110 關務特考三等 機械工程 熱工學 考古題詳解

110 年・關務特考・三等・機械工程
試題代碼 熱工學

第 一 題25 分

一、某空氣調節裝置具有冷暖功能，夏天進行冷氣運轉，冬天進行暖氣運轉，並將室內全年維持於 25∘C25^\circ\mathrm{C}。假設建築物結構對室內外每一度的溫差會有 2,000 kJ/hr2{,}000\ \mathrm{kJ/hr} 的熱傳量。

(一) 請寫出卡諾冷凍機的性能係數（COP，coefficient of performance）之定義，以及卡諾熱泵的性能因數（PF，performance factor）之定義。（5 分）

(二) 當冬季室外溫度為 10∘C10^\circ\mathrm{C} 時，該空氣調節裝置所需的最小功率為何？（10 分）

(三) 若輸入功率和第（二）小題相同，且令室內溫度維持在 25∘C25^\circ\mathrm{C}，則外界大氣溫度可能的最高值為何？（10 分）

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核心觀念

本題考查卡諾冷凍機與卡諾熱泵的性能定義，以及以室內外溫差計算建築物熱負荷。冬季供暖時，空調裝置作為熱泵運轉；最低輸入功率由卡諾熱泵的性能因數決定。

卡諾冷凍機的性能係數為：

COPR=QLWin\mathrm{COP}_R=\frac{Q_L}{W_{\mathrm{in}}}

其中 QLQ_L 為低溫熱源吸收的熱量，WinW_{\mathrm{in}} 為輸入功。

卡諾熱泵的性能因數為：

PFHP=QHWin\mathrm{PF}_{HP}=\frac{Q_H}{W_{\mathrm{in}}}

其中 QHQ_H 為送入高溫空間的熱量。由能量平衡 QH=QL+WinQ_H=Q_L+W_{\mathrm{in}}，可得：

PFHP=COPR+1\mathrm{PF}_{HP}=\mathrm{COP}_R+1

解題方法

（一）性能定義

依上述定義，冷凍機以低溫端吸熱量除以輸入功；熱泵以高溫端供熱量除以輸入功。卡諾循環的溫度須採絕對溫度，因此計算 COP 或 PF 時使用 K。

（二）冬季所需最小功率

室內溫度為 25∘C25^\circ\mathrm{C}，室外溫度為 10∘C10^\circ\mathrm{C}，溫差為 15∘C15^\circ\mathrm{C}。建築物每相差 1∘C1^\circ\mathrm{C} 的熱傳量為 2,000 kJ/hr2{,}000\ \mathrm{kJ/hr}，故冬季室內向外散失的熱量為：

Q˙H=2,000(25−10)=30,000 kJ/hr\dot Q_H=2{,}000(25-10) =30{,}000\ \mathrm{kJ/hr}

此熱量須由熱泵補入室內。卡諾熱泵的高、低溫端絕對溫度分別為：

TH=25+273.15=298.15 K,TL=10+273.15=283.15 KT_H=25+273.15=298.15\ \mathrm{K},\qquad T_L=10+273.15=283.15\ \mathrm{K}

卡諾熱泵性能因數為：

PFHP=THTH−TL=298.15298.15−283.15≈19.88\mathrm{PF}_{HP} =\frac{T_H}{T_H-T_L} =\frac{298.15}{298.15-283.15} \approx 19.88

因此所需最小輸入功率為：

W˙min⁡=Q˙HPFHP=30,00019.88≈1,509 kJ/hr\dot W_{\min} =\frac{\dot Q_H}{\mathrm{PF}_{HP}} =\frac{30{,}000}{19.88} \approx 1{,}509\ \mathrm{kJ/hr}

換算為 kW：

W˙min⁡=1,5093,600≈0.419 kW\dot W_{\min} =\frac{1{,}509}{3{,}600} \approx 0.419\ \mathrm{kW}
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第 二 題25 分

