114 關務特考三等 關稅統計(選試英文)科別 統計學 考古題詳解

114 年・關務特考・三等・關稅統計(選試英文)科別
試題代碼 統計學

第 一 題28 分

假設隨機變數 XX 與 YY 有下面的聯合（jointly）機率密度函數（probability density function）：

f(x,y)={e−y,0<x<y<∞,0,其他範圍.f(x,y)= \begin{cases} e^{-y}, & 0<x<y<\infty,\\ 0, & \text{其他範圍}. \end{cases}

請回答下列問題：（每小題 4 分，共 28 分）

（一）求隨機變數 XX 與 YY 的聯合動差母函數（moment generating function）。

（二）求隨機變數 XX 的期望值。

（三）求隨機變數 YY 的期望值。

（四）求隨機變數 XX 的變異數。

（五）求隨機變數 YY 的變異數。

（六）求兩隨機變數 XX 與 YY 的共變異數（covariance）。

（七）求兩隨機變數 XX 與 YY 的相關係數（correlation coefficient）。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查聯合動差母函數及其偏導數所代表的期望值、變異數與共變異數。若 X,YX,Y 的聯合動差母函數為

MX,Y(s,t)=E ⁣[esX+tY],M_{X,Y}(s,t)=E\!\left[e^{sX+tY}\right],

則在原點附近存在時，

E(X)=∂M∂s∣(0,0),E(Y)=∂M∂t∣(0,0),E(X)=\left.\frac{\partial M}{\partial s}\right|_{(0,0)},\qquad E(Y)=\left.\frac{\partial M}{\partial t}\right|_{(0,0)}, Var⁡(X)=∂2M∂s2∣(0,0)−[E(X)]2,Var⁡(Y)=∂2M∂t2∣(0,0)−[E(Y)]2,\operatorname{Var}(X)=\left.\frac{\partial^2 M}{\partial s^2}\right|_{(0,0)}-[E(X)]^2, \qquad \operatorname{Var}(Y)=\left.\frac{\partial^2 M}{\partial t^2}\right|_{(0,0)}-[E(Y)]^2, Cov⁡(X,Y)=∂2M∂s ∂t∣(0,0)−E(X)E(Y).\operatorname{Cov}(X,Y) =\left.\frac{\partial^2 M}{\partial s\,\partial t}\right|_{(0,0)} -E(X)E(Y).

相關係數則為

ρX,Y=Cov⁡(X,Y)Var⁡(X)Var⁡(Y).\rho_{X,Y} =\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)} {\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}.

解題方法

直接對聯合密度積分可求動差母函數；本題支撐範圍 0<x<y0<x<y 適合使用變數轉換

U=X,V=Y−X.U=X,\qquad V=Y-X.

由 0<X<Y0<X<Y 可知 U>0,V>0U>0,V>0，而 X=U, Y=U+VX=U,\ Y=U+V。變數轉換的 Jacobian 絕對值為 11，因此

fU,V(u,v)=e−(u+v),u>0, v>0.f_{U,V}(u,v)=e^{-(u+v)},\qquad u>0,\ v>0.

又

e−(u+v)=e−ue−v,e^{-(u+v)}=e^{-u}e^{-v},

故 U,VU,V 相互獨立，且各自服從參數為 11 的指數分配。這使得聯合動差母函數可拆成兩個簡單的積分。

（一）聯合動差母函數

依定義，

MX,Y(s,t)=E ⁣[esX+tY]=E ⁣[esU+t(U+V)]=E ⁣[e(s+t)U]E ⁣[etV],\begin{aligned} M_{X,Y}(s,t) &=E\!\left[e^{sX+tY}\right]\\ &=E\!\left[e^{sU+t(U+V)}\right]\\ &=E\!\left[e^{(s+t)U}\right]E\!\left[e^{tV}\right], \end{aligned}

其中最後一步使用 U,VU,V 獨立。參數為 11 的指數分配，其動差母函數為 1/(1−r)1/(1-r)，條件是 r<1r<1，因此

MX,Y(s,t)=1(1−s−t)(1−t)\boxed{ M_{X,Y}(s,t)=\frac{1}{(1-s-t)(1-t)} }

其存在條件為

t<1,s+t<1.t<1,\qquad s+t<1.

