109 關務特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

109 年・關務特考・三等・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題4 分

如圖一所示，一彎曲桿 ABEFABEF 是由在 CC 點及 DD 點的兩頸軸承（Journal Bearing）和一金屬線（Wire）AHAH 所支撐。已知彎曲桿的 ABAB 段長度為 250 mm250\ \mathrm{mm}。假設在 DD 點的軸承不會施加軸向推力（Axial Thrust）。

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圖一另標示尺寸 50 mm50\ \mathrm{mm}、300 mm300\ \mathrm{mm}、50 mm50\ \mathrm{mm} 及 250 mm250\ \mathrm{mm}。

(一) 畫出解題所需的自由體圖（Free-Body Diagram）。（4 分）

(二) 決定金屬線 AHAH 中之張力和在 CC 點及 DD 點的反作用力。（16 分）

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核心觀念

本題考三維剛體平衡，以及頸軸承的反力特性。軸線沿 xx 軸的頸軸承不提供力偶；CC 點可提供三個方向的反力，DD 點因題目指定不承受軸向推力，所以只有 y、zy、z 方向反力：

C=Cxi+Cyj+Czk,D=Dyj+Dzk\mathbf C=C_x\mathbf i+C_y\mathbf j+C_z\mathbf k,\qquad \mathbf D=D_y\mathbf j+D_z\mathbf k

金屬線只能沿 AHAH 方向拉桿；FF 點另受 400 N400\ \mathrm N 向下力。

解題方法與自由體圖

將整支彎曲桿 ABEFABEF 隔離。自由體圖應標出：

  • AA 點沿 AHAH 方向的張力 TAHT_{AH}；
  • FF 點向下的 400 N400\ \mathrm N；
  • CC 點的 Cx,Cy,CzC_x,C_y,C_z；
  • DD 點的 Dy,DzD_y,D_z，不畫 DxD_x。

依圖取 xx 軸沿軸承軸線，並以 BB 為基準，相關距離為 BC=50 mmBC=50\ \mathrm{mm}、CD=300 mmCD=300\ \mathrm{mm}、DE=50 mmDE=50\ \mathrm{mm}、EF=250 mmEF=250\ \mathrm{mm}。由圖中 AB=250 mmAB=250\ \mathrm{mm}、30∘30^\circ 及 HH 相對 BB 的位置，金屬線方向的 y、zy、z 分量分別為 sin⁡30∘\sin30^\circ 與 −cos⁡30∘-\cos30^\circ。因此

TAH=TAH(sin⁡30∘ j−cos⁡30∘ k)\mathbf T_{AH}=T_{AH}\left(\sin30^\circ\,\mathbf j-\cos30^\circ\,\mathbf k\right)

先對 xx 軸取矩，可消去 C、DC、D 軸承反力，再用力平衡與其他軸向的力矩方程求各反力。

計算

一、求金屬線張力

對通過 BB 的 xx 軸取矩。張力可沿其作用線移至 HH 點計算；BH=0.25 mBH=0.25\ \mathrm m。FF 點的向下力對 xx 軸力矩臂為 EF=0.25 mEF=0.25\ \mathrm m：

∑Mx=0:−(0.25)TAHcos⁡30∘+(0.25)(400)=0\sum M_x=0: \quad -(0.25)T_{AH}\cos30^\circ+(0.25)(400)=0 TAH=400cos⁡30∘=461.88 NT_{AH}=\frac{400}{\cos30^\circ} =461.88\ \mathrm N

二、求 zz 方向軸承反力

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第 二 題10 分

一質量 8 kg8\ \mathrm{kg} 的均質桿 ABAB 的尾端 AA 附著在一可在直立桿上滑動而無摩擦的套環（Collar）上，桿 ABAB 的尾端 BB 則附著在一直立的繩 BCBC 上。若桿 ABAB 如圖二所示的靜止位置被釋放，決定釋放瞬時的：

