110 關務特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

110 年・關務特考・三等・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題25 分

如圖一所示的輪子承受一扭矩 M=50 N⋅mM=50\ \mathrm{N\cdot m}。假設帶狀剎車（Band Brake）和輪子邊緣（Rim）之間的動摩擦係數（Coefficient of Kinetic Friction）為 0.30.3，試求要讓輪子停下所必須施加在槓桿（Lever）上最小的水平力 PP。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中標示尺寸包含 150 mm150\ \mathrm{mm}、50 mm50\ \mathrm{mm}、25 mm25\ \mathrm{mm}、400 mm400\ \mathrm{mm} 及 100 mm100\ \mathrm{mm}，並標示槓桿支點 AA、連接點 BB、剎車帶支點 CC、力 PP 與扭矩 MM。

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核心觀念

本題結合帶狀剎車的帶張力關係與兩個槓桿的力矩平衡：

  • 輪子受到剎車帶的制動力矩為 (T緊−T鬆)r(T_{\text{緊}}-T_{\text{鬆}})r。
  • 帶與輪緣的接觸角由圖示為 270∘=3π/2270^\circ=3\pi/2，滑動時張力比為 T緊T鬆=eμθ.\frac{T_{\text{緊}}}{T_{\text{鬆}}}=e^{\mu\theta}.
  • 對槓桿支點取力矩，可求操作力與帶張力的關係。

解題方法

輪子半徑 r=150 mm=0.15 mr=150\ \mathrm{mm}=0.15\ \mathrm{m}。由輪子的力矩平衡：

(T緊−T鬆)(0.15)=50(T_{\text{緊}}-T_{\text{鬆}})(0.15)=50

因此

T緊−T鬆=333.33 N.T_{\text{緊}}-T_{\text{鬆}}=333.33\ \mathrm{N}.

由 μ=0.3\mu=0.3 及接觸角 θ=3π/2\theta=3\pi/2：

T緊T鬆=e0.3(3π/2)=4.111.\frac{T_{\text{緊}}}{T_{\text{鬆}}} =e^{0.3(3\pi/2)} =4.111.

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第 二 題25 分

如圖二所示，一長度為 LL 之均質細長桿，以一垂直速度 v⃗1\vec{v}_1 且無角速度撞擊一光滑的水平面時，細長桿與鉛直方向的夾角為 β\beta。若假設撞擊為塑性撞擊（Perfectly Plastic Impact），請推導細長桿在撞擊之後的瞬間之角速度。圖中之 GG 點為細長桿之質心。

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核心觀念

本題考查光滑平面上的塑性撞擊。撞擊瞬間，地面只對桿端 AA 施加垂直於平面的衝量，因此：

  • 桿端 AA 撞擊後的垂直速度為零。
  • 撞擊衝量作用於 AA，對 AA 點的力矩為零，所以撞擊前後以 AA 為基準的角動量守恆。
  • 重力在極短的撞擊時間內所產生的衝量可忽略。

令逆時針角速度為正，桿質量為 mm。均質細長桿的質心轉動慣量為 IG=112mL2I_G=\frac{1}{12}mL^2。

解題方法與推導

桿初始只作垂直向下的平移，速度大小為 v1v_1，角速度為零。以 AA 為角動量基準，質心到 AA 的位置向量，其水平分量為

xG=L2sin⁡β.x_G=\frac{L}{2}\sin\beta.

因此撞擊前的角動量為

H⃗A−=r⃗G/A×mv⃗G=−mv1L2sin⁡β k.\vec H_A^-=\vec r_{G/A}\times m\vec v_G =-m v_1\frac{L}{2}\sin\beta\,\mathbf{k}.

負號表示角動量方向為順時針。

撞擊後設桿的角速度為 ω\omega。由於接觸面光滑，沒有水平衝量，質心的水平速度仍為零。再由桿端 AA 的垂直速度為零，剛體速度關係給出質心的垂直速度：

vGy=ωL2sin⁡β.v_{G_y}=\omega\frac{L}{2}\sin\beta.

以 AA 為基準計算撞擊後角動量：

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第 三 題25 分

如圖三所示，一承受一軸向力 PP 及一扭矩 TT 的實心圓棒，圓棒直徑為 d=32 mmd=32\ \mathrm{mm}。安裝於圓棒表面的兩個應變計 AA 及 BB 的讀數分別為 εA=140×10−6\varepsilon_A=140\times10^{-6} 及 εB=−60×10−6\varepsilon_B=-60\times10^{-6}。

圓棒的材料為楊氏模數（Young’s Modulus）E=210 GPaE=210\ \mathrm{GPa} 及波松比（Poisson’s Ratio）ν=0.29\nu=0.29 的鋼。試求：

(一) 軸向力 PP 及扭矩 TT。（15 分）

(二) 圓棒之最大剪應變（Maximum Shear Strain）及最大剪應力（Maximum Shear Stress）。（10 分）

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圖中應變計 AA 沿圓棒軸向安裝，應變計 BB 與軸向夾角為 45∘45^\circ。

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核心觀念

本題考查應變轉換、廣義虎克定律，以及圓軸的軸向應力與扭轉剪應力。

應變計 A 沿圓軸軸向，故其讀數為軸向應變 εx\varepsilon_x。圓軸表面在圓周方向沒有正應力，因此由泊松效應可得圓周應變 εy=−νεx\varepsilon_y=-\nu\varepsilon_x。應變計 B 與軸向夾角為 45∘45^\circ，其讀數可用平面應變轉換式求出工程剪應變 γxy\gamma_{xy}：

