112 關務特考三等 機械工程 熱工學 考古題詳解

112 年・關務特考・三等・機械工程
試題代碼 熱工學

第 一 題20 分

（一）一簡單蒸汽動力廠如下圖所示，此動力廠是否可運轉？其循環效率為何？（10分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示循環包含鍋爐、渦輪機、冷凝器及泵浦，狀態如下：

  • 狀態 11：飽和液體，0.7 MPa0.7\ \mathrm{MPa}
  • 狀態 22：飽和蒸汽，0.7 MPa0.7\ \mathrm{MPa}
  • 狀態 33：品質 90%90\%，15 kPa15\ \mathrm{kPa}
  • 狀態 44：品質 10%10\%，15 kPa15\ \mathrm{kPa}

（二）如擬以提高鍋爐操作壓力提升（一）之動力廠熱效率，可能產生之影響為何？如何改善？試以 T−sT-s 圖說明之。（10分）

給予數據：

  1. 水：0.7 MPa0.7\ \mathrm{MPa}，Tsat=164.96∘CT_{\mathrm{sat}}=164.96^\circ\mathrm{C}，hf=697.2 kJ/kgh_f=697.2\ \mathrm{kJ/kg}，hg=2763.5 kJ/kgh_g=2763.5\ \mathrm{kJ/kg}。
  2. 水：15 kPa15\ \mathrm{kPa}，Tsat=53.97∘CT_{\mathrm{sat}}=53.97^\circ\mathrm{C}，hf=225.91 kJ/kgh_f=225.91\ \mathrm{kJ/kg}，hg=2599.06 kJ/kgh_g=2599.06\ \mathrm{kJ/kg}。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查簡單蒸汽動力循環（Rankine cycle）的：

  • 飽和混合物焓值計算
  • 鍋爐、渦輪機、冷凝器及泵浦的能量分析
  • 泵浦入口必須為液體的運轉條件
  • 循環熱效率
  • 提高鍋爐壓力對熱效率及渦輪機出口濕度的影響
  • 以 T−sT-s 圖說明提高效率的方法

濕蒸汽品質 xx 的焓值為

h=hf+xhfgh=h_f+xh_{fg}

其中

hfg=hg−hfh_{fg}=h_g-h_f

第一小題：循環是否可運轉

1. 各狀態焓值

在 0.7 MPa0.7\ \mathrm{MPa}：

hf,0.7=697.2 kJ/kgh_{f,0.7}=697.2\ \mathrm{kJ/kg} hg,0.7=2763.5 kJ/kgh_{g,0.7}=2763.5\ \mathrm{kJ/kg}

因此

h1=697.2 kJ/kgh_1=697.2\ \mathrm{kJ/kg} h2=2763.5 kJ/kgh_2=2763.5\ \mathrm{kJ/kg}

在 15 kPa15\ \mathrm{kPa}：

hfg=2599.06−225.91=2373.15 kJ/kgh_{fg}=2599.06-225.91=2373.15\ \mathrm{kJ/kg}

狀態 3 的品質為 x3=0.9x_3=0.9：

h3=hf+x3hfgh_3=h_f+x_3h_{fg} h3=225.91+0.9(2373.15)=2362.745 kJ/kgh_3=225.91+0.9(2373.15) =2362.745\ \mathrm{kJ/kg}

狀態 4 的品質為 x4=0.1x_4=0.1：

h4=225.91+0.1(2373.15)=463.225 kJ/kgh_4=225.91+0.1(2373.15) =463.225\ \mathrm{kJ/kg}

2. 判斷泵浦是否能正常運轉

圖中泵浦入口為狀態 4，而狀態 4 是：

x4=0.1x_4=0.1

這表示流體含有 10%10\% 的蒸汽，屬於濕蒸汽，並非飽和液體。

一般離心式泵浦必須輸送液體。若泵浦吸入含有蒸汽的兩相流，會產生：

  • 泵浦汽蝕
  • 流量及揚程不穩定
  • 泵浦效率大幅下降
  • 葉輪振動、噪音及損壞

因此，圖示循環中的泵浦無法將狀態 4 的濕蒸汽直接加壓至狀態 1。此動力廠依圖示狀態不能正常運轉。

3. 循環效率

由於泵浦無法正常輸送狀態 4 的兩相混合物，完整循環無法成立，因此嚴格而言：

實際循環效率無定義\boxed{\text{實際循環效率無定義}}

若只把題目數據作為理想化計算，忽略泵浦功，則：

鍋爐吸熱量為

qin=h2−h1=2763.5−697.2=2066.3 kJ/kgq_{in}=h_2-h_1 =2763.5-697.2 =2066.3\ \mathrm{kJ/kg}

