回到零。

所以最大剪力絕對值為

Vmax⁡=45 kNV_{\max}=45\text{ kN}

截面幾何性質與最大剪應力

以截面底部為基準，將截面分為上翼板、腹板及下翼板：

部位面積 AA（mm2^2）形心位置 yy（mm）
上翼板 120×40120\times4048004800160160
腹板 20×12020\times120240024008080
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