111 關務特考三等 機械工程 熱工學 考古題詳解

111 年・關務特考・三等・機械工程
試題代碼 熱工學

第 一 題25 分

考慮汽油引擎，請說明： (一) 壓縮比與平均有效壓力（mean effective pressure）之定義。（12分） (二) 此引擎之熱效率隨壓縮比之增加而增加。但一般之火星塞點火引擎之壓縮比為 8∼128 \sim 12，為何實務上壓縮比不採用更高之設計？（6分） (三) 加油站的 92、95、98 無鉛汽油的數字代表的意義為何？（7分）

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核心觀念

本題主要考查汽油引擎的三項基本觀念：

  1. 壓縮比與平均有效壓力的定義。
  2. Otto 循環中壓縮比與熱效率的關係，以及實際火星塞點火引擎的爆震限制。
  3. 汽油辛烷值的意義及其抗爆震特性。

本題為申論題，沒有選項，因此無選項逐一分析。

解題方法

（一）壓縮比與平均有效壓力之定義

1. 壓縮比（compression ratio）

引擎活塞由下死點移動至上死點時，汽缸內工作流體體積由最大值變為最小值。壓縮比定義為：

r=Vmax⁡Vmin⁡r=\frac{V_{\max}}{V_{\min}}

其中：

  • Vmax⁡V_{\max}：活塞位於下死點時的汽缸總容積。
  • Vmin⁡V_{\min}：活塞位於上死點時的燃燒室容積，亦稱餘隙容積 VcV_c。

若排氣量或掃氣容積為 VdV_d，則：

Vmax⁡=Vd+VcV_{\max}=V_d+V_c

因此：

r=Vd+VcVc=1+VdVcr=\frac{V_d+V_c}{V_c} =1+\frac{V_d}{V_c}

壓縮比為無因次量。壓縮比越大，表示混合氣在點火前被壓縮至越小體積，壓縮終點溫度與壓力通常也越高。

2. 平均有效壓力（mean effective pressure, MEP）

平均有效壓力是將引擎一個循環所產生的淨功，假想成由一個作用於活塞、大小固定的平均壓力，在整個排氣量上所作的功。

其定義為：

pme=Wcycle,netVdp_{\mathrm{me}}=\frac{W_{\mathrm{cycle,net}}}{V_d}

其中：

  • pmep_{\mathrm{me}}：平均有效壓力。
  • Wcycle,netW_{\mathrm{cycle,net}}：每一循環所產生的淨功。
  • VdV_d：活塞排氣量，即最大容積與最小容積之差。

因此：

Wcycle,net=pmeVdW_{\mathrm{cycle,net}}=p_{\mathrm{me}}V_d

平均有效壓力雖然具有壓力單位，但不代表汽缸內某一時刻的實際壓力，而是將整個 pp-VV 圖封閉曲線面積所代表的循環功，換算成作用於排氣量上的等效平均壓力。

依所取功的種類，可分為：

  • 指示平均有效壓力：
IMEP=WiVdIMEP=\frac{W_i}{V_d}

其中 WiW_i 為汽缸內實際產生的指示功。

  • 制動平均有效壓力：
BMEP=WbVdBMEP=\frac{W_b}{V_d}

其中 WbW_b 為曲軸輸出的制動功。

兩者關係為：

BMEP=IMEP−FMEPBMEP=IMEP-FMEP

其中 FMEPFMEP 為摩擦平均有效壓力，代表摩擦、泵氣等造成的功率損失。

對四行程引擎，若以曲軸扭矩 TT 表示，則：

BMEP=4πTVdBMEP=\frac{4\pi T}{V_d}

這是因為四行程引擎每兩轉完成一個循環。

（二）壓縮比為何不採用更高之設計

1. 理想 Otto 循環顯示壓縮比越高，熱效率越高

汽油引擎可近似視為定容加熱的 Otto 循環。若比熱比 γ\gamma 視為定值，其理想熱效率為：

ηOtto=1−1rγ−1\eta_{\mathrm{Otto}} =1-\frac{1}{r^{\gamma-1}}

其中 rr 為壓縮比。

當 rr 增加時，rγ−1r^{\gamma-1} 增加，因此：

ηOtto↑\eta_{\mathrm{Otto}}\uparrow

理論上提高壓縮比能提升膨脹比，增加燃燒氣體對活塞所作的功，故熱效率提高。

2. 實際限制主要是爆震（knock）

壓縮比提高時，壓縮終點的溫度與壓力升高。火星塞點火後，火焰前緣尚未到達的末端混合氣稱為 end gas，其受到高溫、高壓作用，可能在正常火焰前緣抵達前自行著火。

此種快速且不正常的燃燒會造成爆震，導致：

  • 汽缸內壓力急遽振盪。
  • 活塞、汽缸蓋、汽門等零件承受衝擊負荷。
  • 引擎產生敲擊聲與過熱。
  • 活塞、火星塞及汽門可能燒損。
  • 長期運轉會降低耐久性，甚至造成嚴重損壞。