渦輪機作功為

wt=h2−h3=2763.5−2362.745=400.755 kJ/kgw_t=h_2-h_3 =2763.5-2362.745 =400.755\ \mathrm{kJ/kg}

冷凝器放熱量為

qout=h3−h4=2362.745−463.225=1899.52 kJ/kgq_{out}=h_3-h_4 =2362.745-463.225 =1899.52\ \mathrm{kJ/kg}

若假設泵浦功為零，則表面上的循環效率為

η=wnetqin=wtqin\eta=\frac{w_{net}}{q_{in}} =\frac{w_t}{q_{in}} η=400.7552066.3=0.19396\eta =\frac{400.755}{2066.3} =0.19396 η忽略泵浦功≈19.4%\boxed{\eta_{\mathrm{忽略泵浦功}}\approx19.4\%}

但此 19.4%19.4\% 只是忽略泵浦功且未處理兩相泵浦問題的理想化數值，不能視為該圖示設備可實際運轉時的循環效率。

第二小題：提高鍋爐壓力的影響及改善方法

1. 提高鍋爐壓力對熱效率的影響

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第 二 題20 分

某冷媒以質量流率 0.06 kg/s0.06\ \mathrm{kg/s} 進出絕熱離心式壓縮機，其狀態分別為壓力 0.4 MPa0.4\ \mathrm{MPa}、溫度 0∘C0^\circ\mathrm{C}，以及壓力 1 MPa1\ \mathrm{MPa}、溫度 90∘C90^\circ\mathrm{C}。

假設冷媒蒸氣可視為理想氣體，其等壓比熱為一定值 1.1 kJ/(kg⋅K)1.1\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，比熱比（Specific heat ratio）為 1.31.3。環境溫度為 25∘C25^\circ\mathrm{C}。

試求壓縮機：

（一）可用能增量。（10分）

（二）可用能消減量（exergy destruction）。（10分）

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核心觀念

本題考查穩流控制體的可用能（exergy）平衡。可用能增量是冷媒流經壓縮機前後的流動可用能差；可用能消減量則由穩流可用能平衡求得。壓縮機絕熱，且忽略動能與位能變化。

理想氣體的單位質量流動可用能為

ψ=(h−h0)−T0(s−s0)\psi=(h-h_0)-T_0(s-s_0)

因此兩狀態間的可用能增量為

Δψ=(h2−h1)−T0(s2−s1)\Delta\psi=(h_2-h_1)-T_0(s_2-s_1)

其中環境溫度 T0=25+273.15=298.15 KT_0=25+273.15=298.15\ \mathrm{K}。理想氣體定比熱下，

h2−h1=cp(T2−T1)h_2-h_1=c_p(T_2-T_1) s2−s1=cpln⁡T2T1−Rln⁡P2P1s_2-s_1=c_p\ln\frac{T_2}{T_1}-R\ln\frac{P_2}{P_1}

比氣體常數由比熱比求得：

R=cp(1−1k)=1.1(1−11.3)=0.25385 kJ/(kg⋅K)R=c_p\left(1-\frac{1}{k}\right) =1.1\left(1-\frac{1}{1.3}\right) =0.25385\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

解題方法

將兩端溫度換成絕對溫度：

T1=273.15 K,T2=363.15 KT_1=273.15\ \mathrm{K},\qquad T_2=363.15\ \mathrm{K}

壓力比為 P2/P1=1/0.4=2.5P_2/P_1=1/0.4=2.5。先計算焓差：

h2−h1=cp(T2−T1)=1.1(363.15−273.15)=99.0 kJ/kgh_2-h_1=c_p(T_2-T_1) =1.1(363.15-273.15) =99.0\ \mathrm{kJ/kg}

再計算熵差：

s2−s1=1.1ln⁡363.15273.15−0.25385ln⁡(2.5)=0.1092 kJ/(kg⋅K)\begin{aligned} s_2-s_1 &=1.1\ln\frac{363.15}{273.15} -0.25385\ln(2.5)\\ &=0.1092\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \end{aligned}
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第 三 題20 分