（二）XX 的期望值

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題27 分

令 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n 是一組樣本大小（sample size）為 nn，從均勻分配（uniform distribution）U[0,θ]U[0,\theta] 抽樣而來的隨機樣本（random sample），其中的參數 θ\theta 未知。隨機變數 XiX_i 的機率密度函數具有如下形式：

f(xi;θ)={1θ,0≤xi≤θ,i=1,2,…,n,0,其他範圍.f(x_i;\theta)= \begin{cases} \dfrac{1}{\theta}, & 0\leq x_i\leq\theta,\quad i=1,2,\ldots,n,\\ 0, & \text{其他範圍}. \end{cases}

請回答下列問題：

（一）令 θ^\hat{\theta} 為參數 θ\theta 的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。（每小題 3 分，共 12 分）

  1. 試求出 θ^\hat{\theta}。

  2. θ^\hat{\theta} 是否具有不偏性（unbiased）？請證明之。

  3. θ^\hat{\theta} 的均方誤差（mean square error，簡稱 MSE）是多少？請證明之。

  4. θ^\hat{\theta} 是否是參數 θ\theta 的一致性估計量（consistent estimator of θ\theta）？請證明之。

（二）令 θ~\tilde{\theta} 為利用動差法（method of moments）來對參數 θ\theta 做估計所獲得的統計量。（每小題 3 分，共 12 分）

  1. 試求出 θ~\tilde{\theta}。

  2. θ~\tilde{\theta} 是否具有不偏性？請證明之。

  3. θ~\tilde{\theta} 的均方誤差是多少？請證明之。

  4. θ~\tilde{\theta} 是否是參數 θ\theta 的一致性估計量？請證明之。

（三）試比較 θ^\hat{\theta} 與 θ~\tilde{\theta} 的 MSE，看怎樣的樣本大小會讓 θ^\hat{\theta} 或 θ~\tilde{\theta} 那一個比較具優勢？（3 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查均勻分配 U[0,θ]U[0,\theta] 的最大概似估計、動差估計，以及不偏性、均方誤差與一致性。

若 X∼U[0,θ]X\sim U[0,\theta]，則

E(X)=θ2,Var⁡(X)=θ212.E(X)=\frac{\theta}{2},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{\theta^2}{12}.

最大概似估計量會由樣本中最大觀測值決定；動差法則以樣本平均數對應母體平均數，解出 θ\theta 的估計量。計算 MSE 時使用

MSE⁡(θ^)=Var⁡(θ^)+(E(θ^)−θ)2.\operatorname{MSE}(\hat\theta) =\operatorname{Var}(\hat\theta) +\bigl(E(\hat\theta)-\theta\bigr)^2.

（一）最大概似估計量 θ^\hat\theta

1. 求 θ^\hat\theta

因為 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 為隨機樣本，概似函數為

L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=1θn I ⁣(θ≥X(n)),L(\theta) =\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) =\frac{1}{\theta^n}\,I\!\left(\theta\geq X_{(n)}\right),

其中 X(n)=max⁡{X1,…,Xn}X_{(n)}=\max\{X_1,\ldots,X_n\}，I(⋅)I(\cdot) 為指示函數。

當 θ≥X(n)\theta\geq X_{(n)} 時，L(θ)=θ−nL(\theta)=\theta^{-n} 隨 θ\theta 增大而遞減；又必須有 θ≥X(n)\theta\geq X_{(n)}，故使概似函數最大的值為

θ^=X(n)=max⁡{X1,…,Xn}.\boxed{\hat\theta=X_{(n)}=\max\{X_1,\ldots,X_n\}}.

2. 是否不偏？

由 0≤Xi≤θ0\leq X_i\leq\theta，

P(θ^≤x)=P(X1≤x,…,Xn≤x)=(xθ)n,0≤x≤θ.P(\hat\theta\leq x) =P(X_1\leq x,\ldots,X_n\leq x) =\left(\frac{x}{\theta}\right)^n,\qquad 0\leq x\leq\theta.