εθ=εx+εy2+γxy2sin⁡2θ\varepsilon_\theta =\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} +\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta

軸向應力、剪應力及圓軸內力關係為：

σx=Eεx,τxy=Gγxy,G=E2(1+ν)\sigma_x=E\varepsilon_x,\qquad \tau_{xy}=G\gamma_{xy},\qquad G=\frac{E}{2(1+\nu)} P=σxA,T=τxyJcP=\sigma_x A,\qquad T=\tau_{xy}\frac{J}{c}

其中實心圓軸的 A=πd2/4A=\pi d^2/4、J=πd4/32J=\pi d^4/32、c=d/2c=d/2。

解題方法

取軸向為 xx，並令應變計 B 的方向為相對軸向正 45∘45^\circ。應變計 A 讀值為：

εx=140×10−6\varepsilon_x=140\times10^{-6}

圓周應變由泊松效應求得：

εy=−νεx=−(0.29)(140×10−6)=−40.6×10−6\varepsilon_y=-\nu\varepsilon_x =-(0.29)(140\times10^{-6}) =-40.6\times10^{-6}

代入 B 計讀數 ε45∘=−60×10−6\varepsilon_{45^\circ}=-60\times10^{-6}：

−60×10−6=140×10−6−40.6×10−62+γxy2-60\times10^{-6} =\frac{140\times10^{-6}-40.6\times10^{-6}}{2} +\frac{\gamma_{xy}}{2}

因此：

γxy=−219.4×10−6\gamma_{xy}=-219.4\times10^{-6}

負號表示剪應變方向與上述正號約定相反；以下扭矩列其大小。

（一）軸向力 PP 及扭矩 TT

軸向應力為：

σx=Eεx=(210×109)(140×10−6)=29.4×106 Pa=29.4 MPa\sigma_x=E\varepsilon_x =(210\times10^9)(140\times10^{-6}) =29.4\times10^6\ \mathrm{Pa} =29.4\ \mathrm{MPa}

圓軸截面積為：

A=π(0.032)24=8.0425×10−4 m2A=\frac{\pi(0.032)^2}{4} =8.0425\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}

故軸向力為：

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第 四 題25 分

如圖四所示之簡支樑的斷面為一實心圓柱。若圓柱可容許的彎曲應力為 167 MPa167\ \mathrm{MPa} 且可容許的剪應力為 97 MPa97\ \mathrm{MPa}。

(一) 畫出樑之剪力圖及彎矩圖。（5 分）

(二) 試求樑可安全承載時的最小圓柱直徑。（20 分）

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圖中簡支樑全長為 3 m3\ \mathrm{m}，左右兩端各跨距 1.5 m1.5\ \mathrm{m}。樑上承受向下分布載重，兩端載重強度皆為 15 N/m15\ \mathrm{N/m}，中央載重強度為 25 N/m25\ \mathrm{N/m}。

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核心觀念

本題考查簡支樑受線性分布載重時的支承反力、剪力圖與彎矩圖，以及實心圓截面在彎曲與橫向剪力下的強度設計。需同時滿足：

σmax⁡=Mmax⁡S≤σ容許,τmax⁡≤τ容許.\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}\leq \sigma_{\text{容許}}, \qquad \tau_{\max}\leq \tau_{\text{容許}}.

實心圓截面的截面模數與最大橫向剪應力為：

S=πd332,τmax⁡=4Vmax⁡3A=16Vmax⁡3πd2.S=\frac{\pi d^3}{32}, \qquad \tau_{\max}=\frac{4V_{\max}}{3A} =\frac{16V_{\max}}{3\pi d^2}.

解題方法

以左支承為 x=0x=0，梁長 L=3 mL=3\ \mathrm{m}。載重對稱，因此兩端支承反力相同。全梁分布載重合力為兩個梯形面積之和：

W=2[15+252(1.5)]=60 N.W=2\left[\frac{15+25}{2}(1.5)\right]=60\ \mathrm{N}.

故支承反力為：

RA=RB=W2=30 N.R_A=R_B=\frac{W}{2}=30\ \mathrm{N}.

左半段載重強度隨 xx 線性增加：

w(x)=15+203x,0≤x≤1.5.w(x)=15+\frac{20}{3}x,\qquad 0\leq x\leq1.5.

由 V′(x)=−w(x)V'(x)=-w(x)，且 V(0+)=30 NV(0^+)=30\ \mathrm{N}，得左半段剪力：

V(x)=30−15x−103x2.V(x)=30-15x-\frac{10}{3}x^2.

因此 V(0+)=30 NV(0^+)=30\ \mathrm{N}，V(1.5)=0V(1.5)=0。右半段對稱，剪力由 00 降至 V(3−)=−30 NV(3^-)=-30\ \mathrm{N}；在右支承處受 30 N30\ \mathrm{N} 向上反力後回到零。

**剪力圖：**由左端 +30 N+30\ \mathrm{N} 起，沿左半段以曲線降至跨中 00；右半段對稱降至右端左側的 −30 N-30\ \mathrm{N}，再因支承反力跳升至零。因分布載重為線性變化，剪力圖為二次曲線。

彎矩由 M′(x)=V(x)M'(x)=V(x)，且 M(0)=0M(0)=0，左半段彎矩為：

M(x)=30x−152x2−109x3.M(x)=30x-\frac{15}{2}x^2-\frac{10}{9}x^3.

跨中彎矩為：

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