114 關務特考三等 關稅統計(選試英文)科別 抽樣方法 考古題詳解

114 年・關務特考・三等・關稅統計(選試英文)科別
試題代碼 抽樣方法

第 一 題35 分

某機構希望能了解國人出國旅遊時，對「自動查驗通關」服務之滿意程度。但無法獲得相關民眾之資料，因此進行一項電話訪問調查，調查對象為年滿 20 歲之全體民眾。問卷內容除受訪者基本資料之外，主要問題包括詢問受訪者在過去一年是否有出國旅遊（含公務及求學等）經驗，再詢問有出國經驗之受訪者對「自動查驗通關」服務是否滿意。調查總樣本數為 1,068 份，其中有 356 位受訪者表示有出國經驗，其中又有 267 位表示對「自動查驗通關」服務非常滿意。

（一）請問依據本調查資料，國人過去一年有出國旅遊經驗之比例推估值及其 95% 信賴區間為何？（10 分）

（二）請問國人非常滿意「自動查驗通關」服務之比例推估值及其 95% 信賴區間為何？（15 分）

（三）如果下一年度要舉行同一項調查，而希望出國比例推估值之正負誤差能控制在 95% 之信心水準下不超過 3%，請問所需最小樣本數為何？（10 分）

參考值：95% 信心水準請用 Z0.025=1.96Z_{0.025}=1.96 計算。

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核心觀念

本題考查母體比例的點估計、信賴區間，以及指定信賴水準與誤差界限下的樣本數規劃。以 p^=x/n\hat p=x/n 估計母體比例；在常態近似下，95% 信賴區間為

p^±Z0.025p^(1−p^)n,Z0.025=1.96.\hat p \pm Z_{0.025}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, \qquad Z_{0.025}=1.96.

第二小題的母體比例是「全體年滿 20 歲民眾中，過去一年有出國經驗且非常滿意」的比例，因此分母須使用全體 1,068 位受訪者，不能只用有出國經驗者作分母。

解題方法與計算

（一）過去一年有出國經驗之比例

1,068 位受訪者中有 356 位表示過去一年有出國經驗，故比例推估值為

p^1=3561068=13≈0.3333.\hat p_1=\frac{356}{1068}=\frac{1}{3}\approx 0.3333.

標準誤為

SE(p^1)=0.3333(1−0.3333)1068≈0.01443.SE(\hat p_1) =\sqrt{\frac{0.3333(1-0.3333)}{1068}} \approx 0.01443.

95% 信賴區間為

0.3333±1.96(0.01443)=0.3333±0.02828.0.3333\pm 1.96(0.01443) =0.3333\pm 0.02828.

因此區間約為

(0.3051, 0.3616).(0.3051,\ 0.3616).

換算為百分比，推估比例為 33.33%33.33\%，95% 信賴區間約為 30.51%∼36.16%30.51\%\sim36.16\%。

（二）全體民眾非常滿意自動查驗通關服務之比例

267 位受訪者表示非常滿意；題目所問的是國人中的比例，因此以全體 1,068 人為分母：

p^2=2671068=0.25.\hat p_2=\frac{267}{1068}=0.25.

標準誤為

SE(p^2)=0.25(1−0.25)1068≈0.01325.SE(\hat p_2) =\sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{1068}} \approx 0.01325.

95% 信賴區間為

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第 二 題25 分

興民里里長計畫舉辦元宵節里民聯歡活動，為評估所需餐點費用，想先評估參與里民人數，因此想由全里 500 戶中，隨機選擇 50 戶，然後詢問樣本戶內所有里民的參與意願，以估計全里的參與人數。

（一）請問里長在沒有任何統計軟體／計算工具，僅有紙筆的情形下，如何以簡單隨機抽樣取出不放回的方式選擇樣本戶？（5 分）

（二）請問這位里長使用的是那一種抽樣設計？請敘述這種抽樣設計在抽樣調查實務上的優缺點。（10 分）

（三）假定這 50 戶樣本戶中，平均每戶參加人數為 1.2 人；另外，這 50 戶樣本戶中，共有 200 位里民，而全里共 3,000 位里民。根據以上資訊，請問興民里里民會參與聯歡活動人數的不偏估計值與比例估計之估計值各是多少？（10 分）

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核心觀念

本題考查三個觀念：不放回簡單隨機抽樣的實作、群集抽樣，以及總數的估計。

里長抽中的抽樣單位是「戶」，但調查時詢問樣本戶內的所有里民；因此，抽樣單位是戶，觀察單位是里民。這種先抽取群集、再調查群集內全部單位的設計，稱為群集抽樣。

設全里戶數 N=500N=500、抽中戶數 n=50n=50，樣本戶內參加人數總和為 ysy_s，則參加人數總數的不偏估計量為：

Y^HT=Nnys\hat{Y}_{\mathrm{HT}}=\frac{N}{n}y_s

比例估計則以樣本中「參加人數／里民人數」的比例，乘上全里里民總數估計參加人數：

Y^ratio=Mysxs\hat{Y}_{\mathrm{ratio}}=M\frac{y_s}{x_s}

其中 MM 為全里里民總數，xsx_s 為樣本戶內里民人數總和。

（一）以紙筆進行不放回簡單隨機抽樣

先將 500 戶各編一個唯一號碼，例如 001001 至 500500，每個號碼寫在大小、形狀相同的紙籤上，充分混合後抽出一張並記錄號碼；抽出的紙籤不放回，再混合並抽下一張，直到抽滿 50 戶。

若不便製作紙籤，也可用紙筆編製 001001 至 500500 的號碼表，逐次隨機產生三位數號碼，只接受 001001 至 500500 內尚未抽中的號碼；遇到超出範圍或已抽中的號碼就略過，直到取得 50 個不同號碼。