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圖二條件：桿長 L=750 mmL=750\ \mathrm{mm}，且 θ=30∘\theta=30^\circ。

(一) 桿 ABAB 的角加速度。（10 分）

(二) 在 AA 點的反作用力。（10 分）

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核心觀念

本題考剛體平面運動的瞬時運動學與動力學。釋放瞬間桿的角速度為零，因此剛體上各點的加速度關係為

aP=aA+α×rP/A\mathbf a_P=\mathbf a_A+\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{P/A}

無摩擦套環沿鉛直導桿滑動，所以 AA 點加速度只有鉛直分量，套環對桿的反作用力則為水平方向。繩 BCBC 在釋放瞬間鉛直且桿靜止，BB 點沿繩方向的加速度為零。

解題方法

取 xx 軸向右、yy 軸向上，令逆時針角加速度為正。圖中桿由 AA 指向 BB，相對水平線向下 30∘30^\circ，因此

rB/A=L(cos⁡θ i−sin⁡θ j),θ=30∘\mathbf r_{B/A}=L(\cos\theta\,\mathbf i-\sin\theta\,\mathbf j), \qquad \theta=30^\circ

令 AA 點鉛直加速度為 aAya_{Ay}。由剛體加速度關係，

aB=aAyj+αk×L(cos⁡θ i−sin⁡θ j)\mathbf a_B = a_{Ay}\mathbf j+ \alpha\mathbf k\times L(\cos\theta\,\mathbf i-\sin\theta\,\mathbf j)

所以

aBx=αLsin⁡θ,aBy=aAy+αLcos⁡θa_{Bx}=\alpha L\sin\theta,\qquad a_{By}=a_{Ay}+\alpha L\cos\theta

BB 點沿鉛直繩方向的加速度為零，故 aBy=0a_{By}=0，得到

aAy=−αLcos⁡θa_{Ay}=-\alpha L\cos\theta

均質桿的質心 GG 位於中點，故

aGx=αL2sin⁡θ,aGy=aAy+αL2cos⁡θ=−αL2cos⁡θa_{Gx}=\frac{\alpha L}{2}\sin\theta,\qquad a_{Gy}=a_{Ay}+\frac{\alpha L}{2}\cos\theta =-\frac{\alpha L}{2}\cos\theta

設 AA 點反作用力為 RAR_A（水平方向），BB 點繩張力為 TT（鉛直向上）。由質心平移方程：

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第 三 題20 分

當質量為 2.5 kg2.5\ \mathrm{kg} 且長度為 750 mm750\ \mathrm{mm} 的均質細長桿 ABAB，以與垂直方向維持 β=30∘\beta=30^\circ，並以一垂直速度 V1=2.4 m/sV_1=2.4\ \mathrm{m/s} 且無角速度撞擊如圖三所示之一圓滑角落。若假設撞擊是完全塑性（Perfectly Plastic），以衝量與動量法求取長桿 ABAB 在撞擊以後瞬時的角速度。（20 分）

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核心觀念

本題考查剛體偏心撞擊的角衝量與角動量原理。碰撞時間極短，重力的衝量可忽略；碰撞衝量作用於角落接觸點 AA，對 AA 點取矩時，該衝量的力矩為零，因此桿對 AA 點的角動量在碰撞前後相等。

完全塑性碰撞後，桿端 AA 瞬時貼住圓滑角落，接觸點速度為零，桿當下等效繞 AA 點轉動。此處不使用機械能守恆。

解題方法

取 xx 軸向右、yy 軸向上，逆時針為正。桿長 L=0.750 mL=0.750\ \mathrm{m}，質心 GG 距端點 AA 為 L/2L/2。由圖可知桿與垂直方向夾角為 β=30∘\beta=30^\circ，所以

rG/A=L2sin⁡β i+L2cos⁡β j\mathbf r_{G/A} =\frac{L}{2}\sin\beta\,\mathbf i +\frac{L}{2}\cos\beta\,\mathbf j