因此，火星塞點火引擎的壓縮比必須低於在各種操作條件下發生爆震的極限。

3. 其他實務因素

除了爆震外，壓縮比過高還會產生下列問題：

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第 二 題25 分

某燃氣渦輪機受材料限制，最高溫為 1500 K1500\text{ K}，最低溫為 300 K300\text{ K}。使用空氣為工作流體，原設計壓力比為 55，若將壓力比增為 1010，請問： (一) 每公斤空氣之輸出淨功改變多少？（12分） (二) 熱效率改變多少？（13分） （空氣的比熱固定，cp=1.005 kJ/(kg⋅K)c_p = 1.005\text{ kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})，R=0.287 kJ/(kg⋅K)R = 0.287\text{ kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})。）

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核心觀念

本題考查理想燃氣渦輪機的 Brayton cycle（布雷登循環），假設：

  • 壓縮機與渦輪均為等熵操作。
  • 空氣為理想氣體。
  • 比熱 cpc_p 與氣體常數 RR 為定值。
  • 最低溫為壓縮機入口溫度 T1=300 KT_1=300\text{ K}。
  • 最高溫為渦輪入口溫度 T3=1500 KT_3=1500\text{ K}。
  • 壓力比為 rp=P2/P1=P3/P4r_p=P_2/P_1=P_3/P_4。

由

cp−cv=Rc_p-c_v=R

得

cv=cp−R=1.005−0.287=0.718c_v=c_p-R=1.005-0.287=0.718

因此比熱比

γ=cpcv=1.0050.718≈1.4\gamma=\frac{c_p}{c_v} =\frac{1.005}{0.718} \approx 1.4

等熵關係式為

T2T1=rp(γ−1)/γ\frac{T_2}{T_1} =r_p^{(\gamma-1)/\gamma}

以及

T3T4=rp(γ−1)/γ\frac{T_3}{T_4} =r_p^{(\gamma-1)/\gamma}

本題中

γ−1γ=0.41.4=27\frac{\gamma-1}{\gamma} =\frac{0.4}{1.4} =\frac{2}{7}

解題方法

壓縮機耗功為

wc=cp(T2−T1)w_c=c_p(T_2-T_1)

渦輪輸出功為

wt=cp(T3−T4)w_t=c_p(T_3-T_4)

故每公斤空氣的輸出淨功為

wnet=wt−wc=cp[(T3−T4)−(T2−T1)]w_{\text{net}}=w_t-w_c =c_p[(T_3-T_4)-(T_2-T_1)]

熱效率為

ηth=wnetqin\eta_{\text{th}} =\frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}}

其中加熱量

qin=cp(T3−T2)q_{\text{in}}=c_p(T_3-T_2)

一、壓力比由 55 增為 1010 時，輸出淨功的改變

原設計：rp=5r_p=5

先計算等熵溫度比：

52/7≈1.58385^{2/7}\approx 1.5838

因此

T2=300(1.5838)≈475.1 KT_2=300(1.5838)\approx 475.1\text{ K} T4=15001.5838≈947.1 KT_4=\frac{1500}{1.5838}\approx 947.1\text{ K}

壓縮機耗功：

wc=1.005(475.1−300)≈176.0 kJ/kgw_c=1.005(475.1-300) \approx 176.0\text{ kJ/kg}

渦輪輸出功：

wt=1.005(1500−947.1)≈555.7 kJ/kgw_t=1.005(1500-947.1) \approx 555.7\text{ kJ/kg}

所以原壓力比下的淨功為

wnet,5=555.7−176.0≈379.7 kJ/kgw_{\text{net},5} =555.7-176.0 \approx 379.7\text{ kJ/kg}

新設計：rp=10r_p=10

102/7≈1.930710^{2/7}\approx 1.9307

因此

T2=300(1.9307)≈579.2 KT_2=300(1.9307)\approx 579.2\text{ K} T4=15001.9307≈776.9 KT_4=\frac{1500}{1.9307}\approx 776.9\text{ K}

壓縮機耗功：

wc=1.005(579.2−300)≈280.6 kJ/kgw_c=1.005(579.2-300) \approx 280.6\text{ kJ/kg}

渦輪輸出功：

wt=1.005(1500−776.9)≈726.7 kJ/kgw_t=1.005(1500-776.9) \approx 726.7\text{ kJ/kg}

所以新壓力比下的淨功為

wnet,10=726.7−280.6≈446.1 kJ/kgw_{\text{net},10} =726.7-280.6 \approx 446.1\text{ kJ/kg}

