112 關務特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

112 年・關務特考・三等・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題25 分

一個扯鈴由一質量為 mm、平均半徑為 rr 的空心管及兩個質量同為 mm、半徑為 RR 的圓形碟片構成，其中 m=1 kgm=1\,\mathrm{kg}、r=5 cmr=5\,\mathrm{cm}、R=15 cmR=15\,\mathrm{cm}。

若以一根棉繩纏繞初始靜止的扯鈴之空心軸，初始張力為 T0T_0，棉繩一端瞬間向上拉起，使其張力增至 T=60 NT=60\,\mathrm{N}（牛頓），如圖一所示。試求扯鈴質心 GG 的加速度、角加速度及棉繩與扯鈴空心軸切點 AA 的加速度。（重力加速度值為 9.81 m/s29.81\,\mathrm{m/s^2}）

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核心觀念

本題考查剛體平面運動中的：

  1. 質心平移運動： ∑Fy=MaG\sum F_y=Ma_G
  2. 以質心 GG 為基準的轉動： ∑MG=IGα\sum M_G=I_G\alpha
  3. 剛體上任一點的加速度：
a⃗A=a⃗G+α⃗×r⃗A/G+ω⃗×(ω⃗×r⃗A/G)\vec a_A=\vec a_G+\vec\alpha\times\vec r_{A/G} +\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r_{A/G})

題目說扯鈴初始靜止，因此瞬間開始拉動時 ω=0\omega=0，向心加速度項為零。

解題方法

一、求初始張力 T0T_0

扯鈴由空心管與兩個圓形碟片組成，總質量為

M=m+m+m=3m=3 kgM=m+m+m=3m=3\ \text{kg}

初始時扯鈴靜止，兩側繩張力皆為 T0T_0，故鉛直方向平衡：

2T0−3mg=02T_0-3mg=0

因此

T0=3mg2=3(1)(9.81)2=14.715 NT_0=\frac{3mg}{2} =\frac{3(1)(9.81)}{2} =14.715\ \text{N}

二、求質心 GG 的加速度

拉動後，左側繩張力變為 T=60 NT=60\ \text{N}，右側仍為瞬間張力 T0T_0。

取鉛直向上為正方向：

T+T0−3mg=3maGT+T_0-3mg=3m a_G

代入數值：

60+14.715−3(1)(9.81)=3(1)aG60+14.715-3(1)(9.81)=3(1)a_G

aG=45.2853=15.095 m/s2a_G=\frac{45.285}{3} =15.095\ \text{m/s}^2

所以

aG=15.095 m/s2，鉛直向上\boxed{a_G=15.095\ \text{m/s}^2\text{，鉛直向上}}

三、求扯鈴的角加速度

空心管視為薄壁圓筒，其對質心軸的轉動慣量為

I管=mr2I_{\text{管}}=mr^2

每個實心圓盤的轉動慣量為

I盤=12mR2I_{\text{盤}}=\frac12mR^2

兩個圓盤合計為

2I盤=mR22I_{\text{盤}}=mR^2

因此扯鈴總轉動慣量為

IG=mr2+mR2=m(r2+R2)I_G=mr^2+mR^2=m(r^2+R^2)

其中

r=0.05 m,R=0.15 mr=0.05\ \text{m},\qquad R=0.15\ \text{m}

故

IG=1[(0.05)2+(0.15)2]=0.025 kg⋅m2I_G=1\left[(0.05)^2+(0.15)^2\right] =0.025\ \text{kg}\cdot\text{m}^2
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第 二 題15 分

一部質量為 mm 的小客車，質心 GG 與路面鉛垂距離為 hh，車輪中心的橫向距離為 LL。當小客車行駛於一曲率半徑為 RR 的平坦彎道，曲率中心位於 CC，如圖二所示。

車輪與路面的最大靜摩擦係數為 μs=0.75\mu_s=0.75，重力加速度值以符號 gg 表示。假設小客車在彎道行駛時，輪胎不滑移，質心 GG 偏移量可忽略不計，試問：