因此 θ^\hat\theta 的密度為

fθ^(x)=ddx(xθ)n=nxn−1θn,0≤x≤θ.f_{\hat\theta}(x) =\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\theta}\right)^n =\frac{n x^{n-1}}{\theta^n},\qquad 0\leq x\leq\theta.

故

E(θ^)=∫0θxnxn−1θn dx=nn+1θ.E(\hat\theta) =\int_0^\theta x\frac{n x^{n-1}}{\theta^n}\,dx =\frac{n}{n+1}\theta.

因為 E(θ^)=nn+1θ≠θE(\hat\theta)=\frac{n}{n+1}\theta\neq\theta，所以

θ^ 有偏，且向下偏誤為 θn+1.\boxed{\hat\theta\text{ 有偏，且向下偏誤為 }\frac{\theta}{n+1}}.

3. θ^\hat\theta 的 MSE

同理，

E(θ^2)=∫0θx2nxn−1θn dx=nn+2θ2.E(\hat\theta^2) =\int_0^\theta x^2\frac{n x^{n-1}}{\theta^n}\,dx =\frac{n}{n+2}\theta^2.

因此

MSE⁡(θ^)=E[(θ^−θ)2]=E(θ^2)−2θE(θ^)+θ2=θ2(nn+2−2nn+1+1)=2θ2(n+1)(n+2).\begin{aligned} \operatorname{MSE}(\hat\theta) &=E\bigl[(\hat\theta-\theta)^2\bigr]\\ &=E(\hat\theta^2)-2\theta E(\hat\theta)+\theta^2\\ &=\theta^2\left(\frac{n}{n+2}-\frac{2n}{n+1}+1\right)\\ &=\boxed{\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}}. \end{aligned}

4. 是否一致？

對任意 ε>0\varepsilon>0，由 θ^≤θ\hat\theta\leq\theta，

P(∣θ^−θ∣>ε)={(1−εθ)n,0<ε<θ,0,ε≥θ.P(|\hat\theta-\theta|>\varepsilon) = \begin{cases} \left(1-\dfrac{\varepsilon}{\theta}\right)^n, &0<\varepsilon<\theta,\\[4pt] 0,&\varepsilon\geq\theta. \end{cases}

當 0<ε<θ0<\varepsilon<\theta 時，(1−εθ)n→0\left(1-\frac{\varepsilon}{\theta}\right)^n\to0；因此

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題30 分

某一出租影印機業者，欲研究維護影印機的時間 YY（分鐘）與所出租的影印機數量 XX（台）之間的關係，經業者抽樣調查蒐集了 10 組維護影印機的時間與出租影印機數量的資料，如下表所示：

XiX_i20232724192218192125
YiY_i520547594551509513495511527534

若業者想利用這些資料建立一個迴歸模型 Y=β0+β1XY=\beta_0+\beta_1X，作為未來估計與預測之用，請回答下列問題：（每小題 6 分，共 30 分）

（一）請以最小平方法（least square method）求參數 β0\beta_0 與 β1\beta_1 之估計值。

（二）求參數 β0\beta_0 與 β1\beta_1 之 95% 信賴區間。

（三）針對（二）所算出來的 β1\beta_1 之 95% 信賴區間，請解釋其意涵。

（四）若欲檢定由所蒐集的資料中是否足以顯示影印機維護時間受到出租影印機數量的影響，可以怎麼做？結論為何？（顯著水準設為 α=0.05\alpha=0.05）

（五）針對某一個月份影印機出租數量為 26 台時，求其維護影印機時間的預測值之 95% 的信賴區間。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考單一線性迴歸模型

Yi=β0+β1Xi+εi,Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,

其中：

  • β0\beta_0：當出租影印機數量為 00 台時，平均維護時間。
  • β1\beta_1：出租影印機數量每增加 11 台，平均維護時間的變化量。
  • εi\varepsilon_i：隨機誤差，通常假設彼此獨立、平均數為 00、變異數為 σ2\sigma^2，且服從常態分配。

令

Xˉ=21.8,Yˉ=530.1.\bar X=21.8,\qquad \bar Y=530.1.