淨功改變量：

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第 三 題25 分

合歡山松雪樓是熱門的高山旅館。某日寒流來臨，整日室外溫度皆為 −2∘C-2^\circ\text{C}，若松雪樓每小時散熱到環境之速率為 1500 MJ/h1500\text{ MJ}/\text{h}，而欲維持室內溫度在 20∘C20^\circ\text{C}，請問： (一) 最少需消耗多少功率？此時之 COP\text{COP} 為多少？（13分） (二) 若松雪樓使用之暖氣機的 COP\text{COP} 為 55，當日松雪樓暖氣機消耗幾度電？此暖氣機的第二定律效率（Second-law efficiency）是多少？（12分）

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核心觀念

本題考查暖氣機（熱泵）的性能係數 COP\mathrm{COP}、可逆卡諾熱泵，以及第二定律效率。

暖氣機將室外低溫環境的熱量送入室內，其供熱量為 QHQ_H，消耗功率為 W˙\dot W，暖氣模式的性能係數定義為

COPHP=QHW˙\mathrm{COP}_{HP}=\frac{Q_H}{\dot W}

其中：

  • QHQ_H：暖氣機供給室內的熱量
  • W˙\dot W：暖氣機輸入功率

在相同高、低溫熱源間運轉時，理想可逆熱泵的最大供熱性能係數為卡諾熱泵 COP\mathrm{COP}：

COPHP,rev=THTH−TL\mathrm{COP}_{HP,\mathrm{rev}} =\frac{T_H}{T_H-T_L}

溫度必須使用絕對溫標 K。

解題方法

室內必須維持定溫，因此暖氣機每小時供給室內的熱量，必須等於室內每小時散失的熱量：

Q˙H=1500 MJ/h\dot Q_H=1500\ \mathrm{MJ/h}

溫度換算為

TH=20+273.15=293.15 KT_H=20+273.15=293.15\ \mathrm{K} TL=−2+273.15=271.15 KT_L=-2+273.15=271.15\ \mathrm{K}

溫差為

TH−TL=293.15−271.15=22 KT_H-T_L=293.15-271.15=22\ \mathrm{K}

（一）最少消耗功率與此時的 COP\mathrm{COP}

「最少消耗功率」代表在相同室內、室外溫度條件下，採用可逆熱泵運轉。因此最大可能的供熱 COP\mathrm{COP} 為

COPmax⁡=293.1522=13.325\mathrm{COP}_{\max} =\frac{293.15}{22} =13.325

故此時的 COP\mathrm{COP} 為

COP=13.33\boxed{\mathrm{COP}=13.33}

接著將散熱速率換算成 kW：

1 kW=1 kJ/s1\ \mathrm{kW}=1\ \mathrm{kJ/s}

而

1 h=3600 s1\ \mathrm{h}=3600\ \mathrm{s}

因此

1500 MJ/h=1500×1033600 kW=416.67 kW1500\ \mathrm{MJ/h} =\frac{1500\times 10^3}{3600}\ \mathrm{kW} =416.67\ \mathrm{kW}

由

COP=Q˙HW˙\mathrm{COP}=\frac{\dot Q_H}{\dot W}

可得最少輸入功率

W˙min⁡=Q˙HCOPmax⁡=416.6713.325=31.27 kW\dot W_{\min} =\frac{\dot Q_H}{\mathrm{COP}_{\max}} =\frac{416.67}{13.325} =31.27\ \mathrm{kW}

因此

W˙min⁡=31.27 kW\boxed{\dot W_{\min}=31.27\ \mathrm{kW}}
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第 四 題25 分

某冷氣機使用 R-134a 為冷媒，依據理想蒸氣壓縮冷凍循環運轉，欲維持室內溫度在 24∘C24^\circ\text{C}，冷凝器之工作壓力為 1000 kPa1000\text{ kPa}，蒸發器需有 4∘C4^\circ\text{C} 的溫差以便有良好熱傳效果，求此系統之 COP\text{COP}。（25分）

Superheated refrigerant-134a

TT (∘C^\circ\text{C})vv (m3/kg\text{m}^3/\text{kg})uu (kJ/kg\text{kJ}/\text{kg})hh (kJ/kg\text{kJ}/\text{kg})ss (kJ/(kg⋅K)\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}))
P=1.00 MPaP = 1.00\text{ MPa} (Tsat=39.37∘CT_{\text{sat}} = 39.37^\circ\text{C})
Sat.0.020319250.71271.040.9157
400.020406251.32271.730.9180
500.021796260.96282.760.9526