(一) 小客車的最高行駛速率。（15分）

(二) 外側車輪 AA 承受的正向力與內側車輪 BB 承受的正向力比值，小客車才不致傾斜。（10分）

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核心觀念

本題考查平面曲線運動中的：

  1. 向心力與靜摩擦力： f=mv2Rf=m\frac{v^2}{R}
  2. 車體垂直方向力平衡： NA+NB=mgN_A+N_B=mg
  3. 質心高度造成的傾覆力矩。
  4. 不滑移與不傾斜的限制條件。

其中，外側車輪為 AA，內側車輪為 BB。轉彎時，車體所需的向心力由輪胎與路面間的靜摩擦力提供。

（一）小客車的最高行駛速率

平坦彎道上，垂直方向無加速度，因此

NA+NB=mgN_A+N_B=mg

水平方向所需的向心力由靜摩擦力提供：

f=mv2Rf=m\frac{v^2}{R}

最大靜摩擦力為

fmax⁡=μs(NA+NB)=μsmgf_{\max}=\mu_s(N_A+N_B)=\mu_s mg

因此不滑移的條件為

mv2R≤μsmgm\frac{v^2}{R}\leq \mu_s mg

最高速率為

vmax⁡=μsgRv_{\max}=\sqrt{\mu_s gR}

代入 μs=0.75\mu_s=0.75：

vmax⁡=0.75gR\boxed{v_{\max}=\sqrt{0.75gR}}

若僅考慮輪胎不滑移，這就是最高行駛速率。

但車體同時必須不傾斜。由傾覆條件可得：

v2≤gRL2hv^2\leq \frac{gRL}{2h}

所以若將「不滑移且不傾斜」均納入限制，實際最高速率為

vmax⁡=min⁡(0.75gR,gRL2h)\boxed{ v_{\max} = \min\left( \sqrt{0.75gR}, \sqrt{\frac{gRL}{2h}} \right) }

通常題目預期的摩擦限制答案為

vmax⁡=0.75gR\boxed{v_{\max}=\sqrt{0.75gR}}

（二）正向力比值

以質心 GG 為取矩中心。

向心摩擦力作用於路面，與質心垂直距離為 hh，形成傾覆力矩：

Mf=h mv2RM_f=h\,m\frac{v^2}{R}

兩輪正向力的差值形成抵抗傾覆的力矩：

MN=L2(NA−NB)M_N=\frac{L}{2}(N_A-N_B)

取力矩平衡：

L2(NA−NB)=h mv2R\frac{L}{2}(N_A-N_B) = h\,m\frac{v^2}{R}

因此

NA−NB=2hmv2RLN_A-N_B=\frac{2hmv^2}{RL}

再配合

NA+NB=mgN_A+N_B=mg

可得

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第 三 題25 分

如圖三所示，兩個相同尺寸的均勻彈性圓柱體疊立於光滑桌面，兩者的截面積 AA、彈性係數 EE 及質量密度 ρ\rho 相同。

在沒有重力作用下，兩圓柱體的初始長度均為 LL，重力加速度以符號 gg 表示。在重力作用下，試求兩個圓柱體各自的軸向收縮量。（25分）

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核心觀念

本題考查均勻彈性柱在自重作用下的軸向變形。使用：

σ=NA,ε=σE,dδ=ε dx\sigma=\frac{N}{A},\qquad \varepsilon=\frac{\sigma}{E},\qquad d\delta=\varepsilon\,dx

其中 NN 為該截面以上部分所承受的軸向力。由於圓柱體均勻，單位長度重量為

ρAg\rho A g

兩圓柱體接觸面及桌面均可傳遞軸向力；桌面光滑只表示無水平摩擦力。

解題方法

取壓縮應力為正，分別由上而下積分各圓柱體的軸向應變。

一、上方圓柱體（圓柱體 1）

令 x1x_1 自上端向下量，0≤x1≤L0\leq x_1\leq L。

位於截面上方、長度為 x1x_1 的圓柱體重量為

N1(x1)=ρAgx1N_1(x_1)=\rho A g x_1

因此截面壓應力為

σ1(x1)=N1(x1)A=ρgx1\sigma_1(x_1)=\frac{N_1(x_1)}{A} =\rho g x_1

軸向應變為

ε1(x1)=σ1(x1)E=ρgx1E\varepsilon_1(x_1)=\frac{\sigma_1(x_1)}{E} =\frac{\rho g x_1}{E}