二、在一空氣標準柴油循環（air-standard Diesel cycle）中，壓縮開始的狀態為 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 和 27∘C27^\circ\mathrm{C}，而壓縮後壓力為 4,000 kPa4{,}000\ \mathrm{kPa}。系統中空氣的質量為 0.1 kg0.1\ \mathrm{kg}，每循環之加熱量為 100 kJ100\ \mathrm{kJ}。假設空氣之氣體常數 Rair=0.287 kJ/(kg⋅K)R_{\mathrm{air}}=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}、等壓比熱（constant pressure specific heat）cp=1.005 kJ/(kg⋅K)c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} 與比熱比（ratio of specific heat）k=1.4k=1.4 皆為固定值。

每小題 5 分，共 25 分。

(一) 寫出此循環之過程的特徵與名稱，並畫出其溫度—熵（TT—ss）與壓力—體積（pp—vv）的曲線圖。

(二) 何謂壓縮比（compression ratio）以及停氣比（cutoff ratio）？若壓縮比太高時，於實際應用會帶來何種不利之影響？

(三) 請計算出此柴油循環的壓縮比及停氣比。

(四) 請計算出此柴油循環的熱效率以及功。

(五) 在相同壓縮比之下，請比較理想奧圖循環（ideal Otto cycle）與理想柴油循環之熱效率何者為高？為什麼？

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**核心觀念：**理想柴油循環由兩個等熵過程、一個定壓過程與一個定容過程組成。

  1. 1→21\to2：等熵壓縮，空氣熵不變，體積減小、壓力與溫度上升。
  2. 2→32\to3：定壓加熱，壓力不變，空氣吸熱，體積與溫度上升。
  3. 3→43\to4：等熵膨脹，空氣熵不變，體積增加、壓力與溫度下降。
  4. 4→14\to1：定容排熱，體積不變，空氣排熱，壓力與溫度下降。

TT—ss 圖：

 T
 ↑
 │ 2 ───────╱ 3
 │ │ │
 │ │ │
 │ │ │
 │ 1 ╲────────── 4
 └──────────────────────→ s

1→21\to2、3→43\to4 為等熵直線；2→32\to3 為定壓吸熱；4→14\to1 為定容排熱。

pp—vv 圖：

 p
 ↑
 │ 2 ──────── 3
 │ ╲ ╲
 │ ╲ ╲
 │ ╲ 4
 │ ╲ │
 │ ╲ │
 │ 1 ──────┘
 └──────────────────────→ v

1→21\to2 為等熵壓縮曲線，2→32\to3 為定壓線，3→43\to4 為等熵膨脹曲線，4→14\to1 為定容線。

（二）壓縮比、停氣比與壓縮比過高的影響

**壓縮比（compression ratio）**是壓縮前最大氣缸容積與壓縮後最小氣缸容積之比：

r=v1v2r=\frac{v_1}{v_2}

**停氣比（cutoff ratio）**是定壓加熱終點與起點的比容比：

ρ=v3v2\rho=\frac{v_3}{v_2}

柴油循環在 2→32\to3 定壓加熱，因此亦有 ρ=T3/T2\rho=T_3/T_2。

壓縮比過高會使壓縮終點的壓力與溫度升高，增加引擎零件承受的機械負荷，並使引擎重量、成本、摩擦損失與熱負荷增加，影響耐久性。

（三）壓縮比與停氣比

已知 T1=27+273=300 KT_1=27+273=300\ \mathrm{K}，p1=100 kPap_1=100\ \mathrm{kPa}，p2=4,000 kPap_2=4{,}000\ \mathrm{kPa}。等熵壓縮關係為 p2/p1=rkp_2/p_1=r^k，故：

r=(p2p1)1/k=(4,000100)1/1.4=13.94r=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/k} =\left(\frac{4{,}000}{100}\right)^{1/1.4} =13.94

狀態 2 溫度為：

T2=T1rk−1=300(13.942)0.4=860.70 KT_2=T_1r^{k-1} =300(13.942)^{0.4} =860.70\ \mathrm{K}

每循環吸熱 100 kJ100\ \mathrm{kJ}，空氣質量為 0.1 kg0.1\ \mathrm{kg}，故單位質量吸熱量為：

qin=1000.1=1,000 kJ/kgq_{\mathrm{in}}=\frac{100}{0.1} =1{,}000\ \mathrm{kJ/kg}

定壓加熱時 qin=cp(T3−T2)q_{\mathrm{in}}=c_p(T_3-T_2)，因此：

T3=T2+qincp=860.70+1,0001.005=1,855.73 KT_3=T_2+\frac{q_{\mathrm{in}}}{c_p} =860.70+\frac{1{,}000}{1.005} =1{,}855.73\ \mathrm{K}
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第 三 題35 分