碰撞前桿只有向下平移速度，且沒有角速度：

vG−=−V1j\mathbf v_G^-=-V_1\mathbf j

對 AA 點取角動量，碰撞前為

HA−=rG/A×mvG−=−mV1L2sin⁡β k\mathbf H_A^- =\mathbf r_{G/A}\times m\mathbf v_G^- =-\frac{mV_1L}{2}\sin\beta\,\mathbf k

負號表示角動量方向為順時針。

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第 四 題15 分

若圖四所示梁之 EIEI 是常數，其中 EE 是楊氏模數，II 是梁斷面有關中性軸（Neutral Axis）之慣性矩（Moment of Inertia）。

如圖四所示，梁 ABAB 全長為 LL，AA、BB 兩端均為固定端；梁之右半段，即自 x=L/2x=L/2 至 x=Lx=L 的區段，承受強度為 ww、方向向下之均勻分布載重。

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(一) 決定在 AA 點及 BB 點的反作用力。（15 分）

(二) 畫剪力圖及彎矩圖。（5 分）

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核心觀念

這是兩端固定梁的超靜定問題。僅用整體平衡無法求出全部反力，還要利用固定端的變形條件：AA、BB 兩端轉角與撓度皆為零。題目給定 EIEI 為常數，因此可用梁曲率關係

EI v′′(x)=M(x)EI\,v''(x)=M(x)

配合端點相容條件求解。

以下採用「剪力向上為正、彎矩以正彎矩（下緣受拉）為正」的符號慣例。向下分布載重為 ww，作用範圍為 L/2≤x≤LL/2\le x\le L。

解題方法與推導

令 xx 自 AA 點向右量，AA 點剪力反力記為 RAR_A，梁內彎矩記為 M(x)M(x)。由左側自由體可寫成

M(x)=MA+RAx−w2⟨x−L2⟩2M(x)=M_A+R_Ax-\frac{w}{2}\left\langle x-\frac L2\right\rangle^2

其中 MA=M(0)M_A=M(0)，且括號項僅在 x≥L/2x\ge L/2 時生效。

兩端固定，所以

v′(0)=v(0)=v′(L)=v(L)=0.v'(0)=v(0)=v'(L)=v(L)=0.

由 v′(L)=0v'(L)=0，即全長曲率積分為零：

∫0LM(x) dx=0⟹MA+RAL2=wL248.\int_0^L M(x)\,dx=0 \quad\Longrightarrow\quad M_A+\frac{R_A L}{2}=\frac{wL^2}{48}.

由 v(L)=0v(L)=0，即以 L−xL-x 為權重積分曲率：

∫0L(L−x)M(x) dx=0⟹MA2+RAL6=wL2384.\int_0^L (L-x)M(x)\,dx=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{M_A}{2}+\frac{R_A L}{6}=\frac{wL^2}{384}.

聯立可得

RA=3wL32,MA=−5wL2192.R_A=\frac{3wL}{32}, \qquad M_A=-\frac{5wL^2}{192}.

因此，AA 點的垂直反力向上；固定端反力偶與梁內端彎矩方向相反，故 AA 點反力偶為 5wL2192\frac{5wL^2}{192}，方向逆時針。

由垂直力平衡：

RA+RB=wL2⟹RB=13wL32.R_A+R_B=\frac{wL}{2} \quad\Longrightarrow\quad R_B=\frac{13wL}{32}.

右端梁內彎矩為

M(L)=MA+RAL−wL28=−11wL2192.M(L)=M_A+R_A L-\frac{wL^2}{8} =-\frac{11wL^2}{192}.