一穩態操作之電腦晶片輸入之電功為 2 kJ2\ \mathrm{kJ}，並自晶片表面將發熱量散至溫度為 25∘C25^\circ\mathrm{C} 之空氣。晶片表面溫度為 50∘C50^\circ\mathrm{C}，請問：

（一）晶片本身之熵產生量（entropy generation）為何？（8分）

（二）晶片外之熵產生量為何？（8分）

（三）此散熱過程是否滿足熵增原理（Increase of entropy principle）？（4分）

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核心觀念

本題考查穩態能量平衡、熵平衡，以及「熵產生量」的系統邊界判斷。晶片將電功轉變為熱，最後把熱傳給較冷的空氣。熵產生量不可逆且非負；晶片內部的熵產生量與晶片外部散熱所造成的熵產生量，須分別依各自的系統邊界計算。

解題方法

令輸入晶片的電功為 Win=2 kJW_{\mathrm{in}}=2\ \mathrm{kJ}。穩態下，晶片沒有能量累積，因此散出的熱量大小為

Qout=Win=2 kJ.Q_{\mathrm{out}}=W_{\mathrm{in}}=2\ \mathrm{kJ}.

溫度須換算為絕對溫度：

Tchip=50+273.15=323.15 K,Tair=25+273.15=298.15 K.T_{\mathrm{chip}}=50+273.15=323.15\ \mathrm{K}, \qquad T_{\mathrm{air}}=25+273.15=298.15\ \mathrm{K}.

（一）晶片本身的熵產生量

以晶片為系統，穩態熵平衡為

0=∑jQ˙jTj+S˙gen.0=\sum_j\frac{\dot Q_j}{T_j}+\dot S_{\mathrm{gen}}.

電功是能量傳遞，不伴隨熵傳遞。晶片以表面溫度 TchipT_{\mathrm{chip}} 排出熱量，因此每 2 kJ2\ \mathrm{kJ} 電功對應的晶片熵產生量為

Sgen,chip=QoutTchip=2323.15=0.00619 kJ/K.S_{\mathrm{gen,chip}} =\frac{Q_{\mathrm{out}}}{T_{\mathrm{chip}}} =\frac{2}{323.15} =0.00619\ \mathrm{kJ/K}.

（二）晶片外的熵產生量

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第 四 題20 分

（一）一渦輪螺旋槳發動機以理想的布雷登循環（Brayton cycle）運轉，提供壓縮機及螺旋槳所需動力。循環之最低溫度及最低壓力分別為 300 K300\ \mathrm{K} 及 100 kPa100\ \mathrm{kPa}，噴嘴出口溫度為 750 K750\ \mathrm{K}，壓縮機之壓力比為 14:114:1，渦輪機之出口溫度為 900 K900\ \mathrm{K}。試求螺旋槳所需之功及噴嘴出口速度。（10分）

（二）如果飛機之飛行速度為 200 m/s200\ \mathrm{m/s}，推進效率為何？（5分）

（三）在 T−sT-s 圖表示此循環。（5分）

給予數據：空氣等壓比熱 1.005 kJ/(kg⋅K)1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，比熱比 1.41.4，氣體常數 0.287 kJ/(kg⋅K)0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

本題以理想布雷登循環分析渦輪螺旋槳發動機。壓縮機與渦輪機視為等熵裝置，渦輪輸出功先供壓縮機使用，剩餘部分供螺旋槳使用；噴嘴則將氣體的焓降轉換為噴流動能。

令狀態 1 為循環最低溫、最低壓處，狀態 2 為壓縮機出口，狀態 3 為渦輪入口，狀態 4 為渦輪出口，狀態 5 為噴嘴出口。依題意，T1=300 KT_1=300\ \mathrm{K}、T4=900 KT_4=900\ \mathrm{K}、T5=750 KT_5=750\ \mathrm{K}，壓力比為 rp=14r_p=14。

解題方法

理想氣體等熵過程滿足

T高壓T低壓=(P高壓P低壓)(γ−1)/γ\frac{T_{\mathrm{高壓}}}{T_{\mathrm{低壓}}} = \left(\frac{P_{\mathrm{高壓}}}{P_{\mathrm{低壓}}}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}