三、空氣以 100 kPa100\ \mathrm{kPa}、20∘C20^\circ\mathrm{C} 的狀態進入壓縮機，依穩定可逆（steady, reversible）方式壓縮到 1,000 kPa1{,}000\ \mathrm{kPa}，同時假設動能和位能沒有變化，請求出下列壓縮過程下所需要的功。空氣之氣體常數 Rair=0.287 kJ/(kg⋅K)R_{\mathrm{air}}=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

(一) 等熵壓縮過程（比熱比 cp/cv=1.4c_p/c_v=1.4）。（5 分）

(二) n=1.3n=1.3 之多變壓縮過程（polytropic compression with n=1.3n=1.3）。（5 分）

(三) 等溫壓縮過程（isothermal compression）。（5 分）

(四) 配合中間冷卻的理想兩級多變壓縮過程（ideal two-stage compression with intercooling and n=1.3n=1.3）。（10 分）

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核心觀念

穩定流動、動能與位能變化可忽略的壓縮機，能量方程為

q−ws=h2−h1q-w_s=h_2-h_1

其中 wsw_s 是以「流出控制體為正」的軸功。若壓縮過程可逆，邊界功可用 v dpv\,dp 表示，因此壓縮機所需的輸入功（以下列正值）為

win=∫p1p2v dpw_{\mathrm{in}}=\int_{p_1}^{p_2}v\,dp

空氣視為理想氣體，使用 v=RT/pv=RT/p。初溫為

T1=20+273.15=293.15 KT_1=20+273.15=293.15\ \mathrm{K}

壓力比為

p2p1=1,000100=10\frac{p_2}{p_1}=\frac{1{,}000}{100}=10

解題方法

(一) 等熵壓縮，k=cp/cv=1.4k=c_p/c_v=1.4

理想氣體等熵關係為

T2T1=(p2p1)(k−1)/k\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(k-1)/k}

可逆等熵過程為絕熱過程，穩定流動能量方程給出

win=h2−h1=cp(T2−T1)w_{\mathrm{in}}=h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)

由 R=cp−cvR=c_p-c_v、k=cp/cvk=c_p/c_v 得

cp=kRk−1=1.4(0.287)0.4=1.0045 kJ/(kg⋅K)c_p=\frac{kR}{k-1} =\frac{1.4(0.287)}{0.4} =1.0045\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

所以

win=cpT1[(p2p1)(k−1)/k−1]=1.0045(293.15)(100.4/1.4−1)=274.06 kJ/kg\begin{aligned} w_{\mathrm{in}} &=c_pT_1\left[ \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(k-1)/k}-1 \right]\\ &=1.0045(293.15)\left(10^{0.4/1.4}-1\right)\\ &=\boxed{274.06\ \mathrm{kJ/kg}} \end{aligned}

(二) n=1.3n=1.3 的多變壓縮

多變過程滿足 pvn=定值pv^n=\text{定值}。由理想氣體式與多變關係可得

T2T1=(p2p1)(n−1)/n\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}

可逆壓縮所需功為

win=∫p1p2v dp=nn−1RT1[(p2p1)(n−1)/n−1]\begin{aligned} w_{\mathrm{in}} &=\int_{p_1}^{p_2}v\,dp\\ &=\frac{n}{n-1}RT_1 \left[ \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}-1 \right] \end{aligned}