故上方圓柱體的收縮量為

δ1=∫0Lε1(x1) dx1=∫0Lρgx1E dx1\delta_1 =\int_0^L \varepsilon_1(x_1)\,dx_1 =\int_0^L\frac{\rho g x_1}{E}\,dx_1 δ1=ρgL22E\boxed{\delta_1=\frac{\rho g L^2}{2E}}

二、下方圓柱體（圓柱體 2）

令 x2x_2 自下方圓柱體的上端向下量，0≤x2≤L0\leq x_2\leq L。

在此截面上方所承受的軸向力包括：

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第 四 題15 分

如圖四所示，一根長度為 LL 的均質懸臂梁，截面為長方形 a×ba\times b，a、ba、b 的尺寸遠小於 LL，彈性係數為 EE。懸臂梁的末端施予一沿著對角線的集中力 PP。試求：

(一) 懸臂梁固定端的最大張應力、最大壓應力及所對應的位置。（15分）

(二) 參考所附坐標系統，該懸臂梁的中性軸（neutral axis）方程式。（10分）

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核心觀念

本題考查懸臂梁固定端的：

  1. 集中力分解。
  2. 雙向彎曲（biaxial bending）。
  3. 彎曲正應力公式。
  4. 中性軸的定義：截面上縱向正應力為零的位置。

依圖示，梁軸為 xx 軸，截面尺寸為：

  • yy 方向高度：bb
  • zz 方向寬度：aa

集中力 PP 沿矩形截面的對角線作用，且箭頭方向取為圖示方向。

解題方法

設矩形截面中心為原點，則截面範圍為

−b2≤y≤b2,−a2≤z≤a2.-\frac{b}{2}\le y\le \frac{b}{2},\qquad -\frac{a}{2}\le z\le \frac{a}{2}.

令矩形對角線長度為

d=a2+b2.d=\sqrt{a^2+b^2}.

由圖示，集中力分解為

Py=Pbd,Pz=−Pad.P_y=\frac{Pb}{d},\qquad P_z=-\frac{Pa}{d}.

負號表示 PzP_z 的方向與正 zz 軸相反。

固定端彎矩

集中力作用點至固定端的距離為 LL，因此固定端彎矩分量大小為

My=−LPz=PLad,M_y=-LP_z=\frac{PLa}{d}, Mz=LPy=PLbd.M_z=LP_y=\frac{PLb}{d}.

矩形截面的慣性矩為

Iy=ba312,Iz=ab312.I_y=\frac{ba^3}{12}, \qquad I_z=\frac{ab^3}{12}.

雙向彎曲所造成的縱向正應力為

σx=MyzIy−MzyIz.\sigma_x = \frac{M_yz}{I_y} - \frac{M_zy}{I_z}.

代入彎矩及慣性矩：

σx=PLadzIy−PLbdyIz,\sigma_x = \frac{PLa}{d}\frac{z}{I_y} - \frac{PLb}{d}\frac{y}{I_z},

因此

σx=12PLd(zba2−yab2).\sigma_x = \frac{12PL}{d} \left( \frac{z}{ba^2} - \frac{y}{ab^2} \right).

（一）固定端最大張應力與最大壓應力

由於應力為 y,zy,z 的線性函數，最大值與最小值必發生在矩形截面的角點。

最大張應力位置

取

y=−b2,z=a2.y=-\frac{b}{2},\qquad z=\frac{a}{2}.

代入得

σT,max⁡=12PLd[a/2ba2−−b/2ab2].\sigma_{T,\max} = \frac{12PL}{d} \left[ \frac{a/2}{ba^2} - \frac{-b/2}{ab^2} \right].

整理得

σT,max⁡=12PLaba2+b2\boxed{ \sigma_{T,\max} = \frac{12PL}{ab\sqrt{a^2+b^2}} }

其位置為

(y,z)=(−b2,a2)\boxed{ \left(y,z\right) = \left(-\frac b2,\frac a2\right) }

亦即圖中截面的左下角。

最大壓應力位置

取

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