兩種方式都須確保每戶被抽中的機會相同，且同一戶不會重複入樣；這就是不放回簡單隨機抽樣。

（二）抽樣設計及實務優缺點

本題採用群集抽樣（cluster sampling）。全里的「戶」是群集，抽出 50 戶後，調查每戶內的所有里民。每戶內里民人數不必相同，因此這裡不是每戶代表固定人數的等額群集。

優點：

  • **調查成本較低：**調查對象集中於抽中的戶，聯絡、訪查與交通成本通常較低。
  • **抽樣作業較方便：**若容易取得戶籍或門牌名冊、難以取得完整里民個人名冊，抽戶會比逐一抽人容易。
  • **適用於自然形成的群體：**例如戶、班級、村里或機構，可直接以群體為抽樣單位，再調查群內成員。

缺點：

  • **估計精確度可能較低：**同一戶內的里民往往有相似的活動意願，群集內反應較相近時，抽到的戶數即使不少，樣本提供的資訊量仍可能低於相同人數的個人簡單隨機樣本。
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第 三 題40 分

某員工數達 1,000 位員工之企業集團為評估是否應在集團內設置性別平等委員會，希望先了解企業內員工對企業職場性別平等議題之意見，隨機選取了 100 位員工，詢問其認為本集團之企業文化或政策是否仍有因性別而有不公平甚至歧視之狀況。在 100 位受訪員工中，有 30 位表示企業內仍有相關不平等現象，因此在董事會中提報員工認為仍有性別所導致之不公平待遇等現象比例為 0.3。但某董事進一步檢視資料後發現，100 位受訪員工中有 70 位男性，但僅有 30 位女性，可是本集團中男女員工之比例為各占 50%，因此質疑樣本之性別代表性恐有疑慮。同時 30 位表示企業內仍有相關不平等現象的員工中，女性有 25 位，而男性僅有 5 位。

（一）請以適當之檢定檢驗此一調查中，性別之樣本比例與母體比例在 95% 信心水準下是否相符。（10 分）

（二）根據前述檢驗結果，請問 0.3 之比例是否應該修正？若不需修正，請問理由為何？若需修正，請問修正後之比例及其變異數估計為何？（15 分）

（三）該董事要求在同樣之總樣本數下重新執行一次調查，同時需要以性別分層，並適當配置樣本數以使得比例估計之變異最小化，請問男女員工樣本數配置各為何？（15 分）

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核心觀念

本題考查三個抽樣觀念：

  1. 樣本性別比例是否符合母體比例：以適合度卡方檢定，比較樣本中的男女人數與母體性別比例所對應的期望人數。
  2. 比例估計是否須依性別加權：若樣本配置與母體各層比例不符，且各層對研究變數的比例不同，應採分層加權估計。
  3. 分層樣本數的最適配置：在總樣本數固定下，依 Neyman 配置按各層母體數與層內標準差分配樣本。

令研究變數 Y=1Y=1 表示員工認為企業內仍有性別不平等現象，否則 Y=0Y=0。

（一）性別樣本比例檢定

以性別為類別，進行卡方適合度檢定：

H0: (P男,P女)=(0.5,0.5),H1: (P男,P女)≠(0.5,0.5).H_0:\ (P_{\text{男}},P_{\text{女}})=(0.5,0.5),\qquad H_1:\ (P_{\text{男}},P_{\text{女}})\ne(0.5,0.5).

總樣本數 n=100n=100，在虛無假設下男女期望人數各為 100(0.5)=50100(0.5)=50。觀察人數為男性 70 人、女性 30 人，故

χ2=(70−50)250+(30−50)250=8+8=16.\chi^2 =\frac{(70-50)^2}{50}+\frac{(30-50)^2}{50} =8+8=16.

自由度為 2−1=12-1=1。在 α=0.05\alpha=0.05 下，臨界值為 χ0.95,12=3.841\chi^2_{0.95,1}=3.841。因 16>3.84116>3.841，拒絕 H0H_0。

**結論：**在 95% 信心水準下，樣本性別比例與母體的男女各半比例不相符；樣本中女性代表不足。

（二）是否修正 0.3 比例及其變異數

女性在樣本中占 30%30\%，但在母體中占 50%50\%，因此未加權的全體樣本比例 0.30.3 不適合作為母體比例估計。應依母體性別比例，對男女層內比例加權。

男性層內比例為

p^男=570,\hat p_{\text{男}}=\frac{5}{70},

女性層內比例為

p^女=2530.\hat p_{\text{女}}=\frac{25}{30}.

依分層比例估計量：

p^st=W男p^男+W女p^女=0.5(570)+0.5(2530)=1121≈0.5238.\hat p_{\mathrm{st}} =W_{\text{男}}\hat p_{\text{男}}+W_{\text{女}}\hat p_{\text{女}} =0.5\left(\frac{5}{70}\right)+0.5\left(\frac{25}{30}\right) =\frac{11}{21}\approx0.5238.

因此修正後的估計比例約為 0.524。

各層樣本變異數以二元變數樣本變異數估計：

sh2=nhnh−1p^h(1−p^h).s_h^2=\frac{n_h}{n_h-1}\hat p_h(1-\hat p_h).

在分層隨機抽樣下，比例估計量的變異數估計為

Var⁡^(p^st)=∑hWh2(1−fh)sh2nh,\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{\mathrm{st}}) =\sum_h W_h^2(1-f_h)\frac{s_h^2}{n_h},

其中 fh=nh/Nhf_h=n_h/N_h 為各層抽樣比。題目給定母體總數 N=1000N=1000、男女各半，因此 Nh=500N_h=500；樣本數分別為男性 70 人、女性 30 人。代入得

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