因此，BB 點反力偶方向為順時針，大小為 11wL2192\frac{11wL^2}{192}。

剪力圖與彎矩圖

剪力函數為

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第 五 題4 分

圖五所示之懸臂梁的斷面係由兩片各為 200 mm×20 mm200\ \mathrm{mm}\times20\ \mathrm{mm} 的鋼板所焊接而成。若梁可容許的彎曲應力為 150 MPa150\ \mathrm{MPa}，且可容許的剪應力為 70 MPa70\ \mathrm{MPa}。

如圖五所示，懸臂梁 ABAB 長度為 3.0 m3.0\ \mathrm{m}，均勻分布載重強度為 ww，作用於距固定端 AA 之 1.5 m1.5\ \mathrm{m} 至 3.0 m3.0\ \mathrm{m} 區段。梁斷面為由兩片鋼板焊接而成之 TT 形斷面：上翼板寬度為 200 mm200\ \mathrm{mm}、厚度為 20 mm20\ \mathrm{mm}；腹板厚度為 20 mm20\ \mathrm{mm}、高度為 200 mm200\ \mathrm{mm}。

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(一) 畫出梁之剪力圖及彎矩圖。（4 分）

(二) 決定梁可安全承載的均勻分布載荷之載荷強度（Load Intensity）ww 值。（16 分）

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核心觀念

本題考查懸臂梁的剪力與彎矩，以及 T 形斷面的彎曲、剪應力限制。均布載重合力為載重強度乘以受載長度；斷面應力分別以

σmax⁡=Mmax⁡cI=Mmax⁡S,τ=VQIt\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}=\frac{M_{\max}}{S}, \qquad \tau=\frac{VQ}{It}

計算。安全載重須同時符合容許彎曲應力與容許剪應力。

解題方法

令 xx 自固定端 AA 起算，ww 以 kN/m\mathrm{kN/m} 表示。均布載重作用於 1.5≤x≤3.0 m1.5\le x\le3.0\ \mathrm{m}，總載重為 1.5w1.5w，作用位置在 x=2.25 mx=2.25\ \mathrm{m}。

(一) 剪力圖與彎矩圖

固定端反力與反力矩為

RA=1.5w,MA=1.5w(2.25)=3.375w kN⋅m.R_A=1.5w, \qquad M_A=1.5w(2.25)=3.375w\ \mathrm{kN\cdot m}.

以下取剪力圖正值為向上，彎矩圖以正彎矩為下凹；本梁彎矩為負值（上凹）。

剪力為

V(x)={1.5w,0≤x≤1.5,w(3−x),1.5≤x≤3.0.V(x)= \begin{cases} 1.5w, & 0\le x\le1.5,\\ w(3-x), & 1.5\le x\le3.0. \end{cases}

因此剪力圖由 AA 至 x=1.5 mx=1.5\ \mathrm{m} 為常值 1.5w1.5w，再線性下降至自由端的零。

彎矩為

M(x)={−1.5w(2.25−x),0≤x≤1.5,−w(3−x)22,1.5≤x≤3.0.M(x)= \begin{cases} -1.5w(2.25-x), & 0\le x\le1.5,\\ -\dfrac{w(3-x)^2}{2}, & 1.5\le x\le3.0. \end{cases}

因此彎矩圖在 AA 為 −3.375w kN⋅m-3.375w\ \mathrm{kN\cdot m}，於 x=1.5 mx=1.5\ \mathrm{m} 為 −1.125w kN⋅m-1.125w\ \mathrm{kN\cdot m}，最後以拋物線形式升至自由端的零。最大剪力與最大彎矩的絕對值都在固定端。

(二) 安全載重強度

斷面由上翼板 200×20 mm200\times20\ \mathrm{mm} 與腹板 20×200 mm20\times200\ \mathrm{mm} 組成，總高為 220 mm220\ \mathrm{mm}。自斷面頂部量起，形心位置為

yˉ=(4000)(10)+(4000)(120)8000=65 mm.\bar y =\frac{(4000)(10)+(4000)(120)}{8000} =65\ \mathrm{mm}.

斷面二次矩為

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