由資料計算得

Sxx=∑i=110(Xi−Xˉ)2=77.6,S_{xx}=\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)^2=77.6, Sxy=∑i=110(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=540.82,S_{xy}=\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)=540.82, Syy=∑i=110(Yi−Yˉ)2=7266.90.S_{yy}=\sum_{i=1}^{10}(Y_i-\bar Y)^2=7266.90.

殘差自由度為

n−2=10−2=8.n-2=10-2=8.

（一）以最小平方法求 β0\beta_0 與 β1\beta_1 的估計值

最小平方法估計式為

β^1=SxySxx,\hat\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, β^0=Yˉ−β^1Xˉ.\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X.

因此

β^1=540.8277.6=6.9693,\hat\beta_1=\frac{540.82}{77.6}=6.9693, β^0=530.1−(6.9693)(21.8)=378.1686.\hat\beta_0 =530.1-(6.9693)(21.8) =378.1686.

故迴歸方程式為

Y^=378.1686+6.9693X.\boxed{\hat Y=378.1686+6.9693X}.

意義為：出租影印機數量每增加 11 台，預估平均維護時間增加約 6.96936.9693 分鐘。

（二）求 β0\beta_0 與 β1\beta_1 的 95% 信賴區間

1. 估計誤差變異數

先計算殘差平方和：

SSE=Syy−Sxy2Sxx.SSE=S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}.

代入數值：

SSE=7266.90−(540.82)277.6≈3497.75.SSE =7266.90-\frac{(540.82)^2}{77.6} \approx3497.75.

因此

s2=SSEn−2=3497.758≈437.22,s^2=\frac{SSE}{n-2} =\frac{3497.75}{8} \approx437.22, s=437.22≈20.91.s=\sqrt{437.22}\approx20.91.

因為自由度為 88，所以

t0.975,8=2.306.t_{0.975,8}=2.306.

2. β1\beta_1 的 95% 信賴區間

SE(β^1)=sSxx=20.9177.6≈2.374.SE(\hat\beta_1) =\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}} =\frac{20.91}{\sqrt{77.6}} \approx2.374.

因此

β^1±t0.975,8SE(β^1)\hat\beta_1\pm t_{0.975,8}SE(\hat\beta_1) =6.9693±(2.306)(2.374)=6.9693\pm(2.306)(2.374) =6.9693±5.475.=6.9693\pm5.475.

所以

1.494<β1<12.444.\boxed{1.494<\beta_1<12.444}.

3. β0\beta_0 的 95% 信賴區間

SE(β^0)=s1n+Xˉ2Sxx.SE(\hat\beta_0) =s\sqrt{\frac1n+\frac{\bar X^2}{S_{xx}}}.

代入數值：

SE(β^0)=20.91110+(21.8)277.6≈52.16.SE(\hat\beta_0) =20.91\sqrt{\frac1{10}+\frac{(21.8)^2}{77.6}} \approx52.16.

因此

β^0±t0.975,8SE(β^0)\hat\beta_0\pm t_{0.975,8}SE(\hat\beta_0) =378.1686±(2.306)(52.16)=378.1686\pm(2.306)(52.16) =378.1686±120.28.=378.1686\pm120.28.

所以

257.89<β0<498.45.\boxed{257.89<\beta_0<498.45}.

（三）β1\beta_1 的 95% 信賴區間之意涵

β1\beta_1 的 95% 信賴區間為

(1.494, 12.444).(1.494,\ 12.444).

其統計意義是：在相同抽樣與模型假設下，重複抽樣並依同樣方法建立信賴區間，長期而言約有 95% 的區間會包含真正的母體斜率 β1\beta_1。

就本題而言，出租影印機數量每增加 11 台，平均維護時間增加量的合理估計範圍約為：

1.494 分鐘至 12.444 分鐘.1.494\text{ 分鐘至 }12.444\text{ 分鐘}.
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題15 分

隨機選取 A、B 兩廠牌的輪胎各 10 個，以成對的方式置入 10 部車子的後輪中，以測試這兩種輪胎的耐磨程度，並記錄其耐磨的里程數（里程數越多代表輪胎越耐磨）。數據資料（單位：千公里）如下表所示：