Saturated refrigerant-134a

Temp., T ∘CT\ ^\circ\text{C}Sat. press., Psat kPaP_{\text{sat}}\text{ kPa}Specific volume, m3/kg\text{m}^3/\text{kg}<br>Sat. liquid, vfv_fSpecific volume, m3/kg\text{m}^3/\text{kg}<br>Sat. vapor, vgv_gInternal energy, kJ/kg\text{kJ}/\text{kg}<br>Sat. liquid, ufu_fInternal energy, kJ/kg\text{kJ}/\text{kg}<br>Evap., ufgu_{fg}Internal energy, kJ/kg\text{kJ}/\text{kg}<br>Sat. vapor, ugu_gEnthalpy, kJ/kg\text{kJ}/\text{kg}<br>Sat. liquid, hfh_fEnthalpy, kJ/kg\text{kJ}/\text{kg}<br>Evap., hfgh_{fg}Enthalpy, kJ/kg\text{kJ}/\text{kg}<br>Sat. vapor, hgh_gEntropy, kJ/(kg⋅K)\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})<br>Sat. liquid, sfs_fEntropy, kJ/(kg⋅K)\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})<br>Evap., sfgs_{fg}Entropy, kJ/(kg⋅K)\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})<br>Sat. vapor, sgs_g
20572.070.00081600.03601278.85162.19241.0479.32182.33261.640.300620.621920.92254
22608.270.00082090.03386781.64160.45242.0982.14180.55262.690.310120.611680.92180
24646.180.00082600.03186984.44158.68243.1384.98178.74263.720.319590.601480.92107
26685.840.00083120.03000887.26156.89244.1587.83176.90264.730.329050.591310.92036
28727.310.00083660.02827190.09155.08245.1790.70175.03265.730.338490.581170.91967
Press., P kPaP\text{ kPa}Sat. temp., Tsat ∘CT_{\text{sat}}\ ^\circ\text{C}Sat. liquid, vfv_fSat. vapor, vgv_gSat. liquid, ufu_fEvap., ufgu_{fg}Sat. vapor, ugu_gSat. liquid, hfh_fEvap., hfgh_{fg}Sat. vapor, hgh_gSat. liquid, sfs_fEvap., sfgs_{fg}Sat. vapor, sgs_g
100039.370.00087000.020329106.47144.24250.71107.34163.70271.040.391960.523780.91574
120046.290.00089350.016728116.72137.12253.84117.79156.12273.920.424490.488700.91320
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查理想蒸氣壓縮冷凍循環四個狀態：

  1. 壓縮機入口：蒸發器出口為飽和蒸氣。
  2. 壓縮機出口：等熵壓縮。
  3. 冷凝器出口：飽和液體。
  4. 膨脹閥出口：等焓節流。

冷凍機性能係數為

COPR=qLwc=h1−h4h2−h1\mathrm{COP}_R=\frac{q_L}{w_c} =\frac{h_1-h_4}{h_2-h_1}

其中：

  • qLq_L：蒸發器吸收的熱量
  • wcw_c：壓縮機輸入功
  • h1,h2,h3,h4h_1,h_2,h_3,h_4：各狀態之比焓

解題方法

1. 決定蒸發溫度與狀態 1

室內溫度為 24∘C24^\circ\mathrm{C}，蒸發器需有 4∘C4^\circ\mathrm{C} 溫差，因此

Tevap=24−4=20∘CT_{\mathrm{evap}}=24-4=20^\circ\mathrm{C}

理想循環中，蒸發器出口為 20∘C20^\circ\mathrm{C} 的飽和蒸氣。由表得

h1=hg(20∘C)=261.64 kJ/kgh_1=h_g(20^\circ\mathrm{C})=261.64\ \mathrm{kJ/kg} s1=sg(20∘C)=0.92254 kJ/(kg⋅K)s_1=s_g(20^\circ\mathrm{C}) =0.92254\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

2. 決定狀態 2：等熵壓縮

冷凝器工作壓力為 1000 kPa=1.00 MPa1000\ \mathrm{kPa}=1.00\ \mathrm{MPa}，且壓縮過程為等熵：

s2=s1=0.92254 kJ/(kg⋅K)s_2=s_1=0.92254\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

在 P2=1.00 MPaP_2=1.00\ \mathrm{MPa} 的過熱表中：

TTsshh
40∘C40^\circ\mathrm{C}0.91800.9180271.73271.73
50∘C50^\circ\mathrm{C}0.95260.9526282.76282.76

對熵作線性內插：

T2=40+0.92254−0.91800.9526−0.9180(50−40)T_2 =40+\frac{0.92254-0.9180}{0.9526-0.9180}(50-40)
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其他考古題

機械工程《熱工學》其他年度

112110