代入 n=1.3n=1.3：

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第 四 題25 分

四、蒸汽動力循環常用理想朗肯循環（ideal Rankine cycle）做分析，請參考下圖以回答下列問題。

每小題 5 分，共 25 分。

(一) 寫出此循環之四個過程的名稱，並說明其特性。

(二) 使用能量守恆定律針對這四個元件，分別寫出其入口端與出口端之關係式。

(三) 將壓縮機（compressor）所需功表示成焓（enthalpy）、比容（specific volume）和壓力（pressure）的關係式。

(四) 將渦輪機（turbine）所作功表示成焓（enthalpy）、比容（specific volume）和壓力（pressure）的關係式。

(五) 推導出此循環的熱效率（thermal efficiency）之關係式。

原卷圖示為理想朗肯循環示意圖，包含下列標示：

  • 狀態點：○1、○2、○3、○4。
  • 元件：Pump、Condenser。
  • 能量項：qinq_{in}、qoutq_{out}、wpump,inw_{\mathrm{pump,in}}、wturb,outw_{\mathrm{turb,out}}。
  • 圖中另有溫度—熵（TT—ss）座標及循環流程標示。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考理想朗肯循環的四個熱力過程、穩流能量方程，以及循環熱效率。分析時以每單位質量為基準，忽略各元件進出口的動能與位能變化，並依理想循環假設：

  • 幫浦與渦輪為絕熱、可逆過程，因此為等熵過程。
  • 鍋爐與冷凝器中沒有軸功，且工作流體在各元件內的壓力變化忽略，因此為等壓熱交換過程。

題目第（三）小題稱「壓縮機」，但圖中元件是 Pump；朗肯循環中此元件壓縮的是液態水，以下依圖以幫浦作答。

解題方法

依循環狀態點 1→2→3→4→11\to2\to3\to4\to1，先判定各元件的過程，再對每個穩流控制體套用能量守恆。最後以渦輪輸出功扣除幫浦輸入功，除以鍋爐輸入熱量，求得循環熱效率。

（一）四個過程及特性

  1. 1→21\to2：等熵壓縮，幫浦過程 液態水由冷凝器壓力升至鍋爐壓力，理想狀況下絕熱且可逆，因此 s2=s1s_2=s_1，並需輸入幫浦功。

  2. 2→32\to3：定壓吸熱，鍋爐過程 水在鍋爐中吸收熱量並升溫、汽化或過熱，壓力維持在高壓側，P3=P2P_3=P_2。

  3. 3→43\to4：等熵膨脹，渦輪過程 蒸汽在渦輪中膨脹作功，理想狀況下絕熱且可逆，因此 s4=s3s_4=s_3，壓力降至冷凝器壓力。

  4. 4→14\to1：定壓放熱，冷凝器過程 工作流體在冷凝器中放出熱量並凝結，壓力維持在低壓側，P1=P4P_1=P_4。

（二）四個元件的入口、出口關係式

穩流能量方程在忽略動能、位能變化時為

q−ws=hout−hin,q-w_s=h_{\mathrm{out}}-h_{\mathrm{in}},

其中 qq 為流入控制體的熱量，wsw_s 為控制體輸出的軸功。以下的熱量與功皆以每單位質量表示，且 qinq_{\mathrm{in}}、qoutq_{\mathrm{out}}、wpump,inw_{\mathrm{pump,in}}、wturb,outw_{\mathrm{turb,out}} 均取正值。

  • **幫浦 1→21\to2：**絕熱，功輸入，故
wpump,in=h2−h1.w_{\mathrm{pump,in}}=h_2-h_1.
  • **鍋爐 2→32\to3：**無軸功，吸熱，故
qin=h3−h2.q_{\mathrm{in}}=h_3-h_2.
  • **渦輪 3→43\to4：**絕熱，功輸出，故
wturb,out=h3−h4.w_{\mathrm{turb,out}}=h_3-h_4.
  • **冷凝器 4→14\to1：**無軸功，放熱，故
qout=h4−h1.q_{\mathrm{out}}=h_4-h_1.

理想朗肯循環中亦有 s2=s1s_2=s_1、s4=s3s_4=s_3，以及高、低壓側分別滿足 P2=P3P_2=P_3、P1=P4P_1=P_4。

（三）幫浦功與焓、比容、壓力的關係

由穩流能量方程，幫浦輸入功為

wpump,in=h2−h1.w_{\mathrm{pump,in}}=h_2-h_1.

對可逆過程，流體性質關係式為 dh=T ds+v dPdh=T\,ds+v\,dP。幫浦過程等熵，ds=0ds=0，因此

h2−h1=∫P1P2v dP,h_2-h_1=\int_{P_1}^{P_2}v\,dP,

也就是

wpump,in=∫P1P2v dP.w_{\mathrm{pump,in}}=\int_{P_1}^{P_2}v\,dP.

液態水的比容變化很小，可視為定值，故常用近似式

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