輪胎廠牌／車子12345678910
A 廠牌23202625482625241520
B 廠牌2030163323248211318

請回答下列問題（顯著水準皆設為 α=0.01\alpha=0.01）：（每小題 5 分，共 15 分）

（一）若已知母體為常態分配，根據上表的資料，請問 A 廠牌的輪胎平均耐磨度是否較 B 廠牌好？

（二）若已知母體分配未知，請以符號檢定法（The Sign Test）再檢定（一）之結果。

（三）若已知母體分配未知，請以 Wilcoxon 符號等級檢定法（The Wilcoxon Signed-Rank Test）再檢定（一）之結果。

附：原卷提供二項分配累積分配函數表、Wilcoxon 符號等級檢定臨界值表及 tt 分配臨界值表，請對照原卷。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題資料以同一部車分別裝上 A、B 廠牌輪胎，屬於「成對樣本」。令第 ii 部車的差值為

Di=Ai−Bi.D_i=A_i-B_i.

欲檢定 A 廠牌平均耐磨度是否高於 B 廠牌，皆設定：

H0:μD≤0,H1:μD>0,H_0:\mu_D\leq 0,\qquad H_1:\mu_D>0,

顯著水準為 α=0.01\alpha=0.01。

（一）母體為常態分配：成對樣本 tt 檢定

1. 計算差值

車子12345678910Di3−1010−825217322\begin{array}{c|rrrrrrrrrr} \text{車子}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline D_i&3&-10&10&-8&25&2&17&3&2&2 \end{array}

因此

n=10,∑Di=46,n=10,\qquad \sum D_i=46, Dˉ=4610=4.6.\bar D=\frac{46}{10}=4.6.

又

∑Di2=9+100+100+64+625+4+289+9+4+4=1208.\sum D_i^2 =9+100+100+64+625+4+289+9+4+4 =1208.

樣本變異數為

sD2=∑Di2−(∑Di)2nn−1=1208−462109=110.711.s_D^2 =\frac{\sum D_i^2-\frac{(\sum D_i)^2}{n}}{n-1} =\frac{1208-\frac{46^2}{10}}{9} =110.711.

故

sD=110.711=10.522.s_D=\sqrt{110.711}=10.522.

2. 計算檢定統計量

成對樣本 tt 統計量為

t=Dˉ−0sD/n=4.610.522/10=1.383.t=\frac{\bar D-0}{s_D/\sqrt n} =\frac{4.6}{10.522/\sqrt{10}} =1.383.

自由度為

n−1=9.n-1=9.

3. 拒絕域與結論

右尾檢定、α=0.01\alpha=0.01、自由度 99 時，

t0.01(9)=2.821.t_{0.01}(9)=2.821.

拒絕域為

t>2.821.t>2.821.

由於

1.383<2.821,1.383<2.821,

故不拒絕 H0H_0。

雖然樣本平均差值 Dˉ=4.6\bar D=4.6，表示樣本中 A 廠牌平均里程較高，但在 1%1\% 顯著水準下，證據不足以認定 A 廠牌的母體平均耐磨度優於 B 廠牌。

（二）符號檢定法

1. 計算正、負差值

差值為

3,−10,10,−8,25,2,17,3,2,2.3,-10,10,-8,25,2,17,3,2,2.

其中：

  • 正差值共有 77 個；
  • 負差值共有 33 個；
  • 沒有差值等於 00，所以有效樣本數為 n=10n=10。

在 H0H_0 下，A、B 輪胎耐磨度較高的機率相同，因此

X∼Binomial⁡(10,0.5),X\sim\operatorname{Binomial}(10,0.5),

其中 XX 表示正差值個數。

2. 檢定統計量與 pp 值

因為對立假設為 A 廠牌較好，所以觀察右尾：

P(X≥7)=∑x=710(10x)(0.5)10.P(X\geq 7) =\sum_{x=7}^{10}\binom{10}{x}(0.5)^{10}.

計算得

P(X≥7)=(107)+(108)+(109)+(1010)210P(X\geq7) =\frac{\binom{10}{7}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}}{2^{10}} =120+45+10+11024=0.171875.=\frac{120+45+10+1}{1024} =0.171875.

亦可利用附表：

P(X≤3)=0.172,P(X\leq3)=0.172,

由對稱性得到

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題