其中 (γ−1)/γ=0.4/1.4(\gamma-1)/\gamma=0.4/1.4。

壓縮機出口溫度為

T2=T1rp(γ−1)/γ=300(14)0.4/1.4=646.4 KT_2=T_1r_p^{(\gamma-1)/\gamma} =300(14)^{0.4/1.4} =646.4\ \mathrm{K}

將渦輪視為等熵膨脹至最低壓，則渦輪入口溫度為

T3=T4rp(γ−1)/γ=900(14)0.4/1.4=1939.2 KT_3=T_4r_p^{(\gamma-1)/\gamma} =900(14)^{0.4/1.4} =1939.2\ \mathrm{K}

壓縮機比功：

wc=cp(T2−T1)=1.005(646.4−300)=348.1 kJ/kgw_c=c_p(T_2-T_1) =1.005(646.4-300) =348.1\ \mathrm{kJ/kg}

渦輪比功：

wt=cp(T3−T4)=1.005(1939.2−900)=1044.4 kJ/kgw_t=c_p(T_3-T_4) =1.005(1939.2-900) =1044.4\ \mathrm{kJ/kg}

渦輪輸出扣除壓縮機耗功後，即為螺旋槳所需功：

wp=wt−wc=1044.4−348.1=696.3 kJ/kgw_p=w_t-w_c =1044.4-348.1 =\boxed{696.3\ \mathrm{kJ/kg}}

以每公斤空氣為基準，噴嘴出口速度由穩流能量方程求得。假設噴嘴絕熱、無軸功、入口速度可忽略，則

V522=cp(T4−T5)\frac{V_5^2}{2}=c_p(T_4-T_5)

注意 cp=1.005 kJ/(kg⋅K)=1005 J/(kg⋅K)c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=1005\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}，因此

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第 五 題20 分

（一）有一房間空氣相對濕度為 40%40\%，溫度為 20∘C20^\circ\mathrm{C}，乾空氣質量為 50 kg50\ \mathrm{kg}。將此房間內之濕度提高至 100%100\%，溫度維持 20∘C20^\circ\mathrm{C}，請問需加多少水蒸汽？（10分）

（二）以水蒸汽之 T−sT-s 圖表示此過程。（5分）

（三）將此加濕過程表示於濕度表（psychrometric chart）。（5分）

給予數據：大氣壓力為 101.325 kPa101.325\ \mathrm{kPa}，水 20∘C20^\circ\mathrm{C} 飽和壓力為 2.339 kPa2.339\ \mathrm{kPa}。

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核心觀念

相對濕度定義為水蒸汽分壓與同溫度飽和水蒸汽壓之比：

ϕ=pvpws\phi=\frac{p_v}{p_{ws}}

濕度比（含濕量）ww 為每公斤乾空氣所含的水蒸汽質量。依理想氣體關係：

w=0.622pvP−pvw=0.622\frac{p_v}{P-p_v}

其中 PP 為總壓力。房間加濕前後乾空氣質量固定，因此所需增加的水蒸汽質量為乾空氣質量乘以濕度比的變化。

解題方法

在 20∘C20^\circ\mathrm{C} 時，飽和水蒸汽壓為 pws=2.339 kPap_{ws}=2.339\ \mathrm{kPa}。初始相對濕度為 40%40\%，故初始水蒸汽分壓為

pv1=ϕ1pws=0.40(2.339)=0.9356 kPap_{v1}=\phi_1p_{ws} =0.40(2.339) =0.9356\ \mathrm{kPa}

初始濕度比：

w1=0.6220.9356101.325−0.9356=0.00580 kg waterkg dry airw_1=0.622\frac{0.9356}{101.325-0.9356} =0.00580\ \frac{\mathrm{kg\ water}}{\mathrm{kg\ dry\ air}}

加濕至相對濕度 100%100\% 時，水蒸汽分壓等於飽和壓力：

pv2=pws=2.339 kPap_{v2}=p_{ws}=2.339\ \mathrm{kPa}

最終濕度比：

w2=0.6222.339101.325−2.339=0.01470 kg waterkg dry airw_2=0.622\frac{2.339}{101.325-2.339} =0.01470\ \frac{\mathrm{kg\ water}}{\mathrm{kg\ dry\